第二章正交投影简介.pdf
正交投影是空间中的一个向量在某一方向上的投影。它是指将一个向量沿着某个给定的方向投影到另一个垂直于该方向的平面上的过程。这种方式所获得的“影子”，可以用来描述原向量相对于特定方向的大小和位置。正交投影通常有两种情况：第一种情况是在二维平面上进行，即将一个向量沿着一条线投影到与该线垂直的另一条线上；第二种情况是在三维空间中进行，即将一个向量沿着一个坐标轴投影到与该轴垂直的平面上。在计算机图形学中，正交投影是非常重要的概念之一。在三维场景中，人们通常需要将场景投射到一个平面上以生成二维图像，如电影、游戏和虚拟现实等。而正交投影就是其中的一种投影方式，通过正交投影，我们可以将一个三维模型简化为二维表示，便于在屏幕上显示和操作。总之，正交投影是将一个向量沿某个方向投影到另一个垂直于该方向的平面上的过程。它不仅是数学中的基础概念，也是计算机图形学等应用领域中的重要技术。正交投影简介正交投影简介正交投影田军摘要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆施密特方法在理论上给出证明。其次是利用低等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵Orthogonal projectionTian Jun(College of mathematics and computer science,Jishou University,Jishou Hunan 416000)Abstract:In order to apply the theorem proving approach,first Gram-Schmidt method of proof is given in theory.Secondly,the use of low-mathdemand-based rather than thinking to the solution of advanced mathematics.Sincethe introduction of a matrix of higher mathematics concepts,consider the matrixmethod to solve it.Key words:orthogonal;unit orthogonal basis;projection;matrix引言:在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。那么首先就应该对定理进行证明，在理论上作必要的准备！例 1.1,在标准欧几里得空间 V=R 中有向量=（1，-1，-1，1）2=（1，-1，0，1）3=(1,-1,0,1)线性空间 W=L(1,2,)求向量=（2，4，1，2）在 W上的正交投影。解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。该方法涉及到格拉姆施密特正交化。因而首先对格拉姆施密特正交化在理论上给予证明。先考虑在三维空间 V1中一组线性无关的向量，则令11再将2在1上的投影向量记为 R12取：22R122k1则21（如下图所示）有内积得相关知识可得 k12=(2,1)(1,1)由于3与1,2共面，因此3与1,2也共面。因而3在12平面的投影向量维 R3,则：R3(3)1(3)2=R13+R23 k131 k232,其中k1331,k2323,取122233 R33k131k232则31,23再将1,2,3分别单位化为r1,r2,r3,即得到一组正交单位向量r1,r2,r3,它与向量组1,2,3是等价的。即在三维空间中存在一组单位正交基与1,2,3等价，那么对于1,2,3.n，这组线性无关的向量组是否存在正交向量组1,2n与它是否等价呢？令11显然1与1等价，再令22 k122为保证1,2正交即（1,2）=0则可得到：k12(2,1)1,1也就是说取22(2,2)时。1,1)显然有1,2与1,2等价。再令33 k131 k232由3,23,1 0可得k13 3,11,1,k23 3,12,2故33(3,1)(,)1322并且1,2,3与1,2,3也等价。(1,1)(2,2)继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量1,2t满足条件。使得（其中 S=1,2,3t)1,2s与1,2s等价。t1t1 k1,t11kt,t1t,为使t1与1,2t均正交。对格拉姆施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解就不难了！有观察可知1(1,1,1,1)3(1,1,1,02(1,1,0,1)是线形无关的故将其正交化可得：n1136(1,1,1,1)n2(1,1,3,1)n3(1,1,0,2)向量266在 W 上的正交投影是：pw()(1,1,1,2)第二种方法：我们要利用正交投影的定义将进行分解，12其中1w12w2，令1 x11 x22 x33则21(x11 x22 x33）=（2-x1 x2 x3，4+x1 x2 x3，1+x1 x3，2 x1 x2）由于2 w故2i（i 1,2,3)由此可得方程组：4x13x2 x313x13x2 2x3 0 x 2x 3x 0231解之可得：x1 4x2 6x3 3代入式可得：pw()1 416233该方法的主要特点是间接的求1，因为1的向量坐标已知故利用1的坐标可将2的坐标表示出来。再利用2i(i 1,2,3)进行求解，这种设而不求得方法在初等数学中是非常常见的。其最基本的思想方法在高等数学中仍然实用。在第一册教材中，我们已学过矩阵的知识。那么这道题能不能用矩阵的知识进行求解呢？显然能够应用！设12其中1w,2 w因此令，1 x11 x22 x33以1,2,3作为列向量得到矩阵A (1,2,3)以中线性表示的系数作为列矩阵 X 这样有：111 2 x11114B X x2A 1011x 31102 则有：AX 121 AX由于内积（i,2)表示的矩阵形式就是：i2.故2i(i 1,2,3)表示的矩阵形式就是：1210 22 22(1,2,3)(AX)323则有AB AAX即14310332X1123解之得：X 4,6,3于是 111 1411111 AX 6101131102事实上用矩阵求解只是单纯的引入了矩阵这个运算工具而已，其最根本的原理与方法二雷同，只是使计算更具可能性，目的性，比方法二的计算更加简明，在具体的计算操作性上较方法二要强。对于正交投影这类问题计算一般都较复杂，因此在计算时，要根据基向量的个数选择恰当的方法，一般情况下选择定义法为宜。参考文献：1陈志杰.高等代数与解析几何M北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001.2 ISBN 978-7-04-009570-82北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.三版.北京：高等教育出版社，2003.93高等代数.M武汉大学出版社；2009
