河北省2021年中考数学试题真题附解析答案.pdf

20212021 年河北省中考数学试题（含答案解析）年河北省中考数学试题（含答案解析）2021 年河北省中考数学试卷（共 26 题，满分 120 分）一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分110 小题各 3 分，1116 小题各 2 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，在平面内作已知直线 m 的垂线，可作垂线的条数有（）A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 2墨迹覆盖了等式“_3_2（_0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A+B C D 3对于_3_y_（13y），（_+3）（_1）_2+2_3，从左到右的变形，表述正确的是（）A都是因式分解 B都是乘法运算 C是因式分解，是乘法运算 D是乘法运算，是因式分解 4如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A仅主视图不同 B仅俯视图不同 C仅左视图不同 D主视图、左视图和俯视图都相同 5如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是 a 元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 a（）A9 B8 C7 D6 6如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下，第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E；第二步：分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点P；第三步：画射线 BP射线 BP 即为所求 下列正确的是（）Aa，b均无限制 Ba0，bDE 的长 Ca 有最小限制，b 无限制 Da0，bDE 的长7若 ab，则下列分式化简正确的是（）A B C D 8在如图所示第 1 页 共 13 页的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A四边形NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形 NHMR 9若 81012，则 k（）A12 B10 C8 D6 10如图，将ABC 绕边 AC 的中点 O 顺时针旋转 180嘉淇发现，旋转后的CDA 与ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBAD，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是（）A嘉淇推理严谨，不必补充B应补充：且 ABCD C应补充：且 ABCD D应补充：且 OAOC 11（2分）若 k 为正整数，则（）Ak2k Bk2k+1 C2kk Dk2+k 12（2 分）如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出发向北走 6km 也到达 l下列说法错误的是（）A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 lB公路 l 的走向是南偏西 45 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l 13（2 分）已知光速为 300000 千米/秒，光经过t 秒（1t10）传播的距离用科学记数法表示为 a10n 千米，则 n 可能为（）A5 B6 C5 或 6 D5 或 6 或 7 14（2 分）有一题目：“已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求A”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2A130，得A65而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A 还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（）A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B淇淇说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 15（2 分）如图，现要在抛物线 y_（4_）上找点 P（a，b），针对 b 的不同取值，所找点 P 的个数，三人的说法如下，甲：若 b5，则点 P 的个数为 0；乙：若 b4，则点 P 的个数为 1；丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（）A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对 16（2 分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分别是 1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是第 2 页 共 13 页（）A1，4，5 B2，3，5 C3，4，5 D2，2，4 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 12 分1718 小题各 3 分；19 小题有 3 个空，每空 2 分）17已知：ab，则 ab 18正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍，则 n 19（6 分）如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm（m 为 18 的整数）函数 y（_0）的图象为曲线 L（1）若 L 过点 T1，则 k；（2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm，则 m；（3）若曲线 L 使得 T1T8 这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，则 k 的整数值有个三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8 分）已知两个有理数：9 和 5（1）计算：；（2）若再添一个负整数 m，且9，5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m，求 m的值 21（8 分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上a2，同时 B 区就会自动减去 3a，且均显示化简后的结果已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示：（1）从初始状态按 2 次后，分别求 A，B 两区显示的结果；（2）从初始状态按 4 次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由 22（9 分）如图，点 O 为 AB 中点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OCOD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC 为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆上任一点（不与点 A，B 重合），连接 OP 并延长交大半圆于点E，连接 AE，CP（1）求证：AOEPOC；写出l，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由（2）若 OC2OA2，当C 最大时，直接指出 CP 与小半圆的位置关系，并求此时 S 扇形 EOD（答案保留）23（9 分）用承重指数 w 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 W与木板厚度_（厘米）的平方成正比，当_3 时，W3（1）求 W 与_的函数关第 3 页 共 13 页系式（2）如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）设薄板的厚度为_（厘米），QW 厚W 薄求 Q 与_的函数关系式；_为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？