电大工程数学形成性考核册答案1-.pdf

工程数学作业（一）答案（满分 100 分）第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题2 分，共 20 分）a1设b1a2b2a1a3b3 2，则2a1 3b1a22a2 3b2a32a3 3b3（D）c1c2c3c1c2c3A.4B.4C.6D.60001若00a00200 1，则a（A）100aA.12B.1C.12D.1乘积矩阵1312410521中元素c23（C）A.1B.7C.10D.8设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）A.A B1 A1 B1B.(AB)1 BA1C.(A B)1 A1 B1D.(AB)1 A1B1设A,B均为n阶方阵，k 0且k 1，则下列等式正确的是（DA.A B A BB.AB n A BC.kA k AD.kA (k)nA下列结论正确的是（A）A.若A是正交矩阵，则A1也是正交矩阵B.若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵C.若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵D.若A,B均为n阶非零矩阵，则AB 0矩阵3125的伴随矩阵为（C）A.3 125B.1325）53C.D.2153 21方阵A可逆的充分必要条件是（B）A.A 0B.A 0C.A*0D.A*0设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB)A.(B)11（D）1A1C1B.BC1A11111C.A C(B)D.(B)CA1设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）A.(A B)A 2AB BB.(A B)B BA BC.(2ABC)12222 2C1B1A1D.(2ABC)2CBA（二）填空题（每小题2 分，共 20 分）211401100 7110111x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2115若A为34矩阵，B为25矩阵，切乘积ACB有意义，则C为54矩阵1115二阶矩阵A 0101 12120设A 40,B，则(A B)31434063518设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则2AB 7212设A,B均为 3 阶矩阵，且A 1,B 3，则3(AB)3若A 1a为正交矩阵，则a 001212矩阵402的秩为2033A1设A1,A2是两个可逆矩阵，则O（三）解答题（每小题8 分，共 48 分）设A O A21A11OO1A2 121154，求A B；AC；2A3C；,B,C 354331A5B；AB；(AB)C171603662A 3C A C 答案：答案：A B 3718042622 77 5621A 5B AB(AB)C 231215180120114121103321，求AC BC,B,C 设A 211012002114024 6 410解解：AC BC(A B)C 3 21 2210201 002 310 102已知A 121,B 111，求满足方程3A2X B中的X342211解解：3A2X B3412 83 2115X(3A B)252 11 22271157115222写出 4 阶行列式1103024325110630中元素a41,a42的代数余子式，并求其值020120答案答案：a41(1)41436 0a42(1)42136 45253053用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：234 0122 123121000212；221 1111；110101026111111解：（11221002210020 21A|I21 2 0102r r1 3 6 2103r2r112r11r232r2r30 3 6 322 2100010 6 3 201009213r212122 110 2330r9923r1100 99r30122102r3r2001301021223210019999992921 99122 9 A19219299219 929922 6 2617 1000（2）A11752013110(过程略)(3)A101021 0110415300111011011求矩阵11011001012101的秩2113201解解）23010 21：11120 11011r r1120r1r31011002r r4100 1210 111320 101011011 0 11 0 11 1r3r40001110 00000001 1011 0111r r240001110 11 12210011011 11 0 11 1001110 00111001101R(A)3（四）证明题（每小题4 分，共 12 分）对任意方阵A，试证A A是对称矩阵证明：证明：(A A)A(A)AA A AA A是对称矩阵若A是n阶方阵，且AA I，试证A 1或1证明证明：A是n阶方阵，且AA IAA A A A I 12A 1或A 1若A是正交矩阵，试证A也是正交矩阵证明：证明：A是正交矩阵A1 A(A)1(A1)1 A (A)即A是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分 100 分)第 3 章线性方程组（一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分)x1 2x2 4x3 1x1为（C）x2 x3 0的解x用消元法得2 x3 2x3A.1,0,2B.7,2,2C.11,2,2D.11,2,2x1 2x2 3x3 2线性方程组x1 x3 6（B）3x 3x 423A.有无穷多解B.有唯一解C.无解D.只有零解1 0 0 1 3 向量组0,1,0,2,0的秩为（A）00114A.3B.2C.4D.510111001设向量组为1,2,3,4，则（B）是极大无关组0111 010 1A.1,2B.1,2,3C.1,2,4D.1A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）A.