基于五区图的电压无功综合控制论文.doc

论文基于五区图的电压无功综合控制申请人：xi维云学科（专业）：电力系统及其自动化指导教师：陈国联2010年8月31网络教育学院毕 业 设 计 (论 文) 任 务 书专业班级 0809电力系统及其自动化 层次 本科 姓名 xi维云 学号 08117443010008 一、毕业设计（论文）题目 基于五区图的电压无功综合控制 二、毕业设计（论文）工作自2010年6月1日起至 2010 年 10 月11日止三、毕业设计（论文）基本要求： 指导教师： 网络教育学院毕业设计(论文)考核评议书指导教师评语：建议成绩： 指导教师签名： 年 月 日答辩小组意见：负责人签名 年 月 日答辩小组成员 毕业设计（论文）答辩委员会意见： 负责人签名： 年 月 日目 录论文题目：基于五区图的电压无功综合控制学科（专业）：电力系统及其自动化申请人：xi维云指导教师：陈国联摘要电压是衡量电能质量的一项重要指标，关系到电网的安全稳定运行。电压与无功关系密切，无功功率是影响电压质量的重要因素，而且无功功率也是产生电网功率损耗的重要原因，因此实现无功功率的分层、分区、就地平衡是降低电网损耗、保持电压合格的重要手段。变电站电压无功综合控制就是利用变电站中的有载调压变压器和并联补偿电容器，进行局部的电压及无功补偿的自动调节，以保证负荷侧母线电压在规定范围内（允许的波动范围为）及母线侧功率因数尽可能接近1。本文在操作模型、控制边界、动作启动区，控制盲区等方面对“五区图”进行了讨论和改进。本文从几何作图的角度出发，直接根据操作矢量模型确定控制边界，将“五区图”控制原理与传统“九区图”控制理论的控制策略进行了比较，控制效果得到进一步改善。关键词：电压无功综合控制；九区图；五区图；动作矢量；操作距离论文类型：理论研究Title: based on five zone paper graph voltage reactive-power integrated controlSpeciality:power system and its automationApplicant:Xi Wei YunSupervisor:ChenGuoLianABSTRACTVoltage electricity quality is an important index, in relation to the safe and stable operation of the grid. Voltage and reactive power relation, reactive power is an important factor of affect the quality of voltage and reactive power grid power loss is produced, therefore, is the important reason of reactive power balance layer, division, is to reduce the loss of grid spot, keeping voltage qualified.Voltage reactive-power integrated control is the use of transformer on-load regulating transformator and parallel compensation capacitor, local voltage and reactive power compensation, to ensure that the automatic adjust load side in the specified scope of busbar voltage fluctuation range (allow) and power factor of busbar side as close as possible.In this paper, the control model, the start area, border control aspects of "five blind area chart" are discussed and improved. From the Angle