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第一章第一章 温度温度1-11-1 在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和热力学温标？解：（1）当时，即可由时，解得故在（2）又当时 则即解得：故在（3）若则有时，显而易见此方程无解，因此不存在的情况。1-21-2 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。（1）用温度计测量 300K 的温度时，气体的压强是多少？（2）当气体的压强为68mmHg 时，待测温度是多少？解：对于定容气体温度计可知：(1)(2)1-31-3 用定容气体温度计测得冰点的理想气体温度为273.15K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与水的三相点时压强之比的极限值。解：根据已知 冰点。1-41-4 用定容气体温度计测量某种物质的沸点。原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为减为 200mmHg时,重新测得,当从,当再抽出一些测温泡中抽出一些气体,使气体使减为 100mmHg 时,测得.试确定待测沸点的理想气体温度.解：根据从理想气体温标的定义：时,T 约为 400.5K 亦即沸点为 400.5K.依以上两次所测数据,作 T-P 图看趋势得出题 1-4 图1-51-5 铂电阻温度计的测量泡浸在水的三相点槽内时，铂电阻的阻值为90.35 欧姆。当温度计的测温泡与待测物体接触时，铂电阻的阻值为90.28 欧姆。试求待测物体的温度，假设温度与铂电阻的阻值成正比，并规定水的三相点为273.16K。解：依题给条件可得则故，1-61-6 在历史上，对摄氏温标是这样规定的：假设测温属性X 随温度 t 做线性变化即，并规定冰点为设解：和，汽化点为。分别表示在冰点和汽化点时X 的值，试求上式中的常数a 和 b。由题给条件可知由（2）-（1）得将（3）代入（1）式得1-71-7 水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm；温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为 24.0cm。（1）在室温时，水银柱的长度为多少？（2）温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为 25.4cm，试求溶液的温度。解：设水银柱长与温度成线性关系：当代入上式当，时，（1）（2）1-81-8 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在冰点和汽化点时，其中气体的压强分别为和。时，待测温度是多少？），气体的压强是多少？（1）当气体的压强为（2）当温度计在沸腾的硫中时（硫的沸点为解：解法一 设 P 与 t 为线性关系：由题给条件可知：当时有当时得：由此而得（1）（2）时解法二 若设 t 与 P 为线性关系利用第六题公式可得：由此可得：（1）（2）时时1-9 当热电偶的一个触点保持在冰点，另一个触点保持任一摄氏温度t 时，其热电动势由下式确定：式中题 1-9 题（1）题 1-9 图（2）题 1-9 图（3）（1）试计算当围内作图。（2）设用并规定冰点为（3）求出与（4）试比较温标 t 和温标解：令（1）。和时热电动势的值，并在此范为测温属性，用下列线性方程来定义温标，汽化点为：图。图，试求出 a 和 b 的值，并画出和对应的值，并画出（2）在冰点时，汽化点，而，已知解得：（3）当时当时当时当时只有在汽化点和沸点具有相同的值，随线性变化，而t 不随（4）温标t 和温标线性变化，所以用作测温属性的温标比 t 温标优越，计算方便，但日常所用的温标是摄氏温标，t 与虽非线性变化，却能直接反应熟知的温标，因此各有所长。1-10 用 L 表示液体温度计中液柱的长度。定义温标式中的 a、b 为常数，规定冰点为度为差以及，汽化点为到与 L 之间的关系为。设在冰点时液柱的长之间液柱长度，在汽化点时液柱的长度，试求到之间液柱的长度差。解：由题给条件可得：（1）（2）解联立方程（1）（2）得：则1-11 定义温标与测温属性 X 之间的关系为，其中 K 为常数。，试确定温标（1）设 X 为定容稀薄气体的压强，并假定在水的三相点为与热力学温标之间的关系。（2）在温标（3）在温标中，冰点和汽化点各为多少度？中，是否存在 0 度？解：（1）根据理想气体温标，而 X=P（1）由题给条件，在三相点时代入式代入（1）式得：（2）（2）冰点代入（2）式得汽化点代入（2）式得（3）若，则从数学上看，不小于 0，说明薄汽体可能已液化，0 度不能实测。