秩(A)秩(A)B.秩(A)秩(A)C.秩(A)秩(A)D.秩(A)秩(A)1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）A.可能无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无解以下结论正确的是（D）A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D.齐次线性方程组一定有解若向量组1,2,s线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出A.至少有一个向量B.没有一个向量C.至多有一个向量D.任何一个向量9 设 A，为n阶矩阵，既是又是的特征值，x既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是 AB 的特征值是 A+B 的特征值是 AB 的特征值x是 A+B 的属于的特征向量10设，为n阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似AB BA(AB)ABPAP1 BPAP B（二）填空题(每小题 2 分，共 16 分)x1 x2 0当 时，齐次线性方程组有非零解x x 021向量组10,0,0,21,1,1线性 相关向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是设齐次线性方程组1x12x23x3 0的系数行列式123 0，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量1,2,3是线性 相关的向量组11,0,20,1,30,0的极大线性无关组是1,2向量组1,2,s的秩与矩阵1,2,s的秩相同设线性方程组AX 0中有 5 个未知量，且秩(A)3，则其基础解系中线性无关的解向量有个设线性方程组AX b有解，X0是它的一个特解，且AX 0的基础解系为X1,X2，则AX b的通解为X0 k1X1 k2X29若是的特征值，则是方程I A 0的根10若矩阵满足A1 A，则称为正交矩阵（三）解答题(第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分)1用消元法解线性方程组x1 3x2 2x3 x43x 8x x 5x12342x1 x2 4x3 x4 x1 4x2 x3 3x4解解 6 0 12 2：13216 3r r13216 3r r1122138102r1r35r2r350017818r rr r1414A 21411205810 0141320134804817818027399001012260192310003r4r31 r420 19100735 48110 r38183 0312 6130230 1923 4819r r13107r3r2178185r r43 00114 05613000421241015 460114001133110r411 00004212442r r141015r4r21015 46r4r3 00114001302 x1 21001方程组解为x2 10101 x3 10013x4 3000设有线性方程组11x 1 11y 2 11z 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?112r r11111 12rr1r31r3A 11 110112111011211解：解：1122r3r 011(1)200(2)(1)(1)(1)当1且 2时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解当1时，R(A)R(A)1，方程组有无穷多解判断向量能否由向量组1,2,3线性表出，若能，写出一种表出方式其中2213 8 2 3 53756,1,2,3 7 1 0 3 10321解解：向量能否由向量组1,2,3线性表出，当且仅当方程组1x12x23x3有解 2358 175 630这里A 1,2,3,10037 3 21100R(A)R(A)方程组无解不能由向量1,2,3线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关713410101170057103 1 3 111739 1 2,2 8,3 0,4 6 393341336311 111 7390解解：1,2,3,4 2 0806 39330413360该向量组线性相关求齐次线性方程组31100010001 21800 x1 3x2 x3 2x4 05x x 2x 3x 01234 x111x2 2x35x4 0 4x4 03x15x2的一个基础解系解：解：131 25r r1311251 23r1r301433r r41A1112501435043014311r214r3r40000100514314001 12113r30230000100514314005 23r2r1101414r2r3 7r2r40143 7000100001 1r r12213112r3r2 02100001005143140012 70 3001055 x x31141433方程组的一般解为x2x3令x31，得基础解系14140 x4 01求下列线性方程组的全部解x15x2 2x33x x 4x123 x1 9x25x1 3x2 6x3解解 3x4 11 2x4 5 4x4 17 x4 1：1523113r r1521231425r1r301425r r41A 1 90417014253611028411r214 000971170000012120011 5r2r11014r2r37282r2r4 014728 001456003911722728000 000171x x x411392 2方程组一般解为x 1x 1x 20234720令x3 k1，x4 k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解177 