注：（1）及（2）中的不必写_的取值范围 24（10 分）表格中的两组对应值满足一次函数 yk_+b，现画出了它的图象为直线 l，如图而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l _ 1 0 y 2 1（1）求直线 l 的解析式；（2）请在图上画出直线 l（不要求列表计算），并求直线 l被直线 l 和y 轴所截线段的长；（3）设直线 ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 a 的值 25（10 分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3 和 5 的位置上，沿数轴做移动游戏每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动若都对或都错，则甲向东移动 1 个单位，同时乙向西移动 1 个单位；若甲对乙错，则甲向东移动 4 个单位，同时乙向东移动 2 个单位；若甲错乙对，则甲向西移动 2 个单位，同时乙向西移动 4 个单位（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 P；（2）从如图的位置开始，若完成了 10 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错设乙猜对 n 次，且他最终停留的位置对应的数为 m，试用含 n 的代数式表示 m，并求该位置距离原点 O 最近时 n 的值；（3）从如图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距 2 个单位，直接写出 k 的值 26（12 分）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点M 出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQB（1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离；（2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP的长；第 4 页 共 13 页（3）设点 P 移动的路程为_，当 0_3 及 3_9 时，分别求点 P 到直线AC 的距离（用含_的式子表示）；（4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK，请直接写出点 K 被扫描到的总时长 2021 年河北省中考数学试卷答案解析 一、选择题（本大题有 16个小题，共 42 分110 小题各 3 分，1116 小题各 2 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，在平面内作已知直线 m 的垂线，可作垂线的条数有（）A0 条 B1 条 C2 条 D无数条【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线的垂线，可作无数条 故选：D 2墨迹覆盖了等式“_3_2（_0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A+B C D【解答】解：_3_2（_0），覆盖的是：故选：D 3对于_3_y_（13y），（_+3）（_1）_2+2_3，从左到右的变形，表述正确的是（）A都是因式分解 B都是乘法运算 C是因式分解，是乘法运算 D是乘法运算，是因式分解【解答】解：_3_y_（13y），从左到右的变形是因式分解；（_+3）（_1）_2+2_3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算 故选：C 4如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A仅主视图不同B仅俯视图不同 C仅左视图不同 D主视图、左视图和俯视图都相同【解第 5 页 共 13 页答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同 故选：D 5如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是 a 元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则 a（）A9 B8 C7 D6【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是 8，第四次又买的苹果单价是 a 元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，a8，故选：B 6如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下，第一步：以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E；第二步：分别以 D，E 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点P；第三步：画射线 BP射线 BP 即为所求 下列正确的是（）Aa，b均无限制 Ba0，bDE 的长 Ca 有最小限制，b 无限制 Da0，bDE 的长【解答】解：以 B 为圆心画弧时，半径 a 必须大于 0，分别以 D，E 为圆心，以 b为半径画弧时，b 必须大于 DE，否则没有交点，故选：B 7若 ab，则下列分式化简正确的是（）A B C D【解答】解：ab，故选项A 错误；，故选项 B 错误；，故选项 C 错误；，故选项 D 正确；故选：D 8在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A四边形 NPMQ B四边形 NPMR C四边形 NHMQ D四边形NHMR【解答】解：以点 O 为位似中心，点 C 对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC，OM2，OD，OB，OA，OR，OQ2，OP2，OH3，ON2，2，点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，以点 O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ，故选：A 9若 81012，则 k（）第 6 页 共 13 页A12 B10 C8 D6【解答】解：方程两边都乘以 k，得（921）（1121）81012k，（9+1）（91）（11+1）（111）81012k，8012081012k，k10 经检验 k10 是原方程的解 故选：B 10如图，将ABC 绕边 AC 的中点 O 顺时针旋转 180嘉淇发现，旋转后的CDA 与ABC 