北航研究生数值分析试题.pdf

第一章第一章 绪论绪论 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、近似数0.231x=关于真值0.229x=有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。2、取31 732.计算431()x=，下列方法中哪种最好？（）(1)28 16 3；(2)242 3()；(3)21642 3()+；(4)41631()+。3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。4、下列说法错误的是（）。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。5、已知近似数x 的相对误差限为 0.3,则x至少有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）5。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、设 的近似数 有 4 位有效数字，则其相对误差限为_ _。2、x 的相对误差约是x 的相对误差的 倍。3、计算球体积时要使相对误差限为 10%，问测量半径时允许的相对误差限是 。4、规格化浮点数系2 41 2(,)F=中一共有 个数 5、用数1112e+作为计算积分10 xIedx=的近似值，产生的主要误差是 。三、（13 分）对于有效数1233.105,0.001,0.100 xxx=，估计下列算式是相对误差限 21123212333;xyxxxyx x xyx=+=+=。四、（16 分）写出下列各题的合理计算路径，使计算结果更精确（不必计算结果），并说明理由。（1）101cos,sinxxxx 且；（2）111121,xxxx +；（4）1211,xxdtxt+；五、（15 分）设序列ny满足递推关系11011 2,nnyyn=?，若021 41.y=，计算到10y时误差有多大？计算过程是否稳定？如果不稳定，试给出一种稳定的计算方法，并说明理由。六、（13 分）已测得某场地长x的值为110 x=米，宽y的值为80y=米，已知0 2.xx 米，0 1.yy 米。试求面积sxy=的绝对误差限和相对误差限。七、（13 分）设x的近似数*x表示为12010mknx.a aaa=?，证明：若ka是有效数字，则其相对误差不超过11102()k；若已知相对误差re，且1102kre ，则ka必为有效数字。第二章第二章 非线性方程的数值解法自测题非线性方程的数值解法自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、已知方程3250 xx=在区间2 3,存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（）次可以保证误差不超过31102 。(1)5；(2)7；(3)10；(4)12。2、已知求方程0()f x=在区间,a b上的根的不动点迭代为10 1 2(),kkxxk+=?，对于其产生的数列kx，下列说法正确的是（）(1)若数列kx收敛，则迭代函数()x 唯一；(2)若对1,()xa bx ，则kx收敛；(4)若1,()xa bxL ，则 kx收敛。3、若迭代法122 23kkkxaxx+=+=+收敛于2，且要求收敛阶尽量高，则a的值为（）。2(1)13；(2)23；(3)13；(4)23。4、求方程根的二分法的收敛阶为（）（1）线性收敛；（2）超线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。5、解非线性方程()0f x=的牛顿迭代法的收敛阶为（）。（1）线性收敛；（2）局部线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、若使迭代公式2125kkkkqaraxpxxx+=+=+产生的序列收敛到3a，并使其收敛阶尽可能高，则常数,p q r的值分别为_。2、设函数()f x在区间,a b上有足够阶连续导数，,pa b 为()f x的一个m重零点，则迭代公式1()()kkkkf xxxmfx+=的收敛阶至少是_ _。3、求方程根的割线法的收敛阶为_ 。4、设向量函数32222(,)xyF x yxxy=+=+，则其导函数在点1 2(,)值1 2(,)F=。5、求5的 Newton 迭代格式为 。三、（12 分）已知方程220sinxx=在12 2,内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于方程根的迭代方法，并说明收敛的理由；（2）写出相应的 Steffenson 迭代格式，并以01 5.x=为初值迭代一步。四、（12 分）应用牛顿法于方程0nf xxa=()和10naf xx=()，分别导出求na的迭代公式，并求极限12nkknkaxax+lim()。五、（12）方程3680 xx=在3x=附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)368xx=+=+对 应 迭 代 格 式3168nnxx+=+；(2)86xx=+对 应 迭 代 格 式 3186nnxx+=+=+；(3)358xxx=对应迭代格式3158nnnxxx+=。