四川绵阳市2019届高三数学理科三诊试题有答案.pdf
绵阳市高中绵阳市高中 20142014 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试数学（理工类）数学（理工类）第卷（共第卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 6060 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R，A x x2 2x 0，B x x 1，则A(CUB)()A(0,)B.(,1)C(,2)D（0,1）2.已知i是虚数单位，则2i()1iA1 B2 2 C2 D23.某路口的红绿灯，红灯时间为30 秒，黄灯时间为 5 秒，绿灯时间为 40 秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是()A14131 B C.D15155224.等比数列an的各项均为正数，且a1 2a2 4，a4 4a3a7，则a5()A11 B C.20 D.401685.已知正方形ABCD的边长为 6，M在边BC上且BC 3BM，N为DC的中点，则AM BN ()A-6 B12 C.6 D-12log1(x)(x 0),6.在如图所示的程序框图中，若函数f(x)则输出的结果是()2x2(x 0),A16 B8 C.216 D287.已知函数f(x)4cos(x)(0,0)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图像上两点，若ab的最小值是 1，则f()()16A2 B-2 C.33 D228.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A50 B75 C.25.5 D37.59.已知函数f(x)1mcos2x (m 2)sin x，其中1 m 2.若函数f(x)的最大值记2为g(m)，则g(m)的最小值为()A1 B1 C.33 D3 14x2y210.已知F是双曲线C：221(a 0,b 0)的右焦点，A，B分别为C的左、右顶ab点.O为坐标原点，D为C上一点，DF x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N，若3OM 2ON，则双曲线C的离心率为（)A3 B4 C.5 D611.三棱锥P ABC中，PA，PB，PC互相垂直，PA PB 1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是6，则三棱锥P ABC的外接2球表面积是()A2 B4 C.8 D1612.已知函数f(x)2ln x ax 3，若存在实数m,n1,5满足nm 2时，2f(m)f(n)成立，则实数a的最大值为()Aln5ln3ln3ln5 ln3ln4 B C.D8483第卷（共第卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）y 0,13.若实数x,y满足x 2y 0,，则x 2y的最小值是x y 5,14.过定点M的直线：kx y 1 2k 0与圆：(x 1)(y 5)9相切于点N，则22MN 2n15.已知(2x x y)的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x y的系数52为（用数字作答）16.设公差不为 0 的等差数列an的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11 2(Sm Sn)(m n 0,m,nN)，则mn的值是三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.）17.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a c)b 3ac.（）求角B的大小；（）若b 2，且sin B sin(C A)2sin 2A，求ABC的面积.18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016 年该市共享单车用户年龄登记分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2 所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20 岁39 岁）和“非年轻人”（19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有225是6“年轻人”.（）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表经常使用单车用户不常使用单车用户合计年轻人160非年轻人40合计12080200（）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3 人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布与期望.（参考数据：独立性检验界值表P(K2 k0)0.152.0720.102.7060.0503.8410.0255.0240.0106.635k02n(ad bc)2其中，K，n abcd）(a b)(c d)(a c)(b d)19.已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF 1，AD 2，ADC 3，点N是线段AD的中点.（）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF/平面MNC？若存在，请证明AF/平面MNC，并求出BM的值；若不存在，请说明理由；ME（）求二面角N CE D的正弦值.20.已知点E(2,0)，点P是椭圆F：(x 2)y 36上任意一点，线段EP的垂直平分线FP交于点M，点M的轨迹记为曲线C.（）求曲线C的方程；（）过F的直线交曲线C于不同的A，B两点,交y轴于点N，已知NA mAF，22NB nBF，求mn的值.21.函数p(x)ln x x 4，q(x)axe(a R).（）若a e，设f(x)p(x)q(x)，试证明f(x)存在唯一零点x0(0,)，并求f(x)的最大值；（）若关于x的不等式p(x)q(x)的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围.x1e请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程x 13cos,在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数）.以原点y 3sinO为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为1.（）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（）若射线l的极坐标方程23.选修 4-5：不等式选讲已知函数f(x)3xa 3x6，g(x)x2 1.（）a 1时，解不等式f(x)8；（）若对任意x1R都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.3C2于A、B两点，且l分别交曲线C1、求AB.