1-121-12 一立方容器，每边长 20cm 其中贮有时，容器每个壁所受到的压力为多大？解：对一定质量的理想气体其状态方程为有 0 度存在，但实际上，在此温度下，稀，的气体，当把气体加热到因，而故升到时，其体积将1-131-13 一定质量的气体在压强保持不变的情况下，温度由改变百分之几？解：根据方程则体积改变的百分比为1-141-14 一氧气瓶的容积是，其中氧气的压强是，规定瓶内氧气压强降到氧气，时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用问一瓶氧气能用几天。解：先作两点假设，（1）氧气可视为理想气体，（2）在使用氧气过程中温度不变。则：由可有每天用掉的氧气质量为瓶中剩余氧气的质量为天1-151-15 水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的读数为变。时，它的读数只有。此时管内水银面到管顶的距离为时，实际气压应是多少。设空气的温度保持不。问当此气压计的读数为题 1-15 图解：设管子横截面为S，在气压计读数为强分别为和，根据静力平衡条件可知和时，管内空气压，由于 T、M 不变根据方程有，而1-161-16 截面为的粗细均匀的 U 形管，其中贮有水银，高度如图1-16 所示。今将左侧的上端封闭年，将其右侧与真空泵相接，问左侧的水银将下降多少？设空气的温度保持不变，压强题 1-16 图解：根据静力平均条件，右端与大气相接时，左端的空气压强为大气压；当右端与真空泵相接时，左端空气压强为（两管水银柱高度差）设左端水银柱下降即整理得：常数（舍去）1-171-17 图 1-17 所示为一粗细均匀的 J 形管，其左端是封闭的，右侧和大气相通，已知大气压强为，今从 J 形管右侧灌入水银，问当右侧灌满水银时，左侧水银柱有多高，设温度保持不变，空气可看作理想气体。题 1-17 图解：设从 J 形管右侧灌满水银时，左侧水银柱高为h。假设管子的直径与忽略不计，因温度不变，则对封闭在左侧的气体有：相比很小，可而（S 为管的截面积）解得：（舍去）1-18 如图 1-18 所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来开管内水银下降了，问闭管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的高度R 和大气压强为，是已知的。题 1-18 图解：设截面积为 S，原闭管内气柱长为 R 大气压为 P 闭管内水银面下降后，其内部压强为。对闭管内一定质量的气体有：以水银柱高度为压强单位：取正值，即得1-19 一端封闭的玻璃管长，贮有空气，气体上面有一段长为的水银柱，将气柱封住，水银面与管口对齐，今将玻璃管的开口端用玻璃片盖住，轻轻倒转后再除去玻璃片，因而使一部分水银漏出。当大气压为时，六在管内的水银柱有多长？解：题 1-19 图，以水银柱高度表示压强，设在正立情况下管内气体的压强为倒立时，管内气体的压强变为，水银柱高度为由于在倒立过程温度不变，解之并取的值得，温度为时的密度。1-201-20 求氧气在压强为解：已知氧的密度1-211-21 容积为为的瓶内贮有氢气，因开关损坏而漏气，在温度为时，气压计的读数。过了些时候，温度上升为，气压计的读数未变，问漏去了多少质量的氢。解：当时，容器内氢气的质量为：当故漏去氢气的质量为时，容器内氢气的质量为：1-221-22 一打气筒，每打一次可将原来压强为的空气压缩到容器内。设容器的容积为容器内的空气温度为解：打气后压强为：有空气，设所需打气次数为，压强为，温度为，体积，问需要打几次气，才能使。，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没，则得：次、和，现将气满足1-231-23 一气缸内贮有理想气体，气体的压强、摩尔体积和温度分别为缸加热，使气体的压强和体积同时增大。设在这过程中，气体的压强下列关系式：（1）求常数（2）设解：根据其中，将结果用为常数，和普适气体常数表示。和摩尔体积，当摩尔体积增大到理想气体状态方程时，气体的温度是多高？和过程方程有（1）（2）而，则1-241-24 图 1-24 为测量低气压的麦克劳压力计的示意图，使压力计与待测容器相连，把贮有水银的瓶 R 缓缓上提，水银进入容器B，将 B 中的气体与待测容器中的气体隔开。继续上提瓶 R，水银就进入两根相同的毛细管设容器的容积为和内，当中水银面的高度差，求待测容器中的气压。，毛细管直径题 1-24 图解：设管体积，当水银瓶 R 上提时，水银上升到虚线处，此时B 内气体压强与待内气体压强增大测容器的气体压强相等。以B 内气体为研究对象，当R 继续上提后，到，由于温度可视为不变，则根据玻-马定律，有由于1-251-25 用图 1-25 所示的容积计测量某种轻矿物的操作步骤和实验数据如下：（1）打开活拴 K，使管 AB 和罩 C 与大气相通。