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二阶常系数齐次线性微分方程教学目的教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学重点教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学难点教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。教学内容教学内容：d2ydy P(x)Q(x)y 0（1）若2dxdx中P(x),Q(x)为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。记：y pyqy 0（2）rx将y e代入（2）中有(r pr q)e 0，称r pr q 0为（2）的特征方程。2rx2r pr q 0（3）设r1,r2为（3）的解。2（1）当r1 r2即p 4q 0时，y C1e1C2e2为其通解。rx（2）当r1 r2 r即p 4q 0时，（3）只有一个解y Ce。2r xr x2（3）当r i即p 4q 0时，有y e利用欧拉公式可得实解，故通解为2(i)x是解。y ex(C1cosxC2sinx)。求二阶常系数齐次线性微分方程y pyqy 0（2）的通解的步骤如下：1 写出微分方程（2）的特征方程r pr q 0（3）2 求出特征方程（3）的两个根r1、r2。23 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程r pr q 0的两个跟r1,r2两个不相等的实根r1,r2两个相等的实根r1,r2一对共轭复根r1,2i例 1 求微分方程y2y3y 0的通解。解 所给微分方程的特征方程为2微分方程ypy+qy=0的通解y C1er1xC2er2xy C1C2xer1xy eaxC1cosx+C2sinxr22r 3 0其根r1 1,r2 3是两个不相等的实根，因此所求通解为y C1exC2e3xd2sds s 0满足初始条件s|t0 4，s|t0 2的特解。例 2 求方程22dtdt解 所给方程的特征方程为r22r 1 0其根r1 r2 1是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为s C1C2tet将条件s|t0 4代入通解，得C1 4，从而s 4C2tet将上式对t求导，得sC24C2tet再把条件s|t0 2代入上式，得C2 2。于是所求特解为s 42tet例 3 求微分方程y2y5y 0的通解。解 所给微分方程的特征方程为r22r 5 0其根r1,21 2i为一对共轭复根，因此所求通解为y exC1cos2xC2sin2x例 4 在第七节例 1 中，设物体只受弹性恢复力f的作用，且在初瞬t 0时的位置为x x0，初始速度为dx|t0 v0。求反映物体运动规律的函数x x(t)。dtdx解由于不计阻力R，即假设 0，所以第八节中的方程（1）成为dtd2x2k x 0（4）2dt方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。反 映 物 体 运 动 规 律 的 函 数x x(t)是 满 足 微 分 方 程（4）及 初 始 条 件x|t0 x0,dx|t0 v0的特解。dt22方程（4）的特征方程为r k 0，其根r ik是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为x C1coskt C2sinkt。应用初始条件，定出C1 x0,C2v0。因此，所求的特解为kv（5）x x0coskt 0sinkt。k为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令x0 Asin,v0 Acos,(0 2)k（6）x Asin(kt)，于是（5）式成为2v0kx其中Ax 2,tan0。kv020函数（6）的图形如图 12-14 所示（图中假定x0 0,v0 0）。函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A，初相为，周期为T 2，k角频率为k，由于k c（见第八节例 1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在m本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，k又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。例 5由第七节例 1 中，设物体受弹簧的恢复力f和阻力R的作用，且在初瞬t 0时的位置x x0，初始速度dx v0，求反映物体运动规律的函数x x(t)dtd2xdx2nk2x 02dtd t解dxx x,t00t0 v0d t小阻尼情形 n kx C1e1C2e2其中 r1,2 ntr tr tn2k2 nn2k2无振荡现象，对任何初始条件lim x(t)0.即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置临界阻尼情况n=kx (C1C2t)ent任意常数由初始条件定,无论C1,C2取何值都有x(t)最多只与 t 轴交于一点，无振荡现象，lim x(t)lim(C1C2t)ent 0.tt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置可扩展到n阶常系数微分方程ynn1特征方程:r a1r(n)p1y(n1)pn1y pny 0(pk均为常数)an1r an 0若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项(C1C2xCkxk1)er x若特征方程含 k 重复根r i,则其通解中必含对应项ex(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx若特征方程单实根 r 则其通解中必含对应项Cerx若特征方程一对单复根r1,2i则其通解中必含对应项e例 6解方程y(4)x(C1cosxC2sinx)2y5y 0 x通解为y C1C2xe(C3cos2xC4sin 2x)4例 7解方程d w4w 0(0).dx4解:特征方程r (r)2r 02222即(r 2r)(r 2r)04422222其根为r1,2方程通解2(1 i),r3,4 2(1 i)w e小结与思考：2x(C1cos2xC2sin2x)e2x(C3cos2xC4sin2x)本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当特征根形式不同时，通解具有不同形式。用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的方法和步骤为：2r写出微分方程的特征方程 pr q 0；求出特征方程的根，即特征根r1和r2；根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解，即当 p 4q 0时，微分方程1的通解Y C1e C2e2r xr2x11；当 p 4q 0时，微分方程的通解Y C1eC2xe；2r xr x2 p 4q 0时，将 特 征 根r1和r2记 为i，微 分 方 程 的 通 解当Y C1excosx C2exsinx作业：作业见作业本