1 k k211x192 1 92x111 212k1k2 2 k k21x3 72 7 2 0 k110 x4010k2试证：任一维向量a1,a2,a3,a4都可由向量组111101111，2，3，4 1001 1000线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式10000100证明：证明：1 21 32 43 1000 000 1 任一维向量可唯一表示为a11000a01002 a1 a2 a3 a4 a11 a2(21)a3(32)a4(43)a30010 a000 14(a1 a2)1(a2 a3)2(a3 a4)3 a44试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：证明：设AX B为含n个未知量的线性方程组该方程组有解，即R(A)R(A)n从而AX B有唯一解当且仅当R(A)n而相应齐次线性方程组AX 0只有零解的充分必要条件是R(A)nAX B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX 0只有零解19设是可逆矩阵的特征值，且0，试证：是矩阵A1的特征值证明：证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使AI(A1A)A1(A)A1()A1A1即11是矩阵A1的特征值2222 x2 x3 x4 2x1x2 2x2x4 2x2x3 2x3x4化为标准10 用配方法将二次型f x1型解：解：2222f(x1x2)2x3x42x2x42x2x32x3x4(x1x2)2x32x3(x2x4)x42x2x42(x1 x2)2(x3 x2 x4)2 x2令y1 x1 x2，y2 x3 x2 x4，y3 x2，x4 y4x1 y1 y3x2 y3即x y y y2343x4 y4222 y2 y3则将二次型化为标准型f y1工程数学作业（第三次）(满分 100 分)第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题A,B为两个事件，则（B）成立A.(A B)B AB.(A B)B AC.(A B)B AD.(A B)B A如果（C）成立，则事件A与B互为对立事件A.AB B.AB UC.AB 且AB UD.A与B互为对立事件10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（D）A.C10 0.7 0.3B.03.C.0.720.3D.30.720.3324.对于事件A,B，命题（C）是正确的A.如果A,B互不相容，则A,B互不相容B.如果A B，则A BC.如果A,B对立，则A,B对立D.如果A,B相容，则A,B相容某随机试验的成功率为p(0 p 1),则在 3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（D）A.(1 p)3B.1 p3C.3(1 p)D.(1 p)3 p(1 p)2 p2(1 p)6.设随机变量X B(n,p)，且E(X)4.8,D(X)0.96，则参数n与p分别是（A）A.6,0.8B.8,0.6C.12,0.4D.14,0.27.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a,b(a b)，E(X)（A）A.C.bxf(x)dxB.baxf(x)dxf(x)dxaf(x)dxD.8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）3sinx,x sinx,0 x A.f(x)22B.f(x)2其它其它0,0,3sinx,0 x sinx,0 x C.f(x)2D.f(x)0,其它其它0,9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a X b)（D）A.F(a)F(b)B.C.f(a)f(b)D.babF(x)dxf(x)dx2a10.设X为随机变量，E(X),D(X)，当（C）时，有E(Y)0,D(Y)1A.Y X B.Y X C.Y X D.Y X 2（二）填空题从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为252.已知P(A)0.3,P(B)05.，则当事件A,B互不相容时，P(A B)0.8，P(AB)0.33.A,B为两个事件，且B A，则P(A B)PA4.已知P(AB)P(AB),P(A)p，则P(B)1 P5.若事件A,B相互独立，且P(A)p,P(B)q，则P(A B)p q pq6.已知P(A)0.3,P(B)05.，则当事件A,B相互独立时，P(A B)0.65，P(A B)0.3x 0 07.设随机变量X U(0,1)，则X的分布函数F(x)x0 x 11x 18.若X B(20,0.3)，则E(X)629.若X N(,)，则P(X 3)2(3)10.E(X E(X)(Y E(Y)称为二维随机变量(X,Y)的 协方差（三）解答题1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件：A,B,C中至少有一个发生；A,B,C中只有一个发生；A,B,C中至多有一个发生；A,B,C中至少有两个发生；A,B,C中不多于两个发生；A,B,C中只有C发生解解:(1)A B C(2)ABC ABC ABC(3)ABC ABC ABC ABC(4)AB AC BC(5)A B C(6)ABC2.袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取2 个球，求下列事件的概率：2 球恰好同色；2 球中至少有 1 红球解解:设A=“2 球恰好同色”，B=“2 球中至少有 1 红球”P(A)22C3 C22C5112C3C2 C33126 39P(B)21051010C53.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解：解：设Ai“第 i 道工序出正品”（i=1,2）P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)(1 0.02)(1 0.03)0.95064.