of geometric vector model according to the operation, control the border, will determine the "five zone", control principle and traditional "9" zone of control theory, the control strategy of the control effect is improved.Keywords: voltage reactive-power integrated control, Nine area; Five area; Action vector; distanceTYPE OF THESIS: Theoretical studies目 录1 绪论11.1 选题的背景与意义11.2 目前存在问题11.3 本文的主要工作12 电压无功综合控制及其九区图控制方法32.1 电压与无功的关系32.2 电压无功综合控制策略的发展42.2.1 单一控制功能的控制策略42.2.2 综合控制功能的功能策略42.3 九区图的控制基本原理52.4 九区图综合控制存在的主要问题62.5 九区图的改进72.6 小 结123 五区图控制方法133.1 五区图控制原理简介133.2 控制边界的分析153.3 操作矢量模型的改进183.4 “五区图”模型的重要问题203.4.1 动作启动区203.4.2 盲区判断与处理213.4.3 参数定值整定规范234 九区图与五区图的对比分析244.1 以“九区图”作为比较对象244.2 与九区图原理的比较分析245 结论与展望265.1 论文完成的主要工作和结论26致 谢29参考文献30CONTENTSCONTENTS1 introduction11.1 The background and significance11.2 The current problems11.3 This article mainly12 Voltage reactive-power integrated control and its control method of nine area32.1 Voltage and reactive power relations32.2 Voltage reactive-power integrated control strategy of development42.2.1 A single control functions of control strategy42.2.2 Comprehensive control function of the function42.3 Nine area chart of control principle52.4 Nine area chart the main problems existing in the comprehensive control62.5 The improvement in figure72.6 Small and123 Five zone diagram control method133.1 Five zone diagram control principle133.2 Control of the border153.3 Operation of vector model183.4 "Five area chart" model of important issues203.4.1 Actions start zone203.4.2 Blind. Judge213.4.3 Parameter setting value setting standard234 Nine area chart with five areas of analysis244.1 "Nine" compare object as area244.2 With nine maps of the principle of comparative analysis245 Conclusion with the prospect265.1 The paper mainly complete work and conclusion26Acknowledgements29References305 结论与展望1 绪论1.1 选题的背景与意义随着对供电质量和可靠性要求的提高,电压成为衡量电能质量的一个重要指标。