判断迭代格式在03x=的收敛性，选一种收敛格式计算3x=附近的根，精确到小数点后第二位。六、（12 分）对于下列两个方程，（1）4xxx+=+=cossin，（2）42xx=，问能不能用迭代 法求解？如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由。七、（12 分）考虑下述修正的牛顿迭代公式：10nnnnnnnnnf xf xf xf xxxDnDf x+=+=()()(),()假定0fx()，证明它对单根是一个二阶方法。八、（10 分）设3xxx=+=+()，0 x=为x()的一个不动点，验证下列迭代法 100kkxxx+=(),不收敛，但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的；并说明斯蒂芬森迭代计算x()的不动点0 x=时的收敛阶。第三章第三章 线性方程组的直接解法自测题线性方程组的直接解法自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组。2、设矩阵A的LU分解如下：2231002234772100124511006Aba=则该分解式中,a b的值分别为（）（1）2,6ab=；（2）6,2ab=；（3）2,3ab=；（4）1,2ab=。3、设矩阵n nAR ，n nQR ，且TQ QE=，则下列关系式不成立的是（）(1)22AAQ=；(2)FFQAA=；(3)22Qxx=，其中nxR；(4)()()condAcondAQ=。4、设矩阵314122232A=，111x =，则Ax 和A 的值分别为（）4(1)88,；(2)87,；(3)86,；(4)77,。5、若解线性代数方程组的Gauss部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为()()2632542T，则第三步主行是（）(1)第 2 行；(2)第 3 行；(3)第 5 行；(4)第 6 行。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、设2101202Aaa=，为使A可分解为TALL=，其中L是对角元素为正的下三角矩阵，则a的取值范围是_。2、设210121012A=，则2()CondA=_。3、设()()214Tx=，如果()()200TLx=，则初等下三角矩阵L=。4、设n nAR 为上半带宽为p，下半带宽为q的带状矩阵，且A的各阶顺序主子式均不为零，ALU=为 Doolitte 分解，则上三角矩阵U的上半带宽为 。5、设对称正定矩阵11(),0n nijAaRa=，经过一次 Gauss 消元得到形如1110aAA=的矩阵，则1A是 矩阵。三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组 123413243267102115914350156xxxx=四、（12 分）利用矩阵A的三角分解ALU=求解下列方程组 123121022331302xxx =五、（12 分）用平方根法求解下列方程组 1234241021710341097xxx=5六、（10 分）设线性代数方程组Axb=中系数矩阵A非奇异，x为精确解，0b ，若向量x?是Axb=的一个近似解，残向量rbAx=?，证明估计式：()xxrcond Axb?（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。七、（12 分）设实对称矩阵()ijn nAa=的特征值为12,n?试证：21nkFkA=。八、（12 分）已知方程组Axb=，其中310110233110A =，14514b =，（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式，并说明理由；（2）写出（1）中迭代方法的迭代矩阵。第四章第四章 多项式插值与数值逼近自测题多项式插值与数值逼近自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、设f xxx=+=+84()9310，则0182,2,2 f?和0193,3,3 f?的值分别为（）（1）1，1；（2）9 8!，0；（3）9，0；（4）9，1。2、设()(0,1,)il x in=?是1n+个互异节点 0niix=的 Lagrange 基函数，则下列选项中正确的是（）。（1）20()niiix l xx=；（2）220()niiix l xx=；（3）220()niiiix l xx=；（4）220()niijix l xx=。3、设三次样条函数为33201()1(1)(1)(1)132xxS xxa xb xcx=+，则常数,a b c的值分别为（）（1）3,1abc=；（2）2,1abc=；（3）3abc=；（4）3,1acb=。4、设L x()和N x()分别是()f x满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为()r x和()e x，则（）（1）L xN x r xe x=()(),()()；（2）L xN x r xe x=()(),()()；（3）L xN x r xe x=()(),()()；（4）L xN x r xe x ()(),()()。65、区间,a b上的三次样条插值函数()S x在 ,a b上具有直到（）阶的连续导数。