数值分析课后习题答案.pdf

第一章 绪论 习题一第一章 绪论 习题一 1.设 x0,x*的相对误差为，求 f(x)=ln x 的误差限。解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式(1.2.4)有 1.设 x0,x*的相对误差为，求 f(x)=ln x 的误差限。解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式(1.2.4)有 已 知x*的 相 对 误 差 已 知x*的 相 对 误 差满 足满 足，而，而，故，故 即 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有 5 位有效数字，其误差限有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限，相对误差限 有 2 位有效数字，有 2 位有效数字，有 5 位有效数字，有 5 位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）（2）4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数字。4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数字。5.计算5.计算取取，利用：，利用：式计算误差最小。四个选项：式计算误差最小。四个选项：第二、三章 插值与函数逼近 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 习题二、三 解：仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点，用 Newton 插值 解：仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点，用 Newton 插值 误差限 误差限，因，因，故，故 二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton 插值 二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton 插值 误差限 误差限，故，故 2.在-4x4 上给出 2.在-4x4 上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的等距节点函数表，若用二次插值法求 的近似值，要使误差不超过的近似值，要使误差不超过，函数表的步长 h应取多少?解：用误差估计式（5.8），函数表的步长 h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令 令 因 因 得 得 解：由均差与导数关系解：由均差与导数关系 于是 于是 4.若 4.若互异，求互异，求的值，这里 pn+1.解：的值，这里 pn+1.解：，由 均 差 对 称 性，由 均 差 对 称 性可知当可知当有有 而当 Pn1 时 而当 Pn1 时 于是得 于是得 5.求证 5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得.解：解：只要按差分定义直接展开得 6.已知6.已知的函数表 的函数表 求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表 求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 由于 7.给定 f(x)=cosx 的函数表 7.给定 f(x)=cosx 的函数表 用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估计误差 解：先构造差分表 用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估计误差 解：先构造差分表 计算 计算，用 n=4 得 Newton 前插公式，用 n=4 得 Newton 前插公式 误差估计由公式（5.17）得 误差估计由公式（5.17）得 其中 其中 计算 计算时用Newton后插公式（5.18)时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得 误差估计由公式（5.19）得 这里 这里仍为 0.565 8仍为 0.565 8 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足 使它满足，显然，显然，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A，于是，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A，于是 9.令 9.令称为第二类 Chebyshev 多项式，试求称为第二类 Chebyshev 多项式，试求 的表达式，并证明的表达式，并证明是-1,1上带权是-1,1上带权的正交多项式序列。解：因的正交多项式序列。解：因 法方程为 法方程为 解得 解得 最小二乘拟合曲线为 最小二乘拟合曲线为 均方程为 均方程为 11.填空题 11.填空题 (4)设 (4)设是区间0,1上权函数为(x)=x 的最高项系数为 1 的正交多项式序列，其中是区间0,1上权函数为(x)=x 的最高项系数为 1 的正交多项式序列，其中，则，则()，()，()答：（1）()答：（1）（2）（2）（3）（3）（4）（4）第 4 章 数 值 积 分与数值微分 第 4 章 数 值 积 分与数值微分 习题 4 习题 4 值构造函数表。按式（6.11）求出值构造函数表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，按式（6.13）求得，积分，积分 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得 由（6.8）式估计误差，因 由（6.8）式估计误差，因，故，故 (2)(2)(3)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得 代入公式两端并使其相等，得 解此方程组得 解此方程组得，于是有，于是有 再令 再令，得，得 故求积公式具有 3 次代数精确度。