保证用户处的电压接近额定值,成为电力系统运行控制的基本任务。电力系统的运行电压水平取决于系统无功功率的平衡,维持电网正常运行下的无功功率平衡是改善和提高电压质量的基本条件1。目前,全国很多110 kV及以上变电站都装设有载调压变压器和并联电容器组,通过合理的调节变压器分接头和投切电容器组,就能很大程度的改善变电站的电压质量,同时实现无功潮流合理平衡。但由于电网中各变电站自动化水平不同,进行全局性的电压无功控制短时间内还难以顺利实施。当前以变电站为单位的就地调压和无功补偿方案以其原理简单、实现可靠的优点得到广泛应用1.2 目前存在问题传统的电压无功控制领域广泛采用基于九区图的经典控制理论，该理论简单，直观。但也存在以下问题：1） 用于用于运算分析的信息具有随机性、分散性的特点，造成了控制决策的盲目性和不确定性，实际表现为装置调节频繁；2） 控制策略是基于固定的电压无功上下限而未考虑无功调节对电压的影响及其相互协调关系，造成控制振荡、频繁动作问题2；1.3 本文的主要工作变电站电压无功综合控制（VQC）的基本原则是在保证电压合格，无功基本平衡的前提下尽量减少调节次数。电压无功综合控制策略应综合考虑变压器分接头和电容器组调节过程中系统电压无功的变化趋势以及引起的负荷大小、网络损耗、电容器无功出力的变化，只有这样才能满足控制要求，更好的改善控制效果。本文在通过对“五区图”电压无功综合控制原理的分析基础上，对“五区图”的控制策略进行了全面研究，主要工作如下：1）回顾了变电站电压无功综合控制策略发展完善的过程，分析了不同控制策略的优缺点，指出了传统控制策略存在的主要问题。2）在控制模型、控制边界、控制盲区、动作启动区等方面对“五区图”进行了更深入的讨论，并且在本文从几何作图的角度出发，逆向分析，提出了一种直观简单可靠的方法。根据操作矢量模型确定控制边界的方法与传统“九区图”控制理论的控制效果进行了比较，控制策略和控制效果更加完善。3）在对“五区图”原理进行深入分析和研究“面向操作”的控制思想，通过进行操作优劣距离比较，选择最优操作动作执行，形成了以操作优劣距离为判据，面向VQC装置实际操作动作的变电站电压无功控制策略。研究表明“五区图”电压无功综合控制原理的控制效果比“九区图”有了很大的提高，在一定程度上初步解决了“九区图”原理存在的一些问题，该控制原理不是对“九区图”控制原理的简单补充改进，而是一种全新的基于动作效果预算，以操作优劣距离为判据，面向VQC装置实际操作动作的电压无功综合控制原理，未来具有非常广阔的应用前景。2 电压无功综合控制及其九区图控制方法2.1 电压与无功的关系电压是衡量电能质量的一项重要指标，保证电压质量合格，是电力系统安全优质供电的重要条件。无功是影响电压质量的重要因素，同时保证电压质量合格的重要手段。超过允许范围的电压偏移将对用电设备和电力系统带来不良的影响，主要有：1）电压过低会导致电网损耗增加，甚至有可能引起电力系统电压崩溃；2）电压过高超过了电网中设备的耐受极限，对设备的绝缘部分造成破坏，从而影响系统安全稳定运行；3） 减少用电设备的使用寿命，降低用电设备的使用效率，会影响用电设备的工作性能。无功对电压的影响，主要反映在以下三个方面：1）无功电流在电网中流动，产生电压降，导致电网损耗的增加，产生电压的偏移；2）无功不平衡，将导致电压偏移。根据电压负荷的静态特性，当一个区域无功过剩时，电压将升高。无功不足时，电压将降低。电压升高和降低的数值由代表该地区的综合负荷的电压静态特性来确定；无功负荷变化时，电压降也随之变化。无功负荷变化愈大，电压变化也愈大。负荷端单位无功负荷变化引起的电压变化与单位有功负荷变化引起的电压变化之比，等于负荷端短路容量与负荷之比，可见无功负荷的变化比有功负荷的变化对负荷端的电压的影响大，起着主导作用3。因此实现无功的分区、分层、就地平衡是降低网损、保持电压合格的重要手段。为此，各级变电站担当着电压和无功调节的重要任务。在变电站中利用有载调压变压器和并联补偿电容器进行局部的电压及无功补偿的自动调节，以保证负荷侧母线电压在规定范围内及母线侧功率因数尽可能接近1，称为变电站电压无功综合控制（VQC）4。