利用极坐标计算二重积分.pdf

高等数学解题指导怎样在极坐标下计算二重积分怎样在极坐标下计算二重积分在计算二重积分的时候，如果用直角坐标不好计算，这是就要考虑换元法.我们经常使用的一种换元，就是在极坐标.常见的情况是被积函数用极坐标表示比较简单，比如函数形为f(x+y)或f()；再者就是积分区域是圆域或者圆的一部分.下面我们通过一个例子了解极坐标下怎么计算二重积分.22xy例题.计算x+ydxd y,其中D:x2+y21,x+y 1.22x+yD1）画出积分区域图(见图一,千万不要画错或者选错了积分区域！).2)确定积分顺序.理论上可以有两个顺序选择,但实际上我=们习惯于先r后积分.所以不妨先把积分写成如下形式:x+ydxd y22x+yDrcos+rsinrdrd2rD图一(cos+sin)d rdD(cos+sin)ddr.这样就把二重积分写成了一个极坐标系的二次积分，积分限待定.需要强调的是,将直角坐标换成极坐标时候,被积函数里多出一个r(很容易给漏掉啊！).3)确定积分限.首先确定的范围.可以想像一个守夜人,保护一批重要物资.这个守夜人在原点处高塔里,而物资在积分区域处(见图二).每隔一段时间,他就要用探照灯把高塔周围扫描一遍,也就是扫描一周.后来他发现也许不用那么辛苦,只需扫描物资所在的那个小区域也是可以的.好,我们看看他是怎么扫描的:逆时针旋转探照灯,当灯光刚刚接触区域边界时(不管是和区域边界重合,还是相切,抑或是相交),记下此时光线与x正向的夹角-积分下限.继续旋转探照灯,当灯光要离开这个区域时(可能与区域边界重合、相切或者相交)，记下光线与x正向的夹角-积分上限.以后他就在这条线之间，来回扫射就可以了.回到本题，可以看出的下限是0,上限是图二2.所以就有x+ydxd y=22x+yD20(cos+sin)ddr.高等数学解题指导=还有r的积分限要确定.让我们的守夜人出场,继续看看他的扫描.打开探照灯,对着区域.固定一束光线,假设光线与x正向的夹角是(见图三).光线穿过区域,自然在该区域留下痕迹-一段连续光线(图中两个红点之间的线段),标明起点和终点.很明显起点在曲线x+y=1上,将xrcos,yrsin代入,就有rcos+rsin=1,解出r=11,这里就cos+sincos+sin22是r的 积 分 下 限;终 点 在 曲 线x+y=1上,依 然 将图三xrcos,yrsin代入,得r2=1,即r=1,这里的1就是r的积分上限.所以1=x+ydxd y=22x+yD20(cos+sin)d1cos+sindr.下面先对r积分,其结果与前一个积分里本来就有的函数乘在一起,只要把这个被积函数积出来就好了.x+ydxd y=22=x+yD20(cos+sin)d11cos+sindr20(cos+sin)(11)dcos+sin=22(cos+sin1)d=02.到这里我们就把这个问题解决了.总结一下极坐标计算二重积分方法步骤:1)画出积分区域图;2)把二重积分写成df(rcos,rsin)rdr形式;3)确定的积分限.站在原点，用探照灯逆时针旋转着照射积分区域，能照到而且刚好照完区域时的范围，相应的可以写成上下限；4)确定r的积分限.从原点出发引一条射线穿过积分区域,那么射线就会被区域截下一条线段.把这条线段的起点应该在积分区域的边界上,写出边界的的方程,如果是直角坐标形式,就将xrcos,yrsin代入,并整理成r=()的样子,这个()就是r的下限;类似的线段的终点所在的边界线也极坐标表示为r=()，高等数学解题指导这里()就是r的上限;5)求解二次积分d()()f(rcos,rsin)rdr.大家可以通过一下几个题目体会一下.请将以下二重积分下的二次积分的形式,其中积分区域D如下图所示:1)3)参考答案:1)f(x,y)d xd y化成极坐标D2)4)20df(rcos,rsin)rdr;012)40dsec2csc0f(rcos,rsin)rdr;3)3434d2sincscf(rcos,rsin)rdr;4)4arctan14d2sec1sincosf(rcos,rsin)rdr.注：图中的红色箭头与小圈只是为了方便确定 r 的积分限所作，没有其他含义.