不定积分公式大全.pdf
Ch4、不定积分1、不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质1 1、原函数与不定积分原函数与不定积分定义定义 1 1：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。连续函数一定有原函数；若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)C也为f(x)的原函数；事实上，F(x)C F(x)f(x)f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由F1(x)F1(x)F1(x)F2(x)f(x)f(x)0，得F1(x)F2(x)C故F(x)C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。定义定义 2 2：f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx，积分号，f(x)被积函数，x 积分变量。显然f(x)dx F(x)C例例1 1、求下列函数的不定积分kdx kxC 11xCx dx 1ln x C 1 12 2、基本积分表基本积分表（共 24 个基本积分公式）3 3、不定积分的性质不定积分的性质f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dxkf(x)dx kf(x)dx例例2 2、求下列不定积分dx112(2)1xdx xC C(2)1xx2(k 0)dxxx1 2dx 1x(1 2)1C 2 x C(1 2)153221 x1 xdx 5arcsin x 3arctan x Cx1 1dxe1xxexdx edx lnx C2x2xlne2cscxcscx cot xdx csc2xdxcscxcot xdx cot x cscx Cdxsin2x cos2x22dx csc xdx sec xdx cot x tan x C2222sin xcos xsin xcos xcot2xdx csc2x 1dx cot x x Cx4x4111132dx dx x 1dx x x arctan x C22231 x1 x1 x2、不定积分的换元法不定积分的换元法一、一、第第一类换元法（凑微分法）一类换元法（凑微分法）1 1、fax bdx 11 f ax b d ax b,即dx dax baa例例 1 1、求不定积分111sin5xdx sin5xd5x5x usinudu cos(5x)C555111771 2x71C 11 2x8C1 2xdx 1 2xd(1 2x)22 7 116dx1dx a1 xarctanCa2 x2a1x a2aadxa x22(20)dx a1x a2 x arcsinCa(23)2 2、fxnxn1dx 例例 2 2、求不定积分21nnn1nf xdx,即xdx dxn 1x 1 x dx 1 x22d1 x1 2211 11 x22211121C 1 x2332C2x2exdx 31x31x33ed x eC3311111cosdx cosd sinC2xxxxxcosxxdx 2cosxdx 2sinx C 11dx dx2x 1dx 2dxx13 3、dx d ln x,exdx dex,sin xdx d cosx,cosxdx d sin x,sec2xdx d tan x,x11secxtan xdx d secx,dx d arctan x,dx d arcsin x,221 x1 xxdx da2 x2,a2 x2例例3 3、求不定积分sin xd cosxtan xdx dx lncosx C lnsecx Ccosxcosxcosxd sin xcot xdx dx lnsin x C lncosx Csin xsin xsecxsecx tan xdsecx tan xsecxdx dx lnsecx tan xCsecx tan xsecx tan xcscxcscx cot xdcscx cot xcscxdx dx lncscx cot xCcscx cot xcscx cot x1d ln xdx lnln xCxln xln xdxdtan x 1 lntan x 1C2tan x 1cos x1 tan x(16)(17)(18)(19)exd 1 exdx ln 1 exCxx1 e1 edx1 exexx x ln 1 eCxx1 e1 eexdexxdx arctane C2x2x1 e1ex1 x2e 1x2dx e 1x2d 1 x2 e1x2C3例例 4 4、求不定积分dx1111 d(x a)d(x a)dx x a2ax ax2 a22ax ax a1x alnC2ax adx(21)(22)x2 x 2x21 x 3x 3dx dx 11 x21 x21 x21d x21dx12 x 23 x ln 1 x3arctan x C22x 121 xx 412x 261d x22x 5dx2dx 2dx 2322x 2x 52x 2x 5x 2x 5x 1 413x 1ln x2 2x 5 arctanC2221cos2x11 111sin2xdx dx x cos2xd2xx sin2x C222 224111sin5xcos3xdx sin8x sin2xdx cos8x cos2x C2164cot xcosxdxd sin xd lnsin xdx lnlnsin x Clnsin xsinlnsin xsin xlnsin xlnsin xdx1sin xd cosx12dx sec xdx tan x C221sin xcosxcos xcos xdxdx1 csc x dx cosx sin x4 42sinx 421lncsc x cot x C442二、二、第第二类换元法二类换元法1 1、三角代换、三角代换例例 1 1、a2 x2dx解：解：令x asint(或acost)，则a2 x2 acost,dx acostdt1 cos2ta21 dt dt cos2td 2t原式=acost acostdt a22224a2a2a2xa2xa2 x2t sin2t C arcsin2C242a4aa12x1a arcsinx a2 x2C2a2例例 2 2、dxa2 x2dx a1x a2x arcsinCa解：解：令x asintacostdtx原式=dt t C arcsinCacosta例例 3 3、dxa x22解：解：令x atant(或acott)，则a2 x2 asect,dx asec2tdtx2 a2xasec2tdtsectdt lnsect tantC lnC原式=asectaa