2.2 电压无功综合控制策略的发展变电站电压无功综合控制（VQC）已成为保证电压合格和无功平衡，提高电网运行的可靠性和经济性必不可少的措施。变电站电压无功综合控制的基本原则是保证电压合格，无功基本平衡，尽量减少调节次数3。因此，合理的、完善的控制策略对于控制效果的精确性，控制过程的经济性，具有决定性的意义。可以说，控制策略是电压无功综合控制的核心部分。从控制理论的角度分析，变电站电压无功综合控制是一个多限值，多目标的最优控制问题。从控制手段上讲，主要是调节变压器的分接头和投切电容器组，调节变压器分接头和投切电容器与电压无功之间耦合关系比较复杂，而控制策略实际就是指如何协调它们二者之间的动作，从而实现该变电站的电压、无功控制目标。控制策略经过了一个不断发展完善的过程，以往的变电站电压无功综合控制装置采取的控制策略大致分为以下几种：2.2.1 单一控制功能的控制策略1）按电压控制在对电压要求严格的一些枢纽变电站，仅以电压高低作为判据，并未考虑保持无功基本平衡，则无功补偿效果较差。2）按功率因数控制为满足用户对功率因数的要求，早期电压无功控制策略通常采用功率因数补偿法。仅以电网中电压与无功相位差的功率因数为调节判据所构成的无功调节装置，不能准确的反映电网中负荷的无功分量，在某些负荷状态下，如电网轻载时存在投切振荡的缺陷，会造成控制系统的频繁动作，不仅影响VQC装置的可靠性和使用寿命，同时也影响了电网和用户设备的安全稳定运行。2.2.2 综合控制功能的功能策略1）按电压、时间复合控制根据变电站的日负荷运行曲线，可以将负荷曲线划分成多个负荷时段，根据各个负荷时段对电压、无功的要求，通过控制电压实现对电压无功的自动调节。该调节方式实时性差，仅适合负荷比较稳定的变电站，且必须随季节和负荷量的改变对各时段电压、无功限值进行调节。2）按电压、功率因数复合控制按电压、功率因数复合控制构成的判据有两种判别方式：一是以电压为主，功率因数为辅，这种判别方式同样存在无功补偿效果差的问题；另一种是电压和功率因数作为两个并行判据，即使电压在合格范围内，如果功率因数满足投切条件，则发出投切电容器组指令，该方式因功率因数并不能真正反映无功，因此一些负荷状态下存在并联补偿电容器频繁投切的现象。3）按电压、无功综合控制利用电压和无功构成综合判据，按照电压上、下限和无功上、下限将运行区域划分为九个区，形成了目前应用最广泛的“九区图”控制理论5。2.3 九区图的控制基本原理九区图是最早被应用到VQC的一种控制策略。基于“井”字形的典型九区图策略，它是通过实时监测变压器低压侧母线电压和变压器高压侧无功功率（或功率因数），并以此作为控制状态量，根据其工作点在各运行区间的对应逻辑关系，得出调节分接头和投切电容器的控制指令。“九区图”理论一直是电压无功控制领域的经典的控制理论，也是电压无功综合控制的基本方法。它是根据变电站当前的运行方式，利用实时监测的电压和无功2个量构成的变电站电压无功综合控制策略。九区图是以工作点是否处于最优控制区为启动控制判据的无功优化调控策略；但也存在运算分析的信息具有分散性和随机性的问题，实际表现为控制设备频繁调节。目前经常采用的传统九区图法，其控制策略是按照固定的电压和无功（或变电站进线端功率因数）上下限将电压无功平面分为9个区域。U是变压器低压侧母线电压，Q是变压器高压侧无功功率（见图1.1）。Q越下限（功率因数超前）表示变电站向电网到送无功，Q越上限（功率因数滞后）表示电网无功不足，Q上下限之差至少图2.1 传统九区图示意图应大于1组电容器容量。有载调压变压器和并联补偿电容器的基本调节规律是：变压器分接头上调（或下调）后，U变大（或变小），进线功率因数变小(或变大），一般调节分接头对无功的影响不大;投入（或切除）电容器后，Q变小（或变大），U变大（或变小），变大（或变小）1。如图2.1所示，其控制策略如下表1.1所示。表1.1 “九区图”控制策略表序号电压情况无功情况控制对策0合格合格不调整1越上限合格降压2越上限越下限先降压，如无功仍越下限，投电容3合格越下限投电容4越下限越下限先投电容，若电压仍越下限，则升压5越下限合格升压6越下限越上限先升压，若无功仍越上限，切电容7合格越上限切电容8越上限越上限先切电容，若电压仍越上限，则降压2.4 九区图综合控制存在的主要问题目前工程实际中应用最广泛的是传统的“九区图”理论，按照电压上、下限和无功上、下限将运行区域划分为九个区，各个区域对应不同的控制策略，根据实时电压、无功所在的运行区域，采取相应的控制方法。