（2）令 故求积公式具有 3 次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得 代入公式两端使其相等，得 解出 解出得 得 而对 而对不准确成立，故求积公式具有 3 次代数精确度。（3）令不准确成立，故求积公式具有 3 次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得 代入公式精确成立，得 解得 解得，得求积公式，得求积公式 对 对 故求积公式具有 2 次代数精确度。故求积公式具有 2 次代数精确度。即 即，取 n=6，即区间，取 n=6，即区间分为 12 等分可使误差不超过分为 12 等分可使误差不超过 对梯形公式同样 对梯形公式同样，由余项公式得，由余项公式得 即 即 取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过 5.用 Romberg 求积算法求积分 5.用 Romberg 求积算法求积分，取，取 解：本题只要对积分解：本题只要对积分使用 Romberg 算法（6.20），计算到 K3，结果如下表所示。使用 Romberg 算法（6.20），计算到 K3，结果如下表所示。于是积分 于是积分，积分准确值为 0.713272 6，积分准确值为 0.713272 6 于是 于是 本题精确值 本题精确值 7 7 用 三 点Gauss-Chebyshev求 积 公 式 计 算 积 分用 三 点Gauss-Chebyshev求 积 公 式 计 算 积 分 解：本题直接用 Gauss-Chebyshev 求积公式计算 解：本题直接用 Gauss-Chebyshev 求积公式计算 即即 于是 于是，因 n=2,即为三点公式，于是，因 n=2,即为三点公式，于是，即，即 故 故 由（2）（4）得 A=C，这两个方程不独立。故可令由（2）（4）得 A=C，这两个方程不独立。故可令，得，得（5）由（3）（5）解得（5）由（3）（5）解得，代入（1）得，代入（1）得 则有求积公式 则有求积公式 令 令公式精确成立，故求积公式具有 5 次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为 5 次，故它是 Gauss 型的。第五章 解线性方程组的直接法 公式精确成立，故求积公式具有 5 次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为 5 次，故它是 Gauss 型的。第五章 解线性方程组的直接法 习题五习题五 1 1 由 由及及求得 求得 7.设 7.设，证明 ，证明 解：解：即 即，另一方面，另一方面 故故 8 8 故故 9 9 设设为 为 上任一种范数，上任一种范数，是非奇异的，定义是非奇异的，定义，证明，证明 证明：根据矩阵算子定义和 证明：根据矩阵算子定义和定义，得 定义，得 令 令，因 P 非奇异，故 x 与 y 为一对一，于是，因 P 非奇异，故 x 与 y 为一对一，于是 10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计 10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即 ，即，即 解：记 解：记 则 则的解的解，而，而的解的解 故故 而 而 由（3.12）的误差估计得 由（3.12）的误差估计得 表明估计 表明估计略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中（1）若 A 对称正定,（1）若 A 对称正定,则,则是是上的一种向量范数 （）（2）定义上的一种向量范数 （）（2）定义是一种范数矩阵 （）（3）定义是一种范数矩阵 （）（3）定义是一种范数矩阵 （）（4）只要是一种范数矩阵 （）（4）只要，则 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下三角阵，U 为非奇上三角阵 （）（5）只要，则 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下三角阵，U 为非奇上三角阵 （）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组，则总可用列主元消去法求得方程组的解 （）（6）若 A 对称正定,则 A 可分解为的解 （）（6）若 A 对称正定,则 A 可分解为，其中 L 为对角元素为正的下三角阵 （），其中 L 为对角元素为正的下三角阵 （）（7）对任何（7）对任何都有都有 （）（8）若 A 为正交矩阵，则 （）（8）若 A 为正交矩阵，则 （）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章 解线性方程组的迭代法 （）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章 解线性方程组的迭代法 习题六 习题六 1.1.证明对于任意的矩阵 A，序列证明对于任意的矩阵 A，序列收敛于零矩阵 解：由于收敛于零矩阵 解：由于而而 故 故 2.方程组 2.方程组 计算到计算到为止 解：因为为止 解：因为 具有严格对角占优，故 J 法与 GS 法均收敛。（2）J 法得迭代公式是 具有严格对角占优，故 J 法与 GS 法均收敛。（2）J 法得迭代公式是 取 取，迭代到 18 次有，迭代到 18 次有 GS 迭代法计算公式为 GS 迭代法计算公式为 取 取 3.设方程组 3.设方程组 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散 解：Jacobi 迭代为 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散 解：Jacobi 迭代为 其迭代矩阵 其迭代矩阵，谱半径为，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为，而Gauss-Seide迭代法为 其迭代矩阵 其迭代矩阵，其谱半径为，其谱半径为 由于 由于，故 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组 Ax=b，若分别用 J 法及 GS 法求解，是否收敛?，故 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组 Ax=b，若分别用 J 法及 GS 法求解，是否收敛?