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、设()klx是以40kkxk=为节点的 Lagrange 插值基函数，则40kkklk=()_ _。2、由下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5()f x-2-1.75-1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的最高次数是 。3、设函数4f xCa b(),，S x()是关于f x()的带有第二类边界条件的三次样条插值函数，如果将区间a b,无限分割，则Sx()在a b,上一致收敛于函数 。4、设nP x()是n次 Legendre 多项式，则积分121nPx dx=()。5、设函数(),f xC a b，21(),np xSpanx xx?，则()p x是()f x的最佳一致逼近多项式的充要条件是函数 在,a b上存在一个至少有 n+2 个点组成的交错点组。三、（12 分）已知下列函数表：x 0 1 2 3()f x 1 3 9 27（1）写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；（2）作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算15(.)f的近似值。四、（14 分）已知()f x的函数表为 ix 0 1 4 iy 0 1 2（1）试求()f x在0 4,上的 Hermite 插值多项式()H x，使之满足下列条件 110 1 22()(),;()kkH xf xkHx=；（2）写出余项()()()R xf xH x=的表达式。五、（12 分）试用f x()关于互异节点 11niix=和 2niix=的不超过2n 次的插值多项式g x()7和h x()，构造出关于节点 1niix=的不超过1n 次的插值多项式q x()。六、（10 分）求xf xe=()在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。七、（12 分）给定12x xa b,，函数f x()在a b,具有三阶导数，且满足 1011000210012012102xxxxxxxxxf xf xfxxxxxxxf xr xxx+=+=+()()()()()()()()()()()()(),求r x()的表达式。八、（10 分）设f x()在a b,上具有二阶连续导数，且0f a=()，0f b=()，试用插值方法证明下列不等式218a x ba x bf xbafx max()()max()。第五章第五章 数值积分与数值微分自测题数值积分与数值微分自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、在牛顿-柯特斯求积公式()0()()()nbniiaif x dxbaCf x=中，当系数()niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时不使用牛顿-柯特斯求积公式。(1)8n ；(2)7n ；(3)10n ；(4)6n 。2、若使下列求积公式中的代数精度尽量高，20120()(0)(1)(2)f x dxA fA fA f+，则求积公式中的待定系数应分别为()(1)012141,33AAA=；(2)012141,33AAA=；(3)012441,33AAA=；(4)012141,333AAA=。3、若用复化的辛浦生公式计算积分0sinxdx ，问积分区间要（）等分才能保证误差不超过52 10？（1）10；（2）15；（3）20；（4）25。84、牛顿-柯特斯数值求积公式()0()()()nbniiaif x dxbaCf x=，则当n为偶数时,至少具有()次代数精度。（1）n；（2）21n+；（3）1n+；（4）1n。5、若求积公式50()()bkkakf x dxA f x=为高斯（Gauss）型，下列说法正确的是（）(1)不能确定该求积公式的稳定性；(2)50kkAba=；(3)该求积公式的代数精度为9；)(4)430()()baxxx dx+=+=，其中50()()kkxxx=。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、为使两点的数值求积公式1011()()()f x dxf xf x+具有最高的代数精确度，则其求积 节点的值应为_。2、求定积分的梯形公式的代数精度为 。3、已知求积公式20104123()()()()f x dxfff+，则其代数精度为 。4、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。5、已 知 插 值 型 求 积 公 式0()()()nbkkakx f x dxA f x=，0niix=为 求 积 节 点，且10()()nniixxx+=+=，21,(),nP xSpanx xx?，则求积节点 0niix=为高斯点的充要条件是 。三、（10 分）取 5 个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分91xdx 的近似值。四、（12 分）设)(xf具有四阶连续导数，1 0 1 2,iihxxi+=，(1)证明四点数值微分公式 30012311 118926()()()()()()f xf xf xf xf xO hh+9(2)利用(1)的数值微分公式及下表中的函数值求1()f 的近似值。