“九区图”的无功调节判据是一个与电压无关的平行于电压坐标轴的固定边界线，而实际运行中无功的调节对电压是有影响的，但在“九区图”中无功的调节的边界与电压状态无关，因此产生一系列问题：1）“九区图”中两类设备动作的先后顺序对控制结果影响较大，如顺序不当会产生频繁动作、投切振荡等现象；2）“九区图”的某些区对于两类设备的控制都起作用时，难于区分哪一类效果更好；3）在“九区图”中只要进入第0区就不会再有调节，可能会造成系统长时间运行在电压、无功或功率因数不合格状态的边缘，而不能做到将系统控制在额定最佳运行状态；4）“九区图”对于控制设备的使用是无限次的，而实际操作中分接头调节和电容器组投切次数是有严格限制的。2.5 九区图的改进电压无功综合控制策略应综合考虑变压器分接头和电容器组调节过程中，所引起的系统电压无功变化趋势以及其它一些相关的变化。近年来，针对以上的一系列问题进行了改进如采用区域图法、模糊边界法等，如文献，虽然在一定程度上改善了控制效果，但实际运行效果仍不太理想。1） 针对传统九区图法对于某些区控制结果产生的振荡现象以及装置频繁动作的缺陷，增加了2-3和6-7这两个区域作为防震区，得到如图所示改进的“九区图”。当运行点位于2-3（或6-7）区域内时，控制策略为下调分接头降压或上调接头升压，南瑞继保RCS-9656型、VQC-型电压无功综合调节装置即采用这种控制策略6。图2.2 改进的九区图 （11区域图法）2） 更为改进的策略是在九区图中再细分8个小区，采用区域图法的控制策略。如图2.3所示。每个区的控制方案可自动整定，也可手动整定，自动整定可按五种方式进行：只考虑电压，只考虑无功，电压优先，无功优先，综合考虑7。图2.3 改进的九区图 （17区域图法）由上所述可以发现，以上控制策略的改进以动作区间的进一步细化为特点，然而这些改进的控制策略存在一个普遍问题是控制为单向控制，认为其设定的限值为恒定值，即未考虑无功调节对电压的影响及其之间相互协调关系，VQC一直使用这些定值，而这些定值与实际值的误差往往会导致装置的误动作或控制振荡。3） 有人对九区图进行更细致的划分，提出了较2.2图更加完善的改进九区图（实质为13区域图法），如图2.4所示，DWZK-型电压无功自动控制装置即采用这种控制策略8。图2.4 改进的九区图 （13区域图法）4） 电压调节边界应该是相对固定的各个负荷时段可不同，无功调节边界应该是一个受电压状态影响且在一定范围内服务于电压调节的一个模糊边界9。图2.5 电压无功模糊调节边界5） 其中对改进九区图的方法中，“采用分时控制原则确定电压上下限”是修改比较完善的。所谓电压分时控制是指按实际日典型负荷曲线，按预测负荷曲线来划分高峰和低谷时段，在调度给定的电压上下限内，分别采用不同的电压控制范围：高峰负荷时段定为较高的电压控制范围，暂定为10.710.2kV； 低谷负荷时段定为较低的电压控制范围，暂定为10.510.0kV，如图2.6，表2.1所示。图2.6 改进九区图法表2.1 时段划分电压分时控制的时段划分宜粗不宜细，太细会使被控制对象动作频繁。随着季节和运行方式的不同，负荷曲线中的高峰和低谷时间会有所差异，运行中不可能经常修改时段的划分和改变电压上下限定值。从线损最低的角度考虑，线路只送有功不送无功 （功率因数为1时线损最低）。如果无功补偿过度，无功由低压侧向高压侧倒送，则会增大线损。电容器组的容量是固定的，无功上下限的宽度不能过窄，否则会出现电容器组反复投切；也不宜太宽，太宽会降低电容器组的利用率。1）无功下限的确定。无功下限的确定有一定难度，定的不合适就会降低 VQC 的综合效益。如果只考虑无功不倒送，无功下限应设定为0，即与坐标零点重合。从整个系统或地区系统考虑，一般在0.006.00时的低谷时段整个系统的无功负荷较少，系统功率因数很高，为了保证发电机的稳定运行，规程规定发电机功率因数不宜超过0.95，如果各站均把下限定为0将会造成低谷时段系统调度困难。无功分站控制，即每站无功下限24 h不变，但不同的站其下限不同，有的站下限采用0，而有的站则定为不同的数值，关键是系统综合控制效果。2）无功上限的确定。无功的上限只需把下限值加上1.3倍 Qc 即可。