构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBAD，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是（）A嘉淇推理严谨，不必补充B应补充：且 ABCD C应补充：且 ABCD D应补充：且 OAOC【解答】解：CBAD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，故选：B 11（2分）若 k 为正整数，则（）Ak2k Bk2k+1 C2kk Dk2+k【解答】解：（kk）k（k2）kk2k，故选：A 12（2 分）如图，从笔直的公路 l 旁一点 P 出发，向西走 6km 到达 l；从 P 出发向北走 6km 也到达 l下列说法错误的是（）A从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西45 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km到达 l【解答】解：如图，由题意可得PAB 是腰长 6km 的等腰直角三角形，则AB6km，则 PC3km，则从点 P 向北偏西 45走 3km 到达 l，选项 A 错误；则公路 l 的走向是南偏西 45或北偏东 45，选项 B，C 正确；则从点 P 向北走 3km 后，再向西走 3km 到达 l，选项 D 正确 故选：A 13（2 分）已知光速为 300000 千米/秒，光经过 t 秒（1t10）传播的距离用科学记数法表示为 a10n 千米，则 n 可能为（）A5 B6 C5 或 6D5 或 6 或 7【解答】解：当 t1 时，光传播的距离为 13000003000003105（千米），则 n5；当 t10 时，光传播的距离为 1030000030000003106（千米），则 n6 因为 1t10，所以 n 可能为 5 或 6，故选：C 14（2 分）有一题目：“已知：点 O 为ABC 的外心，BOC130，求A”嘉嘉的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2A130，得A65而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A 还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（）A淇淇说的对，且A 的另一个值是 115 B淇淇第 7 页 共 13 页说的不对，A 就得 65 C嘉嘉求的结果不对，A 应得 50 D两人都不对，A 应有 3 个不同值【解答】解：如图所示：A 还应有另一个不同的值A与A 互补 故A18065115 故选：A 15（2 分）如图，现要在抛物线 y_（4_）上找点 P（a，b），针对 b 的不同取值，所找点 P的个数，三人的说法如下，甲：若 b5，则点 P 的个数为 0；乙：若 b4，则点 P 的个数为 1；丙：若 b3，则点 P 的个数为 1 下列判断正确的是（）A乙错，丙对 B甲和乙都错 C乙对，丙错 D甲错，丙对【解答】解：y_（4_）_2+4_（_2）2+4，抛物线的顶点坐标为（2，4），在抛物线上的点 P 的纵坐标最大为 4，甲、乙的说法正确；若 b3，则抛物线上纵坐标为 3 的点有 2 个，丙的说法不正确；故选：C 16（2 分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分别是 1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A1，4，5 B2，3，5C3，4，5 D2，2，4【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是 1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，当选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5 时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是 3，4，5 时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是 2，2，4 时，围成的直角三角形的面积是，所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是 2，3，5，故选：B 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 12 分1718 小题各 3 分；19 小题有 3 个空，每空 2 分）17已知：ab，则 ab6【解答】解：原式3ab，故 a3，b2，则 ab6 故答案为：6 18正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍，则 n12【解答】解：正六边形的一个内角为：，正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍，正 n 边形一个外角为：120430，n3603012 故答案为：12 19（6第 8 页 共 13 页分）如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm（m 为 18 的整数）函数 y（_0）的图象为曲线 L（1）若L 过点 T1，则 k16；（2）若 L 过点 T4，则它必定还过另一点 Tm，则 m5；（3）若曲线 L 使得 T1T8 这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，则 k 的整数值有7个【解答】解：（1）每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，T1（16，1），T2（14，2），T3（12，3），T4（10，4），T5（8，5），T6（6，6），T7（4，7），T8（2，8），L 过点 T1，k16116，故答案为：16；（2）L 过点 T4，k10440，反比例函数解析式为：y，当_8 时，y5，T5 在反比例函数图象上，m5，故答案为：5；（3）若曲线 L 过点 T1（16，1），T8（2，8）时，k16，若曲线 L过点 T2（14，2），T7（4，7）时，k14228，若曲线 L 过点 T3（12，3），T5（8，5）时，k12336，若曲线 L 过点 T4（10，4），T5（8，5）时，k40，曲线 L 使得 T1T8 这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，36k28，整数 k35，34，33，32，31，30，29 共 7 个，答案为：7 三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8 分）已知两个有理数：9 和 5（1）计算：；（2）若再添一个负整数 m，且9，5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m，求 m的值【解答】解：（1）2；（2）根据题意得，m，4+m3m，m3m4，2m4，m2，m 是负整数，m1 21（8 分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A 区就会自动加上 a2，同时 B 区就会自动减去 3a，且均显示化简后的结果已知 A，B 两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B 两区分别显示：（1）从初始状态按 2 次后，分别求 A，B 两区显示的结果；第 9 页 共 13 页（2）从初始状态按 4 次后，计算 A，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由【解答】解：（1）A 区显示的结果为：25+2a2，B 