x 1.0 1.5 2.0 2.5 f(x)8.00 13.75 21.00 29.75 五、（12 分）用龙贝格求积法求积分210 xe dx的近似值，要求误差不超过310。六、（14 分）求积公式10100010f x dxA fA fB f +()()()()，又知其误差为 0 1Rkf =(),(,)。试确定系数01,A A及0B，使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出这个代数精确度和误差式中的k值。七、（12 分）试证：若求积公式0()()nbkkakf x dxf x=的代数精度不小于n，则它的求积系 数必然是0 1 2(),bkkalx dx kn=?，其中()klx是以01,nx xx?为节点的拉格朗日插值多 项式的基函数。八、（10 分）证明：高斯（Gauss）型求积公式11nbkkakf x dxA f x+=+=()()中的求积系数iA 可表示为：2bbiiiaaAl x dxlx dx=()()，其中il x()是 n 次拉格朗日(Lagrange)插值基函 数，即111 21njijijj ixxl xinxx+=+=+=+()(),()?。第六章第六章 线性与非线性方程组的迭代解法自测题线性与非线性方程组的迭代解法自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、设Axb=的系数矩阵122111221A=，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（）（1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。2、用一般迭代法(1)()kkxBxg+=+=+求解方程组Axb=的解，则当（）时，迭代收敛。（1）方程组系数矩阵A对称正定；（2）方程组系数矩阵A严格对角占优；（3）迭代矩阵B严格对角占优；（4）迭代矩阵B的谱半径()1B =，故此迭代发散；（4）迭代矩阵B的谱半径()1B ，故此迭代发散。4、若线性代数方程组Axb=的系数矩阵A为严格对角占优阵，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（）（1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。5、若线性代数方程组Axb=的系数矩阵A为对称正定矩阵，则下列说法正确的是（）（1）雅可比法收敛；（2）高斯-赛德尔法收敛；（3）雅可比法和高斯-赛德尔法均收敛；（4）SOR 迭代法收敛。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、设10102aA=，要使lim0kkA=，a应满足的条件是_ _。2、若用高斯-赛德尔法解方程组1212423xaxaxx+=+=+=，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件 是a应满足_ _。3、给定方程组121122xaxbaxxb=+=+=，a为实数，当a满足_且02 时，SOR 迭 代法收敛。4、设求解线性代数方程组Axb=的雅可比法的迭代矩阵为B，且12()B=，若改用 SOR 迭代法计算，则最佳松弛因子=。5、设实对称正定方程组Axb=，其中()n nijAaR=，二次函数12()(,)(,)xAx xb x=，则()x=。11三、（9 分）对于下面的迭代矩阵B，判断迭代法1kxBxf=+的是否收敛。（1）0 90 30 00 5.B=；（2）1 10 30 41 2.B =；（3）0 90 30 00 8.B=。四、（14 分）已知方程组Axb=，其中122111221A =，123b =，（1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；（3）写出相应的 SOR 迭代法的分量形式（取1 5.=）。五、（10 分）设 n 阶矩阵 B 的谱半径()1B，但 B 有一个特征值，其模1。证明：存在初始向量(0)x，使得迭代法(1)(),0,1,2,kkxBxgk+=+=?得到的向量序列收敛到方程xBxg=+的唯一解*x。六、（12 分）用共轭梯度法求解方程组123210113110143xAxxbx =，初始近似向量取为()Tx0,0,0)0(=。七、（10 分）设 H 为 n 阶实对称矩阵，A 为 n 阶正定矩阵，AHAH正定，证明：迭代格式()1(),0,1,2,kkxHxbk+=+=?对任意初始向量(0)x都收敛。八、（15 分）设方程组Axb=的系数矩阵n nAR非奇异，ADLU=，其中D,L,U分别是 A 的对角阵、严格下三角阵和严格上三角阵，D 非奇异。(1)写出 Jacobi 迭代法的迭代矩阵B，并证明其特征方程为()0detDLU =；(2)写出 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵G，并证明其特征方程为()()0det()DLU=；(3)写出 SOR 迭代法的迭代矩阵G，并证明其特征方程为 10det()()DLDU=。