上度移动D，使水银面在 n 处。（2）关闭 K，往上举 D，使水银面达到 m 处。这时测得 B、D 两管内水银面的高度差。（3）打开 K，把 400g 的矿物投入 C 中使水银面重密与对齐，关闭K。（4）往上举D，使水银面重新到达m处，这时测得B、D 两管内水银面的高度差已知罩 C 和 AB 管的容积共为，求矿物的密度。题 1-25 图解：设容器 B 的容积为，矿物的体积为，为大气压强，当打开 K 时，罩内压强，假设为，步骤（2）中罩内压强为,步骤（4）中，罩内压强为操作过程中温度可视不变，则根据玻-马定律知未放矿石时：放入后：解联立方程得1-26 一抽气机转速转/分，抽气机每分钟能够抽出气体，设容器的容积降到。，问经过多少时间后才能使容器的压强由解：设抽气机每转一转时能抽出的气体体积为当抽气机转过一转后，容器内的压强由抽出压强为的气体，因而有降到，则，忽略抽气过程中压强的变化而近似认为，当抽气机转过两转后，压强为当抽气机转过 n 转后，压强设当压强降到时，所需时间为分，转数1-27 按重量计，空气是由的氮，的氧，约的氩组成的（其余成分很少，可以忽略），计算空气的平均分子量及在标准状态下的密度。解：设总质量为 M 的空气中，氧、氮、氩的质量分别为量分别为空气的摩尔数。氧、氮、氩的分子则空气的平均摩尔质量为即空气的平均分子量为 28.9。空气在标准状态下的密度1-281-28 把的氮气压入一容积为的容器，容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体的压强和各种气体的分压强，假定容器中的温度保持不变。解：根据道尔顿分压定律可知不变。又由状态方程且温度、质量 M1-291-29 用排气取气法收集某种气体（见图1-29），气体在温度为，试求此气体在干燥时的体积。时的饱和蒸汽压为题 1-29 图解：容器内气体由某气体两部分组成，令某气体的压强为则其总压强干燥时，即气体内不含水汽，若某气体的压强也为则根据 PV=恒量（T、M 一定）有其体积 V，1-301-30 通常称范德瓦耳斯方程中碳和氢分别为0.01 和 0.001 时的内压强，一项为内压强，已知范德瓦耳斯方程中常数a，对二氧化和，试计算这两种气体在，解：根据内压强公式，设内压强为的内压强。当时，当时当时1-311-31 一摩尔氧气，压强为，体积为，其温度是多少？解：由于体积较小，而压强较大，所以利用状态方程则必然出现较大的误差，因此我们用范氏方程求解式中1-321-32 试计算压强为为，密度为，的氧气的温度，已知氧气的范德瓦耳斯常数。解：设氧气的质量为，所占的体积为，则有根据范氏方程则有代入数据得：的二氧化碳的压强。已知容器的，。1-331-33 用范德瓦耳斯方程计算密闭于容器内质量容积，气体的温度已知二氧化碳的范德瓦斯常数为解：（1）应用范氏方程计算：。试计算结果与用理想气体状态方程计算结果相比较。得出：代入数据计算得：（2）应用理想气体状态方程：小结：应用两种方程所得的P 值是不同的，用范氏方程所得结果小于理想气体方程所得的P值。其原因是由于理想气体状态方程忽略分子间作用力和气体分子本身所占的体积，所以使得计算的压强大于真实气体的压强。第二章第二章气体分子运动论的基本概念气体分子运动论的基本概念2-1目前可获得的极限真空度为10 mmHg的数量级，问在此真空度下每立方厘米内有多少空气分子，设空气的温度为27。解：由P=n K T可知-131010131.3310293n=P/KT=3.2110(m)231.3810(27 273)注：1mmHg=1.3310 N/m2-2钠黄光的波长为5893埃，即5.89310 m，设想一立方体长5.89310 m，试问在标准状态下，其中有多少个空气分子。解：P=nKTPV=NKT其中T=273K P=1.01310 N/m52-7-722PV1.013105(5.893107)365.510N=个23KT1.38102732-3一容积为11.2L的真空系统已被抽到1.010 mmHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.010 mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子。解：设烘烤前容器内分子数为N。，烘烤后的分子数为 N。根据上题导出的公式PV=NKT则有：-2-5N N1 N0P1V1P0VVP1P0()KT1KT0K T1T03因为P0与P1相比差10 数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此P0T0与P1相比可以忽略T1NP111.21031.01021.33102N 1.881018个23KT11.3810(273 300)2-4容积为2500cm 的烧瓶内有1.010 个氧分子,有4.010 个氮分子和3.310 g的氩气。