线性代数练习题及答案.pdf
-第一局部选择题(共 28 分)一、单项选择题本大题共 14 小题，每题 2 分，共 28 分在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式A.m+nC.n-ma11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12a13等于 a22a23B.-(m+n)D.m-n100-12.设矩阵 A A=020，则 A A等于 00313A.00012001010B.021000013 110023010C.D.0100 020010301 312*3.设矩阵 A A=101，A A 是 A A 的伴随矩阵，则A A 中位于1，2的元素是 214 A.6C.2B.6D.24.设 A A 是方阵，如有矩阵关系式ABAB=ACAC，则必有 A.A A=0 0B.B BC C 时 A A=0 0C.A A0 0 时 B B=C CD.|A A|0 0 时 B B=C CT5.34 矩阵 A A 的行向量组线性无关，则秩A A 等于 A.1B.2C.3D.46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则 A.有不全为 0 的数1，2，s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0B.有不全为 0 的数1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0C.有不全为 0 的数1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0D.有不全为 0 的数1，2，s和不全为 0 的数1，2，s使11+22+ss=0 和11+22+ss=07.设矩阵 A A 的秩为 r，则 A A 中 A.所有 r-1 阶子式都不为 0B.所有 r-1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08.设 A*=bA*=b 是一非齐次线性方程组，1，2是其任意 2 个解，则以下结论错误的选项是.z.线性代数练习题及答案线性代数练习题及答案-A.1+2是 A*=0A*=0 的一个解B.111+2是 A*=bA*=b 的一个解22C.1-2是 A*=0A*=0 的一个解D.21-2是 A*=bA*=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A A 不可逆，则必有 A.秩(A A)nB.秩(A A)=n-1C.A=0A=0D.方程组 A*=0A*=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是 A.如存在数和向量使 A A=，则是 A A 的属于特征值的特征向量B.如存在数和非零向量，使(E E-A A)=0=0，则是 A A 的特征值C.A A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是 A A 的 3 个互不一样的特征值，1，2，3依次是 A A 的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵 A A 的特征方程的 3 重根，A A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有 A.k3B.k312.设 A A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 2A.|A|A|必为 1B.|A A|必为 1-1TC.A A=A AD.A A 的行列向量组是正交单位向量组T13.设 A A 是实对称矩阵，C C 是实可逆矩阵，B B=C C ACAC.则 A.A A 与 B B 相似B.A A 与 B B 不等价C.A A 与 B B 有一样的特征值D.A A 与 B B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为 A.2334B.3426100 111C.023D.120035 102第二局部非选择题共 72 分二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无分。11516.1 11 123，B B=.则 A A+2B B=.1111 2 415.39253616.设 A A=17.设A A=(aij)3 3，|A A|=2，A Aij表 示|A A|中 元 素aij的 代 数 余 子 式 i,j=1,2,3 ,则222(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.18.设向量2，-3，5与向量-4，6，a线性相关，则 a=.z.-19.设 A A 是 34 矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组 A*=bA*=b 的 2 个不同的解，则它的通解为.20.设 A A 是 mn 矩阵，A A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组A*=0A*=0 的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量、的长度依次为 2 和 3，则向量+与-的内积+，-=.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A A|=8，A A 有 2 个特征值-1 和 4，则另一特征值为.0106 2 23.设矩阵 A A=133，=1是它的一个特征向量，则所对应的特征值为.2108 2 24.