ln x x2 a2C例例 4 4、dxx x 42(24)解：解：令x atant(或acott)，则x2 4 2sect,dx 2sec2tdtx2 a2xasec2tdtsectdt lnsect tantC lnC原式=asectaa例例 5 5、dxx a22解：解：令x asect(或acsct)，则x2a2 atant,dx asect tantdtxasect tantdtsectdt lnsect tantC ln原式=aatantx2 a2a c ln x x2a2C(25)5例例 6 6、x29dxx解：解：令x asect，则x29 3tant,dx 3secttantdt原式=3tant3sect tantdt 3tan2tdt 3sec2t 1 3tant tC3sectx2933 3arccosC x29 3arccosC3xxa2 x2x asint小结：小结：f(x)中含有x2 a2可考虑用代换x atant2x asect2x a2 2、无理代换、无理代换例例 7 7、dx1x 13解：解：令3x 1 t,则x t31,dx 3t2dtt23t2dtt2111 原式=3dt 3t 1t ln 1tCdt 31t1t1t233x 1233x 13ln13x 1 C2例例 8 8、x 1xdx3解：解：令6x t,则x t6,dx 6t5dt6t5dtt21原式=3 6dt 61dt 6t arctantC1t21t2t 1t2 66x arctan6x C例例 9 9、解：解：令11 xdxxx1 x12tdt t,则x 2,dx 22xt 1t 162tdt原式=t 1tt21222t11t 1 2dt 21dt 2t ln Ct21t212t 1 2dx1 e1 x1 x xlnCx1 x x例例 1010、x解：解：令1 ex t,则x ln t21,dx 2tdt2t 112tdt1t 11 ex1dt 22 2lnC lnC原式2xt t 12t 1t 11 e 14 4、倒代换倒代换例例 1111、dx6x x 411t7dt解：解：令x,则6,dx 62tx x 11 4ttt6dt1d 4t6111x66 ln 4t 1 C lnC原式 242424x6 41 4t64t6111ln x ln x6 4 C4243、分部积分法分部积分法分部积分公式：UVUV UV,UV UVUVUV dx UVdx UVdx，故UdV UVVdU（前后相乘）（前后交换）例例 1 1、xcosxdxxdsin x xsin x sin xdx xsin x cosx C例例 2 2、xexdxxdex xexexdx xexexC71例例 3 3、lnxdx xln x xd ln x xln x xdx xln x x Cx或解：或解：令ln x t,x et原式tdet tetetdt tetetC xln x x C例例 4 4、arcsin xdx xarcsin x xd arcsin x xarcsin x xarcsin x x1 x2dx1d 1 x2 xarcsin x 1 xC221 x2或解：或解：令arcsin x t,x sint原式td sint tsint sintdt tsint cost C xarcsin x 1 x2C例例 5 5、exsin xdxsin xdex exsin x excosxdx exsin x cosxdex e sin x e cosx e d cosx esin x cosxe sin xdxxxxxx故exsin xdx 例例 6 6、1xesin x cosxC2xdx2cos xxd tan x xtan x tan xdx xtan x lnsecx C例例 7 7、ln x 1 x2dx xlnx xln x 1 xx1 x221 x1 x22x 1 xdx xln x 1 x2x1 x2dx1 x2C4、两种典型积分两种典型积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分P(x)anxn an1xn1 a1x a0有理函数R(x)可用待定系数法化为部分分mm1Q(x)bmxbm1xb1x b0式，然后积分。8例例 1 1、将解：解：x 3x 3化为部分分式，并计算dx22x 5x 6x 5x 6A Bx 3A 2Bx 3x 3ABx 2x 3x25x 6x 2x 3x 2x 3A B 13A 2B 3A 5B 6故x 3dxdxdx 5 6 5ln(x 2)6ln(x 3)C2x 2x 3x 5x 612x 5111d x25x 611dxdx 22或解或解：I 22x 5x 62x 5x 62x 5x 6例例 2 2、111 11ln x25x 6 dx22x 3x 2111x 3ln x25x 6 lnC22x 21dxx 1 x1dxdx 2x(x 1)2x(x 1)x(x 1)2(x 1)111x1 dx lnCx 1x(x 1)2x 1x 1111d x 1x 2x211xxxC例例 3 3、4dx dx arctan21x 1221x22x 2xxdx1x412例例 4 4、111212x 1 x 11xxdx dx dx41221x 12x x 22xx2 21111ddx x x x 2 1xx11x1lnxC2arctan222222 2x 121x 1 2x 2xxx 1x211x212xarctanCln22 22x2x 12x9二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分x对三角函数有理式积分I Rsin x,cosxdx，令u tan,则x 2arctanu，22u1u222u1u22sin x,cosx,dx du，故I R三角函,du，2222221u1u1u1u1u1u数有理式积分即变成了有理函数积分。dx例例 5 5、35cosx1u22x,dx du解：解：令u tan,则x 2arctanu，cosx 221u1u2x12du12u12C原式du lnC ln222x222u41u1u4u2 tan3521u22 tan例例 6 6、dx2sin x cosx 52u1u22x,cosx,dx du解：解：令u tan,则x 2arctanu，sin x 1u21u21u22原式12dudu 3u2 2u 22u1u21u225221u1u11xdu u 3arctan111333C 1arctan2arctanC233555515u 3392u21 sin x21u2 2u1udu 22du例例 7 7、dx 221u1uu(u 1)1 cosx11u21 121u1du 2du2u2u(1u2)uu1u1xx 2lnu ln1u2C cot 2lnsinCu2210