区显示的结果为：166a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（1612a）25+4a21612a4a212a+9；（2a3）20，这个和不能为负数 22（9 分）如图，点 O 为 AB中点，分别延长 OA 到点 C，OB 到点 D，使 OCOD以点 O 为圆心，分别以 OA，OC为半径在 CD 上方作两个半圆点 P 为小半圆上任一点（不与点 A，B 重合），连接OP 并延长交大半圆于点 E，连接 AE，CP（1）求证：AOEPOC；写出l，2 和C 三者间的数量关系，并说明理由（2）若 OC2OA2，当C 最大时，直接指出 CP 与小半圆的位置关系，并求此时 S 扇形 EOD（答案保留）【解答】解：（1）在AOE 和POC 中，AOEPOC（SAS）；AOEPOC，EC，1+E2，1+C2；（2）当C 最大时，CP 与小半圆相切，如图，OC2OA2，OC2OP，CP 与小半圆相切，OPC90，OCP30，DOEOPC+OCP120，23（9 分）用承重指数 w 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度_（厘米）的平方成正比，当_3 时，W3（1）求 W与_的函数关系式（2）如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）设薄板的厚度为_（厘米），QW 厚W 薄求 Q 与_的函数关系式；_为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？注：（1）及（2）中的不必写_的取值范围【解答】解：（1）设 Wk_2（k0）当_3时，W3，39k，解得 k，W 与_的函数关系式为 W_2；（2）第 10 页 共 13 页设薄板的厚度为_厘米，则厚板的厚度为（6_）厘米，QW 厚W 薄（6_）2_24_+12，即 Q 与_的函数关系式为 Q4_+12；Q 是 W 薄的 3 倍，4_+123_2，整理得，_2+4_120，解得，_12，_26（不合题意舍去），故_为 2 时，Q 是 W 薄的 3 倍 24（10分）表格中的两组对应值满足一次函数 yk_+b，现画出了它的图象为直线 l，如图而某同学为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b 交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 l _ 1 0 y 2 1（1）求直线 l 的解析式；（2）请在图上画出直线 l（不要求列表计算），并求直线 l被直线 l 和y 轴所截线段的长；（3）设直线 ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 a 的值【解答】解：（1）直线 l：yk_+b 中，当_1 时，y2；当_0 时，y1，解得，直线 l 的解析式为 y3_+1；直线 l的解析式为 y_+3；（2）如图，解得，两直线的交点为（1，4），直线 l：y_+3 与 y轴的交点为（0，3），直线 l被直线 l 和 y 轴所截线段的长为：；（3）把 ya 代入 y3_+1 得，a3_+1，解得_；把 ya 代入 y_+3 得，a_+3，解得_a3；当 a30 时，a，当（a3+0）时，a7，当（0）a3 时，a，直线ya 与直线 l，l及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则 a的值为或 7 或 25（10 分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3 和 5的位置上，沿数轴做移动游戏每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动若都对或都错，则甲向东移动 1 个单位，同时乙向西移动 1 个单位；若甲对乙错，则甲向东移动 4 个单位，同时乙向东移动 2 个单位；若甲错乙对，则甲向西移动 2 个单位，同时乙向西移动 4 个单位（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 P；第 11 页 共 13 页（2）从如图的位置开始，若完成了 10 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错设乙猜对 n 次，且他最终停留的位置对应的数为 m，试用含 n 的代数式表示 m，并求该位置距离原点 O 最近时 n 的值；（3）从如图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距 2 个单位，直接写出 k 的值【解答】解：（1）经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，必须甲对乙错，因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，P 甲对乙错（2）由题意 m54n+2（10n）256n n4 时，离原点最近（3）不妨设甲连续 k 次正确后两人相距 2 个单位，则有|8+2k4k|2，解得 k3 或 5 如果 k 次中，有 1 次两人都对都错，则有|6+2（k1）4（k1）|2，解得 k3 或 5，如果 k 次中，有 2 次两人都对都错，则有|4+2（k2）4（k2）|2，解得 k3 或 5，综上所述，满足条件的 k 的值为 3 或 5 26（12 分）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且 AMCN2点 P 从点 M出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQB（1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离；（2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP的长；（3）设点 P 移动的路程为_，当 0_3 及 3_9 时，分别求点 P 到直线AC 的距离（用含_的式子表示）；（4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒若 AK，请直接写出点 K 被扫描到的总时长【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 HABAC，AHBC，BHCH4，BC，tanBtanC，AH3，ABAC5 当点 P 在 BC 上时，点 P 到 A 的最短距离为 3（2）如图 1 中，APQB，PQBC，APQABC，PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5，（）2，AP，PMAPAM2（3）当 0_3 时，如图 11 中，过点 P 作 PJCA 交 CA 的延长线于 JPQBC，AQPC，PQ（_+2），sinAQPsinC，PJPQsinAQP（_+2）当 3_9 时，第 12 页 共 13 页如图 2 中，过点 P 作 PJAC 于 J同法可得 PJPCsinC（11_）（4）由题意点 P 的运动速度单位长度/秒 当 3_9 时，设 CQy APCB+BAPAPQ+CPQ，APQB，BAPCPQ，BC，ABPPCQ，y（_7）2，0，_7 时，y 有最大值，最大值，AK，CK5 当 y 时，（_7）2，解得_7，点 K 被扫描到的总时长（63）23 秒 方法二：点 P 在 AB 上的时候，有 11/4 个单位长度都能扫描到点 K；在 BN 阶段，当_在 35.5（即 71.5）的过程，是能扫到 K 点的，在5.58.5（即 7+1.5）的过程是扫不到点 K 的，但在 8.59（即点 M 到 N 全部的路程）能扫到点 K所以扫到的时间是（98.5）+（5.53）23（秒）第 13 页 共 13 页