高二上学期期末数学试题及答案.pdf
高二级第一学期教学质量监测试卷高二级第一学期教学质量监测试卷数数学学本试题满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。3非选择题必须黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、单选题：一、单选题：（本题共（本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，每小题四个选项中，只有一个是正确分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项填在答题卷上）的，请将正确的选项填在答题卷上）2,B x|x23x4 0，则CRAB等于（）1已知集合A x|x 2x 0Ax|0 x 1 Bx|1 x 2 Cx|1 x 2 Dx|1 x 22根据下表样本数据xy668594103122 0.7x a，则a 的值为（）用最小二乘法求得线性回归方程为yA10.2 B10.3 C10.4 D10.5x2y23“m 10”是“椭圆1焦距为 4”的（）6mA充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.已知等差数列an的前 n 项和为Sn，a11，若am1 am am118，且Sm 28，则 m 的值为（）A7 B8 C14 D165.若tan 2，则cos2（）4433 B C D55550.236.已知a 3，b 0.5，c log30.7，则a,b,c的大小关系为（）AA.a b c B.b a c C.a b cD.b a cBR C7已知圆锥的底面半径为R，高为 4R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是（）A22R2942825R DR2238.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，蹴最早系外包皮革、内饰米糠的球。因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的 足球足球。2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D 满足ABCD9cm，BD AC 15cm，AD BC 13cm，则该“鞠”的表面积为（）cm2A475465 B235 C D23022二、多选题：二、多选题：（本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分。分。）9已知曲线C:mx2ny21（）A若m 0，n0，则C是两条直线B若m n0，则C是圆，其半径为nC若m n 0，则C是椭圆，其焦点在x轴上D若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为y 10.已知,是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A若，m，m，则m/B若m n,m,n/，则C若，mxn m，n，则m nD若m/n,/，则m与所成的角和n与所成的角相等11已知函数fx cos2x，则下列结论正确的是（）6 7Afx的最小正周期为 2 Bfx在,单调递增12 127y f x fxf x C 的图象关于(,0)对称 D的最小值为 24612已知三棱锥P ABC中，O为AB中点，PO平面ABC，APB90，PA PB 2，则下列说法中正确的是（）A若O为B若的外心，则PC 2为等边三角形，则AP BCC当ACB90时，PC与平面PAB所成角的范围为0,4 D当PC4时，M为平面PBC内动点，若OM/平面PAC，则M在三角形PBC内的轨迹长度为2三、填空题：三、填空题：（本大题共（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13若a (2,1,1),b (3,2,2)，且a b b，则实数_。314.已知函数fx是奇函数，且满足f(x)f(x 3)，若当x0,时，f(x)x，则2f(2021)。15 已知抛物线C：x 2pyp 0的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作l的垂线交l于点E，2且PFE 60，PF 6，则抛物线C的方程为。x2y216.设双曲线过F1的直线与F1PF221的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，16b的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程_；M在曲线E上，点A(8,0)，B(5,6)，则1AM BM的最小值_。（第一空（第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分）分）2四、解答题：四、解答题：（本大题共（本大题共6 6 小题，共小题，共7070分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）3A3A,sin)，17.（10 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m (cos22AAn (cos，sin)，且满足mn 3。22(1)求角A的大小；(2)若a 2，且ABC的面积为3，求ABC的周长。18.（12 分）在数列an中，Sn为an的前n项和，若在Sn3n 13；22Sn an13，a1 3这两个条件中任选一个填入上面的横线上并解答。