解：Jacobi 法的迭代矩阵是 解：Jacobi 法的迭代矩阵是 即 即，故，故，J 法收敛、GS 法的迭代矩阵为，J 法收敛、GS 法的迭代矩阵为 故 故，解此方程组的 GS 法不收敛。5.设，解此方程组的 GS 法不收敛。5.设，detA0，用，detA0，用,b 表示解方程组 Ax=f的 J 法及 GS 法收敛的充分必要条件.解 J 法迭代矩阵为,b 表示解方程组 Ax=f的 J 法及 GS 法收敛的充分必要条件.解 J 法迭代矩阵为 ，故 J 法收敛的充要条件是，故 J 法收敛的充要条件是。GS 法迭代矩阵为。GS 法迭代矩阵为 由 由得 GS 法收敛得充要条件是得 GS 法收敛得充要条件是 解：用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为 解：用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为 取 取，当，当时，迭 代5次 达 到 要 求时，迭 代5次 达 到 要 求 若取 若取，迭代 6 次得，迭代 6 次得 7.对上题求出 SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求 J 法与 GS 法的渐近收敛速度.若要使 7.对上题求出 SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求 J 法与 GS 法的渐近收敛速度.若要使那么 J 法 GS 法和 SOR 法各需迭代多少次?解：J 法的迭代矩阵为 那么 J 法 GS 法和 SOR 法各需迭代多少次?解：J 法的迭代矩阵为 ，故，故，因 A 为对称正定三对角阵，最优松弛因子，因 A 为对称正定三对角阵，最优松弛因子 由于 由于，故，故 若要求 若要求，于是迭代次数，于是迭代次数 对于 J 法 对于 J 法，取 K15 对于 GS 法，取 K15 对于 GS 法，取 K8 对于 SOR 法，取 K8 对于 SOR 法，取 K5 8.填空题，取 K5 8.填空题 (1)(1)要使要使应满足（）.应满足（）.(4)用 GS 法解方程组 (4)用 GS 法解方程组，其中 a 为实数，方法收敛的充要条件是 a 满足（）.(5)给定方程组，其中 a 为实数，方法收敛的充要条件是 a 满足（）.(5)给定方程组,a为实数.当a满足（），且 02 时 SOR 迭代法收敛.答:(1),a为实数.当a满足（），且 02 时 SOR 迭代法收敛.答:(1)(2)J 法是收敛的，(2)J 法是收敛的，(3)J 法迭代矩阵是(3)J 法迭代矩阵是，GS 法迭代矩阵，GS 法迭代矩阵(4)(4)满足满足(5)(5)满足满足 第七章 非线性方程求根 第七章 非线性方程求根 习题七 习题七 方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1)方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1)，迭代公式，迭代公式.(2).(2),迭代公式,迭代公式.(3).(3)，迭代公式，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似根 解：（1）取区间.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似根 解：（1）取区间且且，在，在且且，在，在中中，则 L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。，则 L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2）（2），在，在中中，且，且，在，在中有中有，故迭代收敛。（3），故迭代收敛。（3），在，在附近附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子 L 较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子 L 较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则，则 3.设方程 3.设方程的迭代法 的迭代法 (1)证明对 (1)证明对,均有,均有,其中,其中为方程的根.(2)取为方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解：（1）迭 代 函 数,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解：（1）迭 代 函 数，对，对有有 ，（2）取（2）取，则有各次迭代值，则有各次迭代值 取 取，其误差不超过，其误差不超过 （3）（3）故此迭代为线性收敛 4.给定函数 故此迭代为线性收敛 4.给定函数，设对一切 x,，设对一切 x,存在，而且存在，而且.证明对.证明对的任意常数的任意常数,迭代法,迭代法均收敛于方程均收敛于方程的根 解：由于的根 解：由于，为单调增函数，故方程为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数）。迭代函数，。令。令，则，则，由递推有，由递推有，即，即 5.用 Steffensen 方法计算第 2 题中(2)、(3)的近似根，精确到 5.用 Steffensen 方法计算第 2 题中(2)、(3)的近似根，精确到 解:在(2)中 解:在(2)中,令,令,则有,则有 令 令,得,得 ,与第 2 题中(2)的结果一致,可取,与第 2 题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.对(3)有,则满足精度要求.对(3)有,原迭代不收敛.现令,原迭代不收敛.现令 令 令 6.用 Newton 法求下列方程的根，计算准确到 4 位有效数字.(1)6.用 Newton 法求下列方程的根，计算准确到 4 位有效数字.(1)在 在=2 附近的根.(2)=2 附近的根.(2)在 在=1 附近的根=1 附近的根 此公式迭代函数此公式迭代函数，则，则，故迭代法 2 阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，故迭代法 2 阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，对，对 一般的，当 一般的，当时有 时有 这是因为 这是因为当当时成立。从而时成立。从而，即，即，表明序列，表明序列单调递减。故对单调递减。故对，迭代序列收敛于，迭代序列收敛于