设混合气体的温度为150,求混合气体的压强。解：根据混合气体的压强公式有 PV=（N氧+N氮+N氩）KT其中的氩的分子个数：N氩=31515-7M氩氩3.31010N06.0231023 4.971015（个）40151.381023 423 2.33102Pa P=（1.0+4.0+4.97）1025001.7510mmHg2-5一容器内有氧气，其压强P=1.0atm,温度为t=27，求(1)单位体积内的分子数：(2)氧气的密度；(3)氧分子的质量；(4)分子间的平均距离；(5)分子的平均平动能。解：(1)P=nKT4P1.01.013105 2.451025m-3n=23KT1.3810300(2)PRT1321.30g/l0.0823001.3103 5.31023g(3)m氧=25n2.4510(4)设分子间的平均距离为d，并将分子看成是半径为d/2的球，每个分子的体积为v0。V0=4d33()d326d 366 4.28107cm19n2.4410(5)分子的平均平动能为：33KT 1.38 1016(273 27)6.21 1014（尔格）222-6 在常温下(例如27)，气体分子的平均平动能等于多少ev?在多高的温度下，气体分子的平均平动能等于1000ev?解：(1)33KT 1.38 1023 300 6.21 10 21（J）22-19leV=1.610 J6.21 1021 2(ev)3.88 10191.6 1022 1031.6 1019(2)T=7.7 106K 233K3 1.38 102-7一摩尔氦气，其分子热运动动能的总和为3.7510 J,求氦气的温度。:解:3E3KTNA22E2E2 3.75 103T 301 K3KNA3R3 8.312-8质量为10Kg的氮气，当压强为1.0atm,体积为7700cm 时，其分子的平均平动能是多少？解:T 3PVMR而3kt22MRJ3PV3 1.013 104 7700 2824 5.4 102MN02 10 6.022 10232-9 质量为50.0g，温度为18.0的氦气装在容积为10.0L的封闭容器内，容器以v=200m/s的速率作匀速直线运动。若容器突然静止，定向运动的动能全部转化3KPV为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强将各增大多少？解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于1当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，mv2，2313每个分子的平均热运动能量则为KT mv2KT1222mv2v2T2T13K3RT=344 10 4 10 6.42 K3 8.31因为容器内氦气的体积一定，所以P2PP PP112T2T1T2 T1T故P=PM1T，又由PV RT11T1得：P1MRT1/VP=MR T0.05 0.082 6.42 6.58 101（atm）3V4 10 102-10 有六个微粒，试就下列几种情况计算它们的方均根速率：(1)六个的速率均为10m/s；(2)三个的速率为5m/s,另三个的为10m/s；(3)三个静止，另三个的速率为10m/s。解：（1）V26 102 10 m/s63 102 3 52 7.9m/s63 102 7.1m/s6（2）V2（3）V22-11 试计算氢气、氧气和汞蒸气分子的方均根速率，设气体的温度为 300K，已知氢气、氧气和汞蒸气的分子量分别为2.02、32.0和201。VH 2解：23RTH 23 3.81 3002.02 103V02237 105 1.9 103m/s3 8.31 300 4.83 102m/s332 103 8.31 3002 1.93 10m/s3201 10VHg22-12 气体的温度为T=273K,压强为 P=1.0010 atm,密度为=1.2910 g(1)求气体分子的方均根速率。(2)求气体的分子量，并确定它是什么气体。解：（1）-2-5V23RT3P 485 m/s（2）m=28.9PNART 28.9 103kg/mol 28.9 g/molnP该气体为空气2-13 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？