第七章第七章 曲线拟合与线性最小二乘问题自测题曲线拟合与线性最小二乘问题自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、在 区 间0,1上 满 足(0)1.5,(1)2.5yy=的 0 次 拟 合 多 项 式 曲 线 是()12(1)2y=；(2)1.5y=；(3)2.5y=；(4)4y=。2、设m nAC ，对于其广义逆矩阵A+，下列性质不成立的是（）。（1）()AA+=；（2）()ABB A+=；（3）()()TTAA+=；（4）()()rank Arank A+=。3、设方程组,m nAxb AR=为不相容方程组，则下列说法错误的是（）(1)该方程组一定存在最小二乘解；(2)该方程组的最小二乘解是方程组TTAA xA b=的解；(3)若()rank Anm=，则其唯一的最小二乘解为1()TTxA AA b=；(4)若()rank Anm。15六、（12 分）设实对称矩阵120211013A=，试利用 Jacobi 方法计算该矩阵的全部特征值和特征向量的近似值，迭代一步。七、（12 分）设A为n阶实方阵，证明：存在镜面反射矩阵121,nHHH?，使得121nHH H A?为上三角矩阵。八、（10 分）设n nAR 为实对称矩阵，其特征值次序记为12n?，对应的特征向量12,nxxx?是一个单位正交向量组，即0(,)1ijijijx xij =，试证明：（1）对,0nxRx ，有1(,)(,)nAx xx x ；（2）10(,)max(,)xAx xx x =；（3）0(,)min(,)nxAx xx x =。第九章第九章 常微分方程数值解法自测题常微分方程数值解法自测题 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)1、改进的 Euler 法的整体截断误差是（）(1)()O h；(2)2()O h；(3)3()O h；(4)4()O h。2、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差是()。(1)3()O h；(2)4()O h；(3)5()O h；(4)6()O h。3、设112(,)nnnnyyhf xy+=+=+是求解常微分方程初值问题00(,)()yf x yy xy =的数值公式，对于该迭代公式，下列说法正确的是（）(1)单步一阶；（2）多步一阶；（3）单步二阶；（4）多步二阶。4、对于常微分方程初值问题00(,)()dyf x ydxy xy=，下列说法错误的是（）(1)隐式方法要比显式方法稳定性要好；(2)N级显式龙格-库塔方法的局部收敛阶可以达到1N+；(3)N级隐式龙格-库塔方法的局部收敛阶可以达到2N；(4)如果(,)f x y满足对y的李普希兹（Lipschitz）条件，则龙格-库塔方法一定收敛。165、求解常微分方程初值问题的中点公式12121(,)11(,)22nnnnnnyyhkkf xykf xh yhk+=+=+=+=+的局部截断误差为（1）()O h；）（2）2()O h；（3）3()O h；（4）4()O h。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）1、设00(,)()dyf x ydxy xy=的显式单步法为1(,)nnnnyyhxyh+=+，如果该方法与初值问题相容，则增量函数 满足条件_ _。2、Euler 方法的绝对稳定区间为 _。3、k阶齐次线性差分方程111100kn kkn knna yaya ya y+=+=?的特征方程是 _ _。4、用于检验求解常微分方程初值问题的数值方法稳定性的实验方程是 。5、求解常微分方程初值问题的梯形方法的局部收敛阶为 。三、（10 分）对于一阶微分方程初值问题201()dyxydxy=，取步长0 2.h=，分别用 Euler 预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求0 2(.)y的近似值。四、（12 分）某伞兵与降落伞质量为90kg，当伞张开时以12/m s速度垂直下降，假设空气阻力与伞的下降速度成正比，在速度为6/m s时，测得的空气阻力为353N（牛顿），试用欧拉方法求伞兵开伞后，第 1 秒末、第 2 秒末时各时刻的速度。五、（12 分）证明改进的欧拉方法能够准确地求解初值问题00()dyaxbdxy=+=+=。六、（12 分）对于初值问题01()dyydxy=，证明：用梯形公式求得的数值解为22nnhyh=+=+，证明当步长0h时，ny收敛于初值问题的精确解()xy xe=。17七、（14 分）用二步法1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy+=+=+求解一阶常微分方程初值问题00(,)()yf x yy xy=，问：如何选择参数,的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。八、（10 分）考虑常微分方程初值问题(,)()()dyf x yaxbdxy a=，应用数值积分的有关理论导出二步 Adams 显式公式：11132(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy+=+=+。