高等数学常见中值定理证明及应用.pdf

中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及 f(b)=B，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间(a,b)内至少有一点使得f()=C(ab).Ps:c 是介于 A、B 之间的，结论中的取开区间。介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上有最大值 M，最小值m,若 mCM,则必存在a,b,使得 f()=C。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、零点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)0,那么在开区间内至少存在一点使得f()=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数 f(x)满足：（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得 f(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得f(b)-f(a)=f().(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及 g(x)满足（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一 x(ax0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)、写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2)、证明在-a,a上至少存在一点使得a f()3第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础（1）、f(x)f(0)3aaf(x)dxf(0)f()2f()2x x f(0)x x1!2!2!(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来aaf(x)dx aaf()2 x dx，f()此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x 无2关的数。做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道 f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有：因为 f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m 则对于区间-a,a，m f(x)M,mx2 f()x2 Mx2aaa22322ma mx dx f()x dx Mx2dx Ma3aaa333am 3f(x)dx Maa所以由介值定理有结论成立。Ps：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。5、设 f(x)在0,上连续，且0f(x)dx 0,f(x)cosxdx 0.0证明：在(0,)内至少存在两个不同点1、2使得f(1)f(2)0本题看似很简洁，但做起来去不容易。结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。令：F(x)x0f(t)dt,x0,，F(0)F()0似乎只需在找出一点 F(c)=0 即可。，如果一切如我们所想，证明也就完成了。f(x)cosxdx cosxdF(x)cosxF(x)0sin xF(x)dx 0000sin xF(x)dx 00似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。构造函数G(x)x0sint F(t)dt,x0,具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到c(0,),使得G(c)0,即sincF(c)0,所以F(c)0所以有：F(0)F(c)F()0,c(0,)接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，思路。Ps：本题是 02 年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运用不熟练，还是不好弄出来。本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到积分中值定理，以及罗尔定理。但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计一半的分都没了。本题关键的就是寻找这个点C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类讨论了），硬是说 C 点就成立，那估计一半的分都没了。对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，或是求微分方程，解出来也可。本人自己总结了一些东西，与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出g(x)XXX e 或者e或者x,n为任意常数1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有e 或者exxxxnf(x)f(x)可以构造g(x)f(x)exf(x)f(x)0可构造g(x)f(x)exf(x)f(x)可构造g(x)f(x)exexxaf(t)dt f(x)这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g(x)exf(t)dtaxf(x)(f(x)x)1先将其变形下：f(x)f(x)1x左边是导函数与原函数关系可构造：f(x)ex右边可以看成是xx也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：xex从而要构造的函数就是：g(x)(f(x)x)e2、如果还涉及到变量X，想想构造xnxxf(x)f(x)0可构造g(x)f(x)xf(x)2 f(x)2可构造g(x)f(x)xxxf(x)nf(x)0可构造g(x)f(x)xn3、另外还可以解微分方程来构造函数：如xf(x)f(x)0f(x)x,f(x)1ln f(x)x2c2ln f2(x)ex cf2(x)ex C所以构造函数g(x)f(x)e2x222二、二阶导数与原函数之间关系构造带有e 或者exxf(x)f(x)如何构造如下：你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数f(x)f(x)f(x)f(x)对于此式子，与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是f(x)）之间关系，从而等式左边可以构造f(x)ex等式右边可以构造f(x)ex总的构造出来函数为：g(x)(f(x)f(x)e另：如果这样变形：x(f(x)f(x)(f(x)f(x)0构造函数如下：g(x)(f(x)f(x)ex，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的。从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。如果题目给了f(x)f(x)为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了f(x)f(x)，则可以考虑第二种构造方法。f()3f()2 f()0先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系f()2f()f()2f()f(x)e2x f(x)e2x所以构造的函数为：G(x)(f(x)f(x)e2xf(x)f(x)0这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。G(x)f2(x)(f(x)2G(x)2f(x)(f(x)f(x)实际做的时候还得看题目是否给了f(x)的一些条件，如果在某个开区间内不为0，而构造出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。具体来看看题目：1、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1 证明：（1）、存在(,1),使得f()（2）、存在(0,),使得f()f()1（1）、对一问直接构造函数用零点定理：F(x)f(x)x具体详细步骤就不写了。（2）、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造：12f()f()1先变形f()f()1f(x)ex xex构造函数为G(x)(f(x)x)ex另：用微分方程求解法来求出要构造的函数f()1 f()(f(x)x)f(x)xln(f(x)x)x cf(x)x exc exC(f(x)x)ex C把常数退换掉之后就是要构造的函数G(x)(f(x)x)ex函数构造出来了，具体步骤自己去做。2、设f(x)在a,b上连续，f(x)在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,baf(x)dx 0证明：（1）存在1,2(a,b)使得f(1)f(1),f(2)f(2)（2）存在(a,b),1,2使得f()f()（1）、第一问中的函数构造：F(x)f(x)ex（2）、第二问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了我们在这用第一种g(x)(f(x)f(x)ex原因在于第一问中f(x)f(x)=0 符合此题构造。具体详细步骤自己去写写。3、设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且 f(1)=1,证明：(1)存在(0,1),使得f()1(2)存在(1,1),使得f()f()1第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数（1）、F(x)f(x)x，题目中提到奇函数，f(0)=0有 F(0)=F(1)=0 从而用罗尔定理就出来了。（2）、第二问中的结论出发来构造函数，从上面讲的方法来看，直接就可以写出要构造的函数f()f()1先变形下：f(x)ex exG(x)(f(x)1)ex函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只需要在（-1,0）之间在找一个点也满足1 的结论即可。也即(1,0),f()1从而可以对(,)(1,1)运用罗尔定理即可。Ps：本题为 13 年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为奇函数，在0 点处函数值为 0.第二问关键是构造函数，函数构造出来了就一步步往下做，缺什么条件就去找什么条件或者证明出来，13 年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法，考场上都很快就搞出来了。