解：在地球表面的逃逸速率为 V地逸=2gR地2 9.8 6370 103 1.12 104m/s在月球表面的逃逸速率为V月逸=2 g月R月2 0.17 g地 0.27 R地52 0.17 9.8 0.27 6.370 10 2.4 10m/s3又根据V23RTT v23R2当TH2=V 1.12 104m/s时，则其温度为22 103（1.12 104）3 8.31H 2 v地逸23R 1.01 104KTO2=O 2 v地逸23R232 103（1.12 104）3 8.31 1.6 105K当V2 2.4 103m/s时222 103（2.4 103）TH2=3R3 8.31 4.6 102KH 2 v月逸TO2=O 2 v月逸23R232 103（2.4 103）3 8.31 7.4 103K2-14 一立方容器，每边长1.0m，其中贮有标准状态下的氧气，试计算容器一壁每秒受到的氧分子碰撞的次数。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。解：按题设v V23RT3 8.3 273 461米/秒32 103设标准状态下单位容器内的分子数为n，将容器内的分子按速度分组，考虑速度为vi的第i组。说单位体积内具有速度vi的分子数为ni，在时间内与dA器壁相碰的分子数为nivixdtdA，其中vix为速度vi在X方向上的分量，则第i组分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为nivix，所有分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为：D n viiix1nnivix2ivx21/n 2n vniiiixi1nn vx22nv223即D n233RT在标准状态下n=2.6910 m25-323 3.58 1027(s1)D 1 2.69 10253 8.81 27332 1032-15 估算空气分子每秒与1.0cm 墙壁相碰的次数，已知空气的温度为300K，压强为1.0atm，平均分子量为29。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。解：与前题类似，所以每秒与1cm 的墙壁相碰次数为：22D n233RTPKTS3RT S123 3.59 1023S12-16 一密闭容器中贮有水及饱和蒸汽，水的温度为100，压强为1.0atm，已知在这种状态下每克水汽所占的体积为1670cm，水的汽化热为2250J/g（1）每立方厘米水汽中含有多少个分子？（2）每秒有多少个水汽分子碰到水面上？（3）设所有碰到水面上的水汽分子都凝结为水，则每秒有多少分子从水中逸出？（4）试将水汽分子的平均动能与每个水分子逸出所需能量相比较。解：（1）每个水汽分子的质量为：m 3N0每cm 水汽的质量M 31vn NM0mv则每cm 水汽所含的分子数3 2 1026m3（2）可看作求每秒与1cm 水面相碰的分子数D，这与每秒与1cm 器壁相碰的分子数方法相同。在饱和状态n不变。22D 123nv s 2123n s3RT 4.15 1023(个）（3）当蒸汽达饱和时，每秒从水面逸出的分子数与返回水面的分子数相等。（4）分子的平均动能 3KT2 7.72 1021(J)每个分子逸出所需的能量E Lm 2250 N0 6.73 1020(J)显而易见 E，即分子逸出所需能量要大于分子平均平动能。2-17 当液体与其饱和蒸气共存时，气化率和凝结率相等，设所有碰到液面上的蒸气分子都能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸气分子迅速抽去时液体的气化率与存在饱和蒸气-6时的气化率相同。已知水银在0时的饱和蒸气压为1.8510 mmHg，汽化热为80.5cal/g，问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。解：根据题意，气化率和凝结率相等-6P=1.8510 mmHg-4-2=2.4710 Nm气化的分子数=液化的分子数=碰到液面的分子数 N，由第 14 题结果可知：N 123nv s 2123n s3RT 3.49 1014(个）则每秒通过 1cm 液面向真空气化的水银质量2M mNN0N 201 3.49 1014236.022 10 1.16 107(g)-12-18 已知对氧气，范德瓦耳斯方程中的常数b=0.031831mol，设 b 等于一摩尔氧气分子体积总和的四倍，试计算氧分子的直径。解：b 4 NO4d()232d 33b2NO 2.93 108(cm)2.93 1010(m)2-19 把标准状态下 224 升的氮气不断压缩，它的体积将趋于多少升？设此时的氮分子是一个挨着一个紧密排列的，试计算氮分子的直径。此时由分子间引力所产生的内压强约为2-2-1多大？已知对于氮气，范德瓦耳斯方程中的常数a=1.390atml mol，b=0.039131mol。解：在标准状态西 224l 的氮气是 10mol 的气体，所以不断压缩气体时，则其体积将趋于 10b，即 0.39131，分子直径为：d 33b2NO 3.14 108(cm)内压强 P内=a1.39 907.8atmV20.039132注：一摩尔实际气体当不断压缩时（即压强趋于无限大）时，气体分子不可能一个挨一个的紧密排列，因而气体体积不能趋于分子本身所有体积之和而只能趋于b。