第一章第一章 绪论自测题参考答案绪论自测题参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分)1、(2)2、(3)3、(3)4、(4)5、（2）二、填空题（15 分，每小题 3 分）1、31102 ；2、12；3、130；4、33；5、截断（方法）误差 三、（13 分）解：已知有效数的绝对误差限为123()()()0.0005e xe xe x=，-（2 分）从而相对误差限为 123()0.00016,()0.5,()0.005rrrexexex=，1123()()()()0.0015reye xe xe x+=+=，-（4 分）由绝对误差限的传播关系式得 2231132123()()()()e yx x e xx x e xx x e x+，23232331()()()()xe ye xe xxx +，-（7 分）所求算式的相对误差限为 111()0.0015()0.00053.004re yeyy，18221232()()()()()0.50516rrrre yeyexexexy+，33233()()()()0.505rrre yeyexexy+=+=。-（13 分）四、（16 分）解：（1）22122222sincostansinsinxxxxxxcox=（避免很小的数作除数）；-（4 分）（2）2112121121()()xxxxxx=+=+（避免相近的数相减）；-（8 分）（3）21121111()xxxxxxxxxxxxxx+=+=+（理由同（2）；-（12 分）（4）1221111arctan()arctan()arctanxxdtxxtxx+=+=+=+=+（理由同（2）（利用公式1tantantan()tantanxyxyxy=+=+即得）。-（16 分）五、（15 分）解：01 41.y=，则20001102eyy=，-（2 分）根据递推公式得到：1111101010101010nnnnnnnnneyyyyyyee=?-（6 分）当10n=时，101028100111010101022ee=，故该方法不稳定。-（9 分）将递推公式改写为1111 21010,nnyyn=+=+=?，-（12 分）则有111110nnnnneyyyy=，2112111010nnnnneyyyy=，190110nnneyy=，-（14 分）由此可以看出，如果倒着计算，误差会递减，但必须知道ny的值。-（15 分）六、（13 分）解：因为,sssxyyxxy=，-（2 分）()0.2x =，()0.1y =，-（6 分）绝对误差限 ()()()()sx yxyyx=+=+110 0 180 0 227.=+=+=；-（10 分）相对误差限 ()27()0.31%110 80rsss=。-（13 分）七、（13 分）解：ka是有效数字，根据有效数字的定义知1102m kxx ，-（3 分）且111 101010mmx=，-（5 分）111101210102()m kkmrxxex=。-（8 分）另一方面，10mx ，1102krxxex=，-（10 分）11101022km kxxx，-（12 分）所以ka必为有效数字，即*x至少有k位有效数字。-（13 分）第二章第二章 非线性方程的数值解法自测题参考答案非线性方程的数值解法自测题参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分)1、(3)2、(4)3、(2)4、(1)5、(4)二、填空题（15 分，每小题 3 分）201、51,99pqr=；2、2；3、1.618 或152+；4、381 264(,)F =；5、1522kkkxxx+=+=+三、（12 分）解：（1）122012sinsinxxxx=+=+，迭代函数112()sinxx=+=+，迭代格式1110 1 22sin;,kkxxk+=+=+=?-（3 分）当0 52.,x 时，11122()cosxxL=，故该迭代格式收敛。-（6 分）相应的 Steffenson 迭代格式：210 1 22();,()()kkkkkkkxxxxkxxx +=+=+?-（9 分）211120 1 2111112 1222(sin);,sin(sin)(sin)kkkkkkkxxxxkxxx+=+=+?21111 5 1 521 51 4987111111 52 11 51 5222(sin.).sin(sin.)(sin.).x+=+=+。-（12 分）四、（12 分）解：对于1nnf xxa fxnx=(),(),因此牛顿迭代法为 111110 1 2nkkkknnkkxaaxxnxknxnx+=+=+=(),.-（3 分）而且1nnnaa=()，12112nknnkkaxnaxa+=()lim()；-（6 分）对于方程11nnanaf xfxxx+=(),()，牛顿迭代法为 110 1 2nkkkkkkf xxxxxnkfxna+=+=+=()(),.()，-（9 分）分）12112nknnkkaxnaxa+=+=lim()。-（12 分）五、（12 分）21解：(1)236683()()xx =+=+，2332 1880 227881()().=+，迭代格式收敛。-（3 分）(2)122468()()xxx =+=+，12421880 08716319()().=+=，迭代格式发散。-（9 分）选择格式(1)计算 k 0 1 2 3 kx 3 2.9625 2.9539 2.9520-（12 分）六、（12 分）解：（1）2144xxxxL+=+=sincos,()，故方程（1）能用迭代法求根。