电压、无功调整过程中应保证电压在合格范围内，再考虑降低线损，当两者出现矛盾时首先确保电压合格。当电压超过了上、下限定值范围时，优先预测无功设备的调节是否最优。优化算法如下。（1） 当电压越上限时，调节主变分接头降压可以使电压正常，但考虑到切电容器可以降低母线电压，又可以起到优化无功的作用，可以优先考虑切电容器。（2） 当电压越下限时，调节主变分接头升压可使电压正常，但考虑到投电容器既可以提高母线电压，又可以起到优化无功的作用，可优先考虑投电容器。（3） 当电压偏低接近下限值而功率因数偏高时，如果有运行的电容器，先要预测计算切一组电容器是否会使电压超过下限，如果计算到动作后电压越下限，则先调一次分接头升压，然后再检查运行情况。如果仍需要切电容器则切电容器，如果这时系统参数已经合格，可不再调节无功设备，从而减少了设备的动作次数。（4） 当电压偏高接近上限值而功率因数偏低时，如果有备用的电容器，先预测计算投一组电容器是否会使电压超过上限，如果计算到动作后电压越上限，则先调一次分接头，然后再检查运行情况，如果仍需要投电容器则投电容器，如果此时系统参数已经合格，可不再调节无功设备，从而减少了设备的动作次数。（5） 从上述的优化策略来看，a和b的运行情况比较常见，在实践运行过程中可以增加无功设备的投切率，从而大大减少主变分接头的动作次数；c和d保证电压正常时不会为了优化无功 (功率因数) 而造成电压的不合格。根据电力系统的要求，可以通过预测投切电容器是否能达到最优的效果来进行优化控制。如果投切电容器既可保证功率因数合格和抑制谐波，又可以调整电压，可通过投切电容器来进行调压，否则调节主变分接头。综上分析，可以得到一个优化的改进动作策略。区域1 . 如果切电容器不会使功率因数超过下限值，优先切电容器；如果切电容器后电压仍不合格，调主变分接头降压；区域2 . 投电容器不会使电压越上限和功率因数越上限，则只能投电容器；区域3 . 电压偏高但功率因数又偏低，只能调节主变分接头降压，动作后的策略视运行情况而定。区域4 . 电压偏高，但切一组电容器会导致功率因数越下限，调节主变分接头。区域5 . 如果切电容器不会使功率因数越下限，优先切电容器；如果切电容器后电压仍不合格，调节主变分接头降压。区域6 . 切电容器不会使电压及功率因数越下限，只能切电容器。区域7 . 电压偏低但功率因数又偏高，调节主变分接头升压，动作后的策略视运行情况而定。区域8 . 电压偏低，但投一组电容器会导致功率因数越上限，只调节主变分接头升压。区域9 . 3区。检测到投电容器使电压越上限，如果有电容器可投，先调节主变分接头降压，再检查电容器是否需要投入；如果出现其它运行情况，重新决策。如果在该区域中检查到没有电容器可投，暂时维持现状不调节主变分接头。区域10 . 7区。检测到切电容器使电压越下限，如果有电容器可切，先调节主变分接头升压，再检查电容器是否需要切除。如果出现其它运行情况，重新决策。如果在该区域中检查到没有电容器可切 ,暂时维持现状不调节主变分接头1。考虑到动作策略相同，c和i可以合并为同一个综合区域，而g和j可以合并为一个综合区域。 控制装置根据电压、无功、时间、谐波含量、负荷率、有载调压变压器分接头档位和电容投切等多因素进行综合判断，根据实时数据判断当前的运行区域，再按照预定的控制方案，闭环的控制站内并联补偿电容器的投切和有载调压变压器分接头的调整，以最优的控制顺序和最少的动作次数使运行点进入正常工作区。2.6 小结本章介绍了传统“九区图”电压无功综合控制基本原理，对其操作矢量模型、控制边界进行了深入的研究。 传统“九区图” 电压无功综合控制原理中，控制策略是按照固定的电压和无功（或变电站进线端功率因数）上、下限将电压无功平面划分为9个区域。由于电压、无功的上、下限值是给定的，实际的运行情况证明不能达到最佳的控制效果。本章对传统“九区图”存在的问题进行分析，并对针对以上一系列的问题进行了改进如采用区域图法、模糊边界法等。初步解决了传统“九区图”存在的一些问题。3 五区图控控制方法3.1 五区图控制原理简介“九区图”及其系列控制原理是将控制目标对象、，直接引入控制思路，在数学模型上采用最简易的大小比较的方式，在平面上就形成了经典的“井”字型动作区间划分。