2-20 一立方容器的容积为 V，其中贮有一摩尔气体。设把分子看作直径为 d 的刚体，并设想分子是一个一个地放入容器的，问：（1）第一个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？（2）第二个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？（3）第 NA个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？（4）平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间体积是多大？由此证明，范德瓦耳斯方程中的改正量b 约等于一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。解：假定两分子相碰中心距为d，每一分子视直径为 d 的小球，忽略器壁对分子的作用。3（1）设容器四边长为 L，则 V=L，第一个分子放入容器后，其分子中心与器壁的距离应d3，所以它的中心自由活动空间的体积V1=（L-d）。2（2）第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V1减去第一个分子的排斥球体积，即：V2 V14d234d23(3)第 NA个分子放入后,其中心能够自由活动的空间体积:VA V1(NA 1)(4)平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为：V 1444V1(V1d3)(V1 2 d3)V1(NA 1)d NA33314NAV1d31 2 3 (NA 1)NA3N 14d3A32 V1因为L d，NA 1，所以V V N44dd3A V 4 NA()33232容积为 V 的容器内有 NA个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b 的定义，每个分子自由活动空间V V b，与上面结果比较，易见：b 4 NA4d()332即修正量 b 是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。第第 三三 章章气体分子热运动速率和能量的统计分布律气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数 Ni速率 Vi（m/s）试求(1)平均速率 V；（2）方均根速率V解：（1）平均速率：221.0042.0063.0084.0025.00（3）最可几速率 VpV 2 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 3.182 4 6 8 2(m/s)(2)方均根速率V2 NiVi2 3.37 Ni(m/s)3-2 计算 300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。VP解：2RT2 8.31 300 395 m/s32 103V 8RT8 8.31 300 446 m/s3.14 32 1033 8.31 300 483 m/s32 103V23RT3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K 和 10000K。VP解：2RT代入数据则分别为：2V 2.28 10m/sPT=100K 时2V 7.21 10m/sPT=1000K 时3V 2.28 10m/sPT=10000K 时3-4 某种气体分子在温度 T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求 T2/T1。V解：因23RTV 8RT2由题意得：3RT8RT23T2/T1=83-5 求 0时 1.0cm3氮气中速率在 500m/s 到 501m/s 之间的分子数（在计算中可将 dv 近似地取为v=1m/s）解：设 1.0cm3氮气中分子数为 N，速率在 500501m/s 之间内的分子数为N，由麦氏速率分布律：V2m22 KTN 4()eV2 V2KT N=3m Vp2=2KT，代入上式m4NN=因 500 到 501 相差很小，故在该速率区间取分子速率V=500m/s，V1V2eVp2V22VpV又VP2 8.31 273 402 m/s28 103V=1m/sv（=1.24）代入计算得：N=1.86103N 个vp3-6设氮气的温度为 300，求速率在 3000m/s 到 3010m/s 之间的分子数N1与速率在1500m/s 到 1510m/s 之间的分子数N2之比。