注：若选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。（1）证明an为等比数列；（2）设bn log3an，且Tn19（12 分）已知半径为 2 的圆C与直线l1：4x3y 10 0相切，且圆心在x轴非负半轴上。（1）求圆C的方程；（2）直线l2：y 1111.，证明Tn1。b1b2b2b3b3b4bnbn132 6与圆C交于A，B两点，分别过A，B作直线l2的垂线与x轴分别交于M，x33N两点，求MN。20.（12 分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面AA1C1C平面ABC，ABC=90，BAC=30，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点。（1）证明：EF BC；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的正弦值。21（12 分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80 万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4 万元，以后每月增加2 万元。如果从今年一月起投资500 万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(n)=n2+kn(k是常数)，且前 3 个月的累计生产净收入可达309 万元，从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第4 个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120 万元。(1)求前 6 个月的累计生产净收入g(6)的值；(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入。x2y222.（12 分）已知椭圆C:221(a b 0)过点P2,1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，且abPF1PF2 1。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l平行于 OP（O 为原点），且与椭圆 C 交于 A、B两点，与直线x 2交于点M（M介于A、B两点之间）。（i）当PAB面积最大时，求l的方程；（ii）求证：|PA|MB|PB|MA|。数学答案数学答案一、单选题：一、单选题：1-81-8 CB A BD C C A二、多选题：二、多选题：9.9.AD10.10.ACD11.11.CD12.12.ACD三、三、填空题：填空题：13.13.62 14.14.-115.15.x 6y 16.16.x2 y2163 5（第第一一空空2 2分分，第第二二空空3 3分分）178.8.将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，则“鞠”的表面积为四面体A-BCD外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有a2b2 92，a2c2152，b2c2132，设长方体外接球半径为R,则有2R2 a2+b2+c2，解得4R24754752。，所以外接球的表面积为：S 4R 22可得PO OC，2，PO平面ABC，OP OAOB 2，12.12.依题意，画图如下：若O为故PC 的外心，则OA OB OC PO2OC2 2，A 正确；若为等边三角形，AP BC，又AP PB，BC与PB相交于平面PBC内，可得AP 平面PBC，即AP PC，由PO OC，OP OAOB 2，可得OC 3AC 6，故2PC PO2OC226 2 2 AC，矛盾，B 错误;若ACB90，设PC与平面PAB所成角为，由 A 正确，知OC OAOB 平面PAB的距离为d由VCPABVPABC可得d 即有可得d的最大值为2，2,PC 2，设C到1311122 2 AC BC232当且仅当AC BC 2取等号。，即的范围为0,，C 正确；4 取BC中点N，PB的中点K，连接OK,ON,KN，由中位线定理可得，ON/AC，OKPA，则平面OKN/平面PAC，由OM/平面PAC，可得M在线段KN上，即轨迹KN 1PC 2，可得 D 正确；2故选：ACD16.16.如图所示：延长F1Q与PF2的延长线交于点 H，则OQ=HF2=(PH-PF2)=lPF1-PF2l=a=4,故轨迹方程为x2 y216取点C2,0，则OCOM1，MOCMOA，故MC=OMOA2，H1AM BM MC BM BC 3 5，当BMC共线时等号成立.2故答案为：x2 y216；3 5四、解答题：四、解答题：17.17.