(0)，绵阳市高绵阳市高 20142014 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试数学数学(理工类理工类)参考解答及评分标准参考解答及评分标准一、选择题一、选择题1-5:CDABA 6-10:ABDDC 11、12：BB二、填空题二、填空题13.2 14.4 15.120 16.9三、解答题三、解答题17.解：（）把(a c)b 3ac整理得，a2 c2b2 ac,22a2 c2b2ac1由余弦定理有cosB,2ac2ac2B 3.（）ABC中，A BC，即B (A C)，故sin B sin(A C)，由已知sin B sin(C A)2sin 2A可得ssin(AC)sin(C A)2sin 2A,sin AcosCcosAsinC sinCcosAcosCsin A 4sin AcosA,整理得cosAsinC 2sin AcosA.若cosA 0，则A 2，于是由b 2，可得c 22 3，tan B3此时ABC的面积为S 12 3bc.23若cosA 0，则sinC 2sin A，由正弦定理可知，c 2a，代入a2 c2b2 ac整理可得3a2 4，解得a 2 34 3，进而c，33此时ABC的面积S 12 3acsinB.232 3综上所述，ABC的面为.318.解：（）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车不常使用共享单车合计1006016020204012080200于是a 100，b 20，c 60，d 20，200(100206020)2K 2.083 2.072，12080160402即有 85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（）由（）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，200X B(3,0.1),X 0,1,2,3,P(X 0)(1 0.1)0.729，P(X 3)0.1 0.001，X的分布列为33XP00.72910.24320.02730.001X的数学期望E(X)30.1 0.3.19.解：（）作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点.证明：连接PN，N是AD的中点，P是FE的中点，PN/AF，又PN 平面MNC，AF 平面MNC，直线AF/平面MNC.PE/AD，AD/BC，PE/BC，BMBC 2.MEPE（）由（）知PN AD，又面ADEF 面ABCD，面ADEF面ABCD AD，PN 面ADEF，所以PN 面ABCD.故PN AD，PN NC.以N为空间原点，ND，NC，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N xyz，ADC 3，AD DC 2，ADC为正三角形，NC 3，N(0,0,0)，C(3,0,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，NE (0,1,1)，NC (3,0,0)，DE (0,0,1)，DC (3,1,0)，设平面NEC的一个法向量n1(x,y,z)，则由n1 NE 0，n1 NC 0可得y z 0,令y 1，则n1(0,1,1).3x 0,设平面CDE的一个法向量n2(x1,y1,z1)，则由n2DE 0，n2DC 0可得z1 0,令x11，则n2(1,3,0).3x1 y1 0,则cos n1,n2n1n236，n1n242 26210，)44设二面角N CE D的平面角为，则sin1(二面角N CE D的正弦值为10.420.解：（）由题意知，ME MF MP MF r 6 EF 4，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为 6，焦距为 4 的椭圆，从而长半轴长为a 3，短半轴长为b 3 2 5，22x2y21.曲线C的方程为：95（）由题意知F(2,0)，若直线AB恰好过原点，则A(3,0)，B(3,0)，N(0,0)，NA(3,0)，AF (5,0)，则m 3，5NB (3,0)，BF (1,0)，则n3，mn 18.5若直线AB不过原点，设直线AB：x ty 2，t 0，2A(ty1 2,y1)，B(ty2 2,y2)，N(0,).t2则NA(ty12,y1)，AF (ty1,y1)，t2NB (ty22,y2)，BF (ty2,y2)，t由NA mAF，得y122；m(y1)，从而m 1ty1t22；n(y2)，从而n 1ty2t由NB nBF，得y2故mn 1222112y y2(1)2()21.ty1y2ty1y2ty1ty2 x ty 2,22联立方程组得：x2整理得(5t 9)y 20ty 25 0，y21,5 9y1 y220t25，y y 125t295t29mn 22y1 y2220t818 2 2.ty1y2t255518.5x综上所述，m n 21.（）证明：由题意知f(x)ln x x4exe，x1(x1)(1exex)1xxe(x1)e 于是f(x)1e(x 1)e xxx令(x)1exe，(x)e(x 1)e 0(x 0)，(x)在(0)上单调递减.xx1又(0)1 0，()1ee 0，e所以存在x0(0,)，使得(x0)0，综上f(x)存在唯一零点x0(0,).解：当x(0,x0)，(x)0，于是f(x)0，f(x)在(0,x0)单调递增；当x(x0,)，(x)0，于是f(x)0，f(x)在(x0,)单调递减；故f(x)max f(x0)ln x0 x0 4 ex0e0，又(x0)1 ex0ex0 x11e1e 0，ex011，x ln 1ln x0，0ex0ex0 x0故f(x)max ln x0(1ln x0)4 e1 51 6.ex0 x（）解：p(x)q(x)等价于lnx x4 axe.lnx x4 axe a 令h(x)xln x x4xexln x x4，xexln x x4(x 1)(ln x x 5)，则，h(x)x2xxex e1令(x)ln x x5，则(x)1 0，即(x)在(0,)上单调递增.x又(3)ln32 0，(4)ln4 0，存在t(0,t)，使得(t)0.当x(0,t)，(x)0 h(x)0 h(x)在(0,t)单调递增；当x(t,)，(x)0 h(x)0 h(x)在(t,)单调递减.h(1)3ln2 2ln31，0，h(2)0h(3)0，32e3e2e且当x 3时，h(x)0，又h(1)32ln2ln312ln，h(2)，h(3)h(4)423e4e2e3e故要使不等式p(x)q(x)解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为ln312ln2.a 3e32e222.解：（）将C1参数方程化为普通方程为(x1)y 3，即x y 2x2 0，C1的极坐标方程为2cos2 0.将C2极坐标方程化为直角坐标方程为x y 1.（）将22222223代入C1：2cos2 0整理得 2 0，22解得1 2，即OA 1 2.曲线C2是圆心在原点，半径为 1 的圆，射线3(0)与C2相交，即21，即OB 21.故AB 12 211.23.解：（）当x 当111时，f(x)76x，由f(x)8解得x ，综合得x ，3661 x 2时，f(x)5，显然f(x)8不成立，355当x 2时，f(x)6x 7，由f(x)8解得x，综合得x，2215所以f(x)8的解集是(,).62（）f(x)3xa 3x6 (3xa)(3x6)6a，g(x)x2 11，根据题意6a 1，解得a 7，或a 5.