解：取分子速率为 V1=3000m/sV2=1500m/s,V1=V2=10m/s由 5 题计算过程可得：4NV1=4 NV1pV2eVpV2eVp22V122VpV1V222VpN2=V1pV2V12)Vp(V12)eVp(N/N2=V12(Vp)()eVpV12其中 VP=2 8.31 5733 2.18 102 103m/sv1v2=1.375，=0.687vpvp21.3752N11.375 e 0.96920.6872N20.687 e解法 2：若考虑V1=V2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求N1，N2V22VP4 NdN=N1=Vp3eV2dVV2V1V4dN dN dN00V2V100N2=V3vi令 Xi=i=1、2、3、4 利用 16 题结果:vpVidN dN dNV4V30dN N erf(xi)22xie xi2N erf(x2)N1=xie22 x2 N erf(x1)2x1e22 x1（1）N erf(x4)N2=x4e x4 N erf(x3)2x3e x3（）22RT其中 VP=2.182103m/sx1V11.375VPV3 0.687VPx2V21.379VPx3x4V4 0.6722VP查误差函数表得：erf(x1)=0.9482erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687erf(x4)=0.6722将数字代入（）、（）计算，再求得：N1 0.703N23-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1）速率在区间 vp1.0vp1 内（2）速度分量 vx在区间 vp1.0vp1 内（3）速度分量 vp、vp、vp同时在区间 vp1.0vp1 内解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为N1、N2、N3（1）由麦氏速率分布律：N=V2V1dN dN dN00V2V1xi令 v2=1.01vp，vi=vp，vivpx1，则v11vpx2，v21.01vp，利用 16 题结果可得；22N122 x2 x1 erf(x2)x2e erf(x1)x1eN查误差函数表：erf（x1）=0.8427erf（x2）=0.8468N1 0.008N（2）由麦氏速率分布律：2vxdNxNve1pv2pdvxN2Nvv2vp01pv20e(vx2)vpdvxNv1pv10e(vx2)vpdvxN21Nvv1exp(x)2d(x)vpvpv1vp0exp(vx2v)d(x)vpvpx 令vxvpx1，v11vpx2x2，v21.01vp1N21N利用误差函数：0e x2dx x10e x2 dxerf(x)2x0exp(x2)dxN21erf(x2)erf(x1)N210.8468 0.8427 0.21%2x（3）令vxvp，由麦氏速度分布律得：22vxv2yvzdN313vpeNv2p dvxdvydvz23x1 x1N313x2 x2()edx edx 00NN23()(0.002)3 0.8 108N23-8 根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以 dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作 1摩尔氧气在 100K 和 400K 时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：v2dNm22 KT 4N()ev2dv2KT3m将=3.14，N=NA=6.021023T=100Km=3210-3代入上式得到常数：mm4NA()2eB 2KT2KTA=2dN Ae BVV2dv（1）3为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：y 令2dN Ae BVV2dv则22dy Ae BV 2V V2 e BV(2BV)0dv得V VP1B又在 V=0 时，y=0，V时，y0VP1又1B12KT1mVP 21B22KT2mT1=100KT2=400KVP1VP 2由此作出草图13-9 根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v。11f(V)dvv0Vm22KT 4()eVdV02KTm2KTm 4()()e2KTV2d(V2)02KTm2KT3m3mv2 4(mKT)()e2KTm32mV22KT0解：3-10 一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2）每小时有多少克水银从小孔逸出？