(1)由m n 3得m n 2mn 3.1 分223AA3AA即11 2coscossinsin 3.2 分22221cos A.3 分2又0 A .4 分A 3 .5 分(2)SABC1bcsin A 3且A .6分23bc 4，又a 2 .7分b2 c2 a2(b c)2 2bc a2由余弦定理得：cos A.8 分2bc2bc1(b c)28 4即bc 4 .9分28ABC 的周长为：abc 6 .10分3n 131818证明：（1）选条件，在Sn，nN*中，令n 1，得S1 a1 3.1 分2n1333n3当n 2时，an SnSn1 3n.4 分22a1 3符合上式，所以an 3n.5 分an1 3，nN*数列an是以 3为首项，3为公比的等比数列.6 分所以an选条件，在2Sn an13，nN*中，令n 1，得2S1 a23,即a2 2a13 9.1 分2Sn an13当n 2时，由，得到2an an1an,则an1 3an.4 分2S a 3nn1an1 3，nN*.5 分a 3a又21，所以an数列an是以 3 为首项，3为公比的等比数列.6 分(2)bn n1111.8 分bnbn1nn1nn11 111n1nnn111 1111 Tn12233411.11 分n1Tn1.12 分1919（1）设圆心Cm,0，（m.1 分因为圆C与直线l1相切，则圆心C到l1的距离d 4m1042324m10 2，.3 分5解得m 0，所以C0,0，.4 分圆C的方程为x y 4.5 分（2）如图，过M作l2的平行线与BN交于点E，所以ME AB，因为直线l2的斜率为斜角为所以22，即EMN，.6 分663，所以其倾3ME32 3 cosEMN，即MN AB，.7 分MN2332 6的距离为d1，x33设圆C圆心0,0到直线l2：y 则d12 6331322 632，.9 分32所以AB 2 r2d12 2 42 2 2，.11 分即MN 2 32 34 6.12 分AB 2 2 33320.20.方法一：证明：（1）连接 A1E，A1AA1C，E是 AC的中点，A1EAC，.1 分又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1ACC1，平面 A1ACC1平面 ABCAC，A1E平面 ABC，.2 分又BC 平面ABCA1EBC，.3 分A1FAB，ABC90，BCA1F，.4 分A1FA1EA1，BC平面 A1EF，.5 分又EF 平面A1EFEFBC .6 分解：（2）取 BC中点 G，连接 EG、GF，则 EGFA1是平行四边形，由于 A1E平面 ABC，故 A1EEG，平行四边形 EGFA1是矩形，由（1）得 BC平面 EGFA1，则平面 A1BC平面 EGFA1，EF在平面 A1BC上的射影在直线 A1G上，连接 A1G，交 EF于 O，则EOG是直线 EF与平面 A1BC所成角（或其补角），.9 分不妨设 AC4，则在 RtA1EG中，A1E23，EG3，AGEO2OG2 EG23151O 是 A1G 的中点，故 EOOG，cosEOG，522EOOG2直线 EF与平面 A1BC所成角的正弦值为.12 分方法二：证明：（1）连接 A1E，A1AA1C，E 是 AC的中点，A1EAC，又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1ACC1，平面 A1ACC1平面 ABCAC，A1E平面 ABC，.2 分如图，以E 为原点，在平面ABC中，过E作 AC的垂线为 x轴，EC，EA1所在直线分别为 y，z 轴，建立空间直角坐标系，.3 分设 AC4，则 A1（0，0，23），B（3,1,0），B1（3,3,2 3），F（分3 3，C（0，2，0），.4，2 3）22EF（3 3，BC（3,1,0），由EF.BC0，得 EFBC.6 分，2 3）22解：（2）设直线 EF与平面 A1BC所成角为，由（1）得BC（3,1,0），AC（0，2，23），设平面 A1BC的法向量n（x，y，z），1BC.n 3x y 0则，取 x1，得n（1，3,1），.9 分A1C.n y 3z 0cos EF,n EF nEF n4.11 分5sin44，直线 EF 与平面 A1BC 所成角的正弦值为.12 分5521（1）据题意g33 3k 309，解得k 100.gn n 100n.2 分22第 4个月的净收入为g4 g3107万元.3 分g6 g42107 424002107630万元.4 分2n 100n,n 4,（2）gng4 g3,n 4,g4n4n2100n,n 4,即gn.6 分107n12,n 4.要想投资开始见效，必须且只需gn500120 80n4nnn12，.7 分2即gnn 77n380 0，.8 分2当n 1,2,3,4时，n2100nn277n380 0,即2n2 23n380 0,即n2n23 380，显然不成立.9 分当n 4时，107n12n277n3800，即n230n3920，即nn30 392，验算得n10时，nn30 392，.11 分所以，经过 10个月投资开始见效.12 分22（1）设F1(c,0)，F2(c,0)，则PF，PF2(c2,1)，1(c2,1)PF1PF2 c241 1，c 6，.1 分又P(2,1)在椭圆上，故4121，又a2 b26，解得a2 8，b2 2，.2 分2abx2y2故所求椭圆C的方程为1.3 分82（2）（i）由于kOP11，设l的方程为y x t，Ax1,y1，Bx2,y2，221y xt2由2，消去y整理得x2 2tx 2t24 0，.4 分2xy12 8x x 2t122由韦达定理可得：x1x2 2t 4，.5 分22 4 t 4 0 t 4则|AB|114x1 x24x1x2254t242t2425164t25 4t2，又点P到l的距离2d|t|11222|t|5，所以SPAB12|t|5 4t2254tt22t24t22 2.7 分当且仅当4t2 t2，即t2 2时，等号成立.又M介于A、B两点之间，故t 2.故直线l的方程为：y 1x 2.8 分2（ii）要证结论成立，只须证明|PA|PB|，由角平分线性质即证：直线x 2为APB的平分线，转|MA|MB|化成证明：kPA kPB 0.9 分由于kPAkPB 1 1y11y21x1t1x22x2t1x1222x12x22x12x22x1x2(t 2)x1 x24(t 1)2t242t(t 2)4(t 1)44t 4t 4 0 x12x22x12x22x12x22因此结论成立.12 分