设实二次型 f(*1,*2,*3,*4,*5)的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规*形为.三、计算题本大题共 7 小题，每题 6 分，共 42 分 120 23 1T25.设 A A=340，B B=2|4A A|.求1ABAB；2 4012131105131324.1326.试计算行列式521 42327.设矩阵 A A=110，求矩阵 B B 使其满足矩阵方程ABAB=A A+2B B.1232 1 3 0 130，=，=，=1.28.给定向量组1=2340224 3 4 1 9 试判断4是否为1，2，3的线性组合；假设是，则求出组合系数。12124229.设矩阵 A A=210 3332 66.2334 0求：1秩A A；2A A 的列向量组的一个最大线性无关组。022-130.设矩阵 A=234的全部特征值为 1，1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D D，使 T T ATAT=D D.24331.试用配方法化以下二次型为标准形222x2f(*1,*2,*3)=x123x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题本大题共 2 小题，每题 5 分，共 10 分3-1232.设方阵 A A 满足 A A=0=0，试证明 E E-A A 可逆，且E E-A A=E E+A A+A A.33.设0是非齐次线性方程组 A*=bA*=b 的一个特解，1，2是其导出组 A*=0A*=0 的一个根底解系.试.z.-证明11=0+1，2=0+2均是 A*=bA*=b 的解；20，1，2线性无关。答案：答案：一、单项选择题本大题共14 小题，每题 2 分，共 28 分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分15.616.33713717.418.1019.1+c(2-1)或2+c(2-1)，c 为任意常数20.n-r21.522.223.124.z21z22z23z24三、计算题本大题共 7 小题，每题 6 分，共 42 分 12025.解1ABABT=340223412110 8=61810.3102|4A A|=43|A A|=64|A A|，而120|A A|=340 2.121所以|4A A|=64-2=-1283112511126.解5134111312011001015335530511=1111550.z.-51210=655062 3010 40.5527.解 ABAB=A A+2B B 即A A-2E EB B=A A，而 223-1A A-2E E=110121-11 143153.164 143 423所以 B B=(A A-2E E)A A=153110164 123 386=296.2129 2130 05321301130128.解一02240112 3419 013112所以4=21+2+3，组合系数为2，1，1.解二考虑4=*11+*22+*33，2x1 x23x3 0 x 3x 12即12x2x 4323x14x2 x3 9.方程组有唯一解2，1，1，组合系数为2，1，1.29.解对矩阵 A A 施行初等行变换121000A A0320962 6282322 83=B B.3100 00T2 121012103283032 00000062000217 0001秩B B=3，所以秩A A=秩B B=3.2由于A A 与 B 的列向量组有一样的线性关系，而B B 是阶梯形，B B 的第 1、2、4 列是 B B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A A 的第 1、2、4 列是 A A 的列向量组的一个最大线性无关组。A A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是30.解 A A 的属于特征值=1 的 2 个线性无关的特征向量为TT1=2，-1，0，2=2，0，1.z.-2 5/52 5/15经正交标准化，得1=5/5，2=4 5/15.05/3=-8 的一个特征向量为 1 1/3 3=2，经单位化得3=2/3.22/32 5/52 15/151/3所求正交矩阵为 T T=5/54 5/152/3.05/32/3100 对角矩阵 D D=010.0082 5/52 15/151/3也可取 T T=0 5/32/3.5/54 5/152/331.解 f(*1，*2，*3)=*1+2*2-2*3-2*2+4*2*3-7*3222=*1+2*2-2*3-2*2-*3-5*3.y1 x12x22x3x1 y12y2x2 x3，即x2y2 y3设y2，xy33yx33120因其系数矩阵 C C=011可逆，故此线性变换满秩。001222经此变换即得 f(*1，*2，*3)的标准形222y1-2y2-5y3.四、证明题本大题共 2 小题，每题 5 分，共 10 分2332.证由于E E-A A E E+A A+A A=E E-A A=E E，所以 E E-A A 可逆，且-12E E-A A=E E+A A+A A.33.证由假设 A A0=b b，A A1=0 0，A A2=0 0.1A A1=A A0+1=A A0+A A1=b b，同理 A A2=b b，所以1，2是 A*A*=b b 的 2 个解。2考虑l00+l11+l22=0 0，即 l0+l1+l20+l11+l22=0 0.则l0+l1+l2=0，否则0将是 A*A*=0 0 的解，矛盾。所以l11+l22=0 0.又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0.所以0，1，2线性无关。.z.