市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率解：解：设A1产品由甲厂生产A2产品由乙厂生产A3产品由丙厂生产B 产品合格P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.50.9 0.30.85 0.20.800.8655.某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是p，求所需设计次数X的概率分布解：解：P(X 1)PP(X 2)(1 P)PP(X 3)(1 P)2PP(X k)(1 P)k1P故 X 的概率分布是23k1p(1 p)p(1 p)2p(1 p)k1p6.设随机变量X的概率分布为123456 001.015.0.20.3012.01.0.03试求P(X 4),P(2 X 5),P(X 3)解：解：P(X 4)P(X 0)P(X 1)P(X 2)P(X 3)P(X 4)0.10.150.20.30.120.87P(2 X 5)P(X 2)P(X 3)P(X 4)P(X 5)0.2 0.3 0.12 0.1 0.72P(X 3)1 P(X 3)1 0.3 0.77.设随机变量X具有概率密度2x,0 x 1f(x)其它0,试求P(X 11),P(X 2)241解：解：P(X)212f(x)dx 1202xdx 12x20141P(X 2)4214f(x)dx 1142xdx x2 11415162x,0 x 18.设X f(x)，求E(X),D(X)其它0,解：解：E(X)2xf(x)dx x2xdx 0123x3102324 11x0042121D(X)E(X2)E(x)2()22318E(X)x f(x)dx 21x22xdx 9.设X N(1,0.62)，计算P(0.2 X 18.)；P(X 0)解：解：P(0.2X 1.8)P(1.33P(X 0)P(X 11.33)(1.33)(1.33)2(1.33)120.908210.81640.2X 11.67)1(1.67)1 0.9525 0.04750.6210.设X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量，已知E(X1),D(X1)，设1nX Xi，求E(X),D(X)ni11解：解：E(X)E(ni1nXi)11E(X1 X2 Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)nn1nnn1D(X)D(ni1Xi)1n2D(X1 X2 Xn)1n2D(X1)D(X2)D(Xn)1122nnn2工程数学作业（第四次）第 6 章统计推断（一）单项选择题2设x1,x2,xn是来自正态总体N(,)（,均未知）的样本，则（A）是统计2量A.x1B.x1C.x1222D.x12设x1,x2,x3是来自正态总体N(,)（,均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计A.maxx1,x2,x3B.1(x1 x2)2C.2x1 x2D.x1 x2 x3（二）填空题1统计量就是 不含未知参数的样本函数2 参数估计的两种方法是点估计和区间估计 常用的参数点估计有矩估计法和 最大似然估计两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性24设x1,x2,xn是来自正态总体N(,)（已知）的样本值，按给定的显著性2水平检验H0:0;H1:0，需选取统计量U x 0/n5假设检验中的显著性水平为事件|x 0|u（u 为临界值）发生的概率（三）解答题1设对总体X得到一个容量为 10 的样本值4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0试分别计算样本均值x和样本方差s21101x 36 3.6解：x i10i1101101(xi x)225.9 2.878s101i1922设总体X的概率密度函数为(1)x,0 x 1f(x;)其它0,试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数解：提示教材第 214 页例 311n2x 1 x xi,矩估计：E(X)x(1)x dx 02ni11 x1最大似然估计：L(x1,x2,xn;)(1)xi(1)n(x1x2xn)i1nnd ln Lnln L nln(1)ln xi,ln xi 0，d1i1i1nnln xi1n1i3测两点之间的直线距离5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5109.0110.0110.5112.022测量值可以认为是服从正态分布N(,)的，求与的估计值并在 2.5；22未知的情况下，分别求的置信度为 0.95 的置信区间151522 x xi110 s解：(xi x)1.8755i151i1（1）当 2 2.5时，由 10.95，()12 0.975查表得：1.96故所求置信区间为：x n2,x n 108.6,111.4（2）当未知时，用s替代，查 t(4,0.05)，得故所求置信区间为：x 22 2.776sn,x 2sn 108.3,111.74 设某产品的性能指标服从正态分布N(,)，从历史资料已知 4，抽查 10 个样品，求得均值为 17，取显著性水平 005.，问原假设H0:20是否成立解：|U|x 0/n|17 204/10|3 0.237，43.162由()12 0.975，查表得：1.96因为|U|0.237 1.96，所以拒绝H05某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（005.）2解：由已知条件可求得：x 20.0125s 0.0671|T|x 0s/n|20.0125 200.259/8|0.035 0.13650.259 t(n 1,0.05)t(9,0.05)2.62|T|2.62 接受 H0