根据具体操作动作性质的不同，任何一种装置的最基本操作动作分为：1）不动作；2）升变压器档位；3）降变压器档位；4）投电容；5）切电容；采集现场的运行数据，根据所给的控制目标，同时兼顾各种闭锁约束条件，判断比较五种操作动作的控制效果，选择控制效果最优的操作动作作为当前实际执行命令，就形成了直接以装置动作为控制对象，面向具体操作动作的控制思想。将五种不同的操作动作在平面上当前工作点处矢量化，如图3.1所示:图3.1 操作动作矢量图五个操作矢量为：0. 不动作矢量：；1. 升降矢量：；2. 降档矢量：；3. 投C矢量：；4. 切C矢量：；从图中可以看出，除第一种（不动作矢量）外，其余的每一种操作动作都将改变系统的电压无功运行状态，使当前工作点产生移动。这样，电压无功综合控制问题就可以看成：通过选择最优操作动作矢量，使当前工作点不断向最优控制目标工作点逼近。假设执行完第号操作动作后，系统工作点移动到，定义工作点到理想目标工作点距离的平方为操作优劣距离:。以最小为比较判断效果优劣的依据，就形成了以操作优劣距离最短为判据，来确定最优操作动作的控制思想10。图3.2 “五区图”示意图在平面得到图3.2所示的控制区间示意图，该图仿照“九区图”的称法可称为“五区图”。通过以上分析，可以将该控制思想总结为面向五个具体操作动作，在各个操作动作矢量化的基础上，有针对性的以操作优劣距离为判据来选择在一定工作条件下的最优操作动作。3.2 控制边界的分析常规的解析方法计算确定了五区图的边界，本文从几何作图的角度提出一种新的简单、可靠的边界确定方法。通过与边界方程相比较，其结果是正确可靠的。不动作矢量：，降档矢量：，在其分界线上这两个操作动作的操作优劣距离应相等，即，得， 推出降档动作与不动作界限方程： 图3.3 “五区图”边界示意图根据线段垂直平分线到线段两端点距离相等的原理，在图3.1的操作矢量模型上可以看出，在理想工作点处，分别执行、操作后的工作点为、，到、两点距离相同的点的集合是的垂直平分线，可以发现，在该垂直平分线上的任一点执行、操作后的工作点到理想工作点的优劣距离相同，因此该垂直平分线为、操作的分界线的方程为，与前述计算推出的边界方程相同。同理的垂直平分线对应的、操作的边界，的垂直平分线对应、操作的边界，的垂直平分线对应的、操作的边界。 以上确定的是不动作矢量与其它操作矢量的边界，相对比较直观，容易理解，在平面上也很容易看出，下面讨论其它操作矢量之间的边界确定。降档矢量：，切C矢量：这两个操作动作矢量的分界线上操作优劣距离也应相等，即，得，推出降档动作与切C动作界限方程： 在的垂直平分线上的任意工作点，执行、操作后的优劣距离与工作点到、端点的距离分别相等，即，所以的垂直平分线对应、操作的边界，如图3.3中所示。研究表明该垂直平分线在平面内的方程恰为式，这就从解析几何的角度证明了的垂直平分线为、动作区间的边界。同理的垂直平分线对应、操作的边界，的垂直平分线对应、操作的边界，的垂直平分线对、操作的边界。从图3.3中还可以看出，交点为图3.2的五区图中的三种操作动作（不动作）、（降档动作）、（切C动作）的边界点，因为是的各边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心，所以当系统工作在此点上时，执行（不动作）、（降档动作）、（切C动作)三种操作后优劣距离均相等。同理当系统运行在交点A、C、D处时，理论上都可以采取三种不同的操作动作。得到的边界公式具体如下：升档动作与不动作界限： ： 降档动作与不动作界限： ： 投C动作与不动作界限： 切C动作与不动作界限： 升档动作与投C动作界限： 降档动作与投C动作界限： 降档动作与切C动作界限： 升档动作与切C动作界限： 分析以上各边界公式并结合“五区图”可以发现，“五区图”的边界特性与几个重要的参数、等有着密切的关系。（1） 0区的边界分别与、矢量垂直。（2） 0区的高度：0区的宽度，越小，越大，则0区宽度越大。（3） 若，则1区4区的边界线的斜率可近似的取为，随着增大，“五区图”的四条边界臂就会向竖直中轴线收拢，即1区和2区的面积相对缩小，系统会更多的采取对电容器的操作。（4） 若与比较不可忽略，则越大，“五区图”的条边界臂就会顺时针方向旋转，相应的1区4区的区域分布也会围绕0区做顺时针旋转。反之亦然。（5） 若趋向于0，则0区的轮廓会更趋向于矩形，“五区图”就更趋向于“九区图”的图样形式，可以认为“九区图”是“五区图”的一种极限