-（3 分）（2）对于方程（2），若直接取迭代函数42xx=()，方程为42xf xx=+()，1020ff(),()，有根区间为1 2,，此时22221xx =()lnln，故不能用该迭代法求解。-（6 分）将原方程改写为42xx=ln()ln，迭代函数42xx =ln()()ln，-（9 分）且有11114222xLx=()，-（2 分）且有1000kkkxxx +=()()()，介于kx与 0 之间，-（5 分）若001xL,，迭代不收敛；-（7 分）若改用斯蒂芬森迭代，可得142201333kkxxxxxLxx+=+=+(),(),()，（9 分）所以斯蒂芬森迭代法收敛，收敛阶1p=。-（10 分）第三章第三章 线性方程组的直接解法自测题参考答案线性方程组的直接解法自测题参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分)1、(2)2、(3)3、(4)4、(1)5、(3)二、填空题（15 分，每小题 3 分）1、(3,3)a ；2、32+；3、1000.510201L =；4、p；5、对称正定 三、（12 分）解：1113243267102115914350156()(),Ab=-（2 分）2335015626710211591413243 -（4 分）3501568070632054163402113 -（6 分）350156807063273500442300142 -（8 分）3501568070632735004421100099 -（10 分）故方程组的解为()2321Tx=-（12 分）四、（12 分）解：将矩阵进行三角分解ALU=，得 1211001212232100211301 1 21001 2=-（4 分）求解Lyb=123100021031 1 216yyy =,得()()03 1 2Ty=-（8 分）24求解Uxy=12312100213001 21 2xxx=，得111(,)Tx=-（12 分）五、（12 分）解：424200212217101400424109221001TALL=-（4 分）求解Lyb=1232001014032217yyy=,得()()521Ty=-（8 分）求解TL xy=123214504220011xxx=，得()211Tx=-（12 分）六、（10 分）证明：由题意知：rbXAbAX=,rAXXrAXXrXXA11)(=-（4 分）又bAXXAAXbbAX=1-（7 分）所以bAAcondbrAAXXX)(1=。-（10 分）七、（12 分）证明：因为A对称，故22()()()TA AAA=，-（3 分）所以有221211()()()()nnTTTnkkkkA AA AA AA=+=+=?-（6 分）25又 12()()()TTTnA AA AA A+=+=?TA A的对角元素之和 222221211111nnnnnkknkikFkkkikaaaaA=+=+=?，-（10 分）因此21nkFkA=。-（12 分）八、（12 分）解：交换方程组的前两行，则原方程组Axb=等价于102331013110 xb=，51414b=此时系数矩阵为严格对角占优矩阵，故 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。（4 分）答案（1）：Jacobi 迭代法的分量形式 123111321123523101430 1 21014310()()()()()()()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx+=+=?-（8 分）迭代矩阵为：1230101031010103101010()BDLU =+=+=，-（12 分）答案（2）：Gauss-Seidel 迭代法分量形式 123111132111123523101430 1 21014310()()()()()()()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx+=+=?-（8 分）Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为 26113051031050100279105001000()GDLU =，-（12 分）第四章第四章 多项式插值与数值逼近自测题参考答案多项式插值与数值逼近自测题参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分)1、(3)2、(2)3、(1)4、(2)5、(2)二、填空题（15 分，每小题 3 分）1、10；2、2；3、fx ()；4、221n+；5、()()f xp x 三、（12 分）解：（1）31230230130120 1 02 0310 12 1 320 2 1 2330 3 1 32()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL x=+=+32482133xxx=+=+-（5 分）（2）均差表：011329327 2618 26 43 -（8 分）341221123()()()()Nxxx xx xx=+=+-（10 分）31 51 55(.)(.)fN=-（12 分）四、（14 分）解：214()()()()H xNxkx xx=+=+,其中221171666()()Nxxx xxx=+=+为不考虑导数条件的 2 次牛顿插值多项式。-（3 分）代入导数条件21111329()