2m4KTVV 8RT8 8.31 3733.14 201 1032 1.98 10(m/s)解：（1）（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：N 1nV s t411PVdnV s()24KT是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2是小孔面积，其中4N t=3600s，故1PV s t4KT，代入数据得：N=4.051019（个）M mN NA19201 103N 4.05 106.02 10232 1.35 10(g)3-11 如图 3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为。试证明：如隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：M A(P1 P2)2RT证明：设 p1p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。从 1 跑到 2 的分子数：N11n1V1 A t41n2V2 A t4从 2 跑到 1 的分子数：N2实际通过小孔的分子数：（从 1 转移到 2）N N1 N2n 因 t=1 秒，T1=T2=T1At(n1V1 n2V2)4PV KT，8RTM mn P218RTPAm(14KTKT)(P1 P2)1A4RT8RTA(P1 P2)2RT若 P2P1，则 M0，表示分子实际是从 2 向 1 转移。3-12 有 N 个粒子，其速率分布函数为f(v)dN C(v0v0)Ndvf(v)0(v0v)(1)作速率分布曲线。(2)由 N 和 v0求常数 C。(3)求粒子的平均速率。解：（1）f(v)C(v0v0)f(v)0(v0v)得速率分布曲线如图示（2）0f(v)dv 1v00f(v)dv 0cdv 1c 即cv0 11v0v（3）0vf(v)dv 121cv0v0223-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13 所示（当 vv0时，粒子数为零）。（1）由N 和 V0求 a。（2）求速率在 1.5V0到 2.0V0之间的分子数。（3）求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：VaV0N(0 V V0)aVV 2 V0N(0)V 2 V0f(v)=0()(1)dNNf(V)dvN0Nf(V)dVV00VadVV02 VV0adv1a3V02 aV0V0a2 V02a 2 N3V02 V02 V0(2)速率在 1.5V0到 2.0V0之间的分子数 N1.5 V0Nf(V)dV1.5 VadV0 a(2 V0 1.5V0)3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：12 NN V023V03dN F(x2)dxvx vpvp其中2KTmF(x2)证明：4 Nx2 e x2dN Nf(v)dv 4N(4N4 Ne em)e2KT32v2v2p32mv22 KTv2v2pv2dv3 vp ev22pv2dv4 N vd(x2dxv)vp x22dN4 N e x x2 F(x2)dx3-15 设气体分子的总数为N，试证明速度的x 分量大于某一给定值vx的分子数为：NvxN1 erf(x)2N（提示：速度的 x 分量在 0 到之间的分子数为2）证明：由于速度的 x 分量在区间 vxvx+dvx内的分子数为：2vxdNvxN故在 vx范围内的分子数为：1vpev2p dvxNVx vxdNvxvx00dNxdNvx由题意：vx0dNvxNN21p2vx0dNvxvxvpvx0vev2p dvxx 令利用误差函数得：vx0dNvxN22x0e xdx2Nerf(x)2NVx NN22erf(x)N1 erf(x)23-16 设气体分子的总数为 N，试证明速率在 0 到任一给定值 v 之间的分子数为：N0 v N erf(x)vvp2e x2x 其中，vp为最可几速率。x x2 xd(xe)edx 2x edx提示：222证明：N0 v Nf(v)dv0v Nv0v2m22 KT4()ev2dv2KT3m4 N4 Nv0v3vpev2v2pv2v2pv2dvv2 dv2vpX 0ev1p令vvp，则dv vpdxN0 v4 N2x0e xx2dx21 x2edx d(xe x)x22xe xdx 由提示得：x21x x2edx d(xe x)0202 x2 N erf(x)eN0 v4 N3-17 求速度分量 vx大于 2 vp的分子数占总分子数的比率。解：设总分子数 N，速度分量 vx大于 2 vp的分子数