2024版 讲与练高三一轮数学（新教材） 第三章一元函数的导数及其应用.doc

第三章一元函数的导数及其应用31导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想2体会极限思想3通过函数图象直观理解导数的几何意义4能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y，y的导数5能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (axb)的导数6会使用导数公式表知识梳理1导数的概念及其意义(1)导数的概念：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf (x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf (x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或y| xx0，即f (x0) .(2)导数的几何意义：函数yf (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf (x)在点P(x0，f (x0)处的切线的斜率是f (x0)相应的切线方程为yy0f (x0)(xx0)(3)导函数的概念：当xx0时，f (x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，yf (x)就是x的函数，我们称它为yf (x)的导函数(简称导数)yf (x)的导函数有时也记作y，即f (x)y .2导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)c(c为常数)f (x)0f (x)x(Q，且0)f (x)x1f (x)sin xf (x)cos_xf (x)cos xf (x)sin_xf (x)ax(a>0，且a1)f (x)axln_af (x)exf (x)exf (x)logax(a>0，且a1)f (x)f (x)ln xf (x)(2)导数的四则运算法则运算法则和差f (x)±g(x)f (x)±g(x)积f (x)g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)，特别地，cf (x)cf (x)商(g(x)0)(3)简单复合函数的导数一般地，对于两个函数yf (u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf (u)和ug(x)的复合函数，记作yf (g(x)它的导数与函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积常用结论与知识拓展1导数的两条性质(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数(2)可导函数yf (x)的导数为f (x)，若f (x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f (x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的2区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条3几类重要的切线方程(1)yx1是曲线yln x的切线，yx是曲线yln(x1)的切线，yxn是曲线yln(xn1)的切线，如图1.(2)yx1与yex是曲线yex的切线，如图2.(3)yx是曲线ysin x与ytan x的切线，如图3.(4)yx1是曲线yx2x，yxln x及y1的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如ln xx1，x1ex等基础检测1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“×”(1)f (x0)与f (x0)表示的意义是不相同的()(2)f (x0)是函数yf (x)在xx0附近的平均变化率(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线(×)(5)函数f (x)sin(x)的导数是f (x)cos(x)(×)2(教材改编题)设f (x)ln(32x)cos 2x，则f (0).解析：因为f (x)2sin 2x，所以f (0).3(教材改编题)已知函数f (x)的导函数满足f (x)2xf (1)x3，则f (1)5.解析：由f (x)2xf (1)x3，得f (x)2f (1)3x2，令x1，得f (1)2f (1)3，解得f (1)3，所以f (1)2f (1)132×(3)15.4(教材改编题)已知f (x)x33x21，则曲线yf (x)在点(1，1)处的切线方程为3xy20.解析：因为f (x)x33x21，所以f (x)3x26x.当x1时，f (1)363，所以曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.5(多选题)(教材改编题)曲线f (x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标可能为(AD)A(1,3) B(0,3)C(2,9) D(1,3)解析：设切点P(x0，xx03)因为曲线f (x)在点P处的切线的斜率kf (x0)3x12，所以x0±1，所以点P的坐标为(1,3)或(1,3)故选AD考点1 导数的运算【例1】求下列函数的导数：(1)y2x33x25；(2)y；(3)yxnex；(4)y.解：(1)y(2x3)(3x2)56x26x.(2)y2x24(x1)2.(3)y(xn)exxn(ex)nxn1exxnexxn1ex(nx)(4)y.规律总结一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用公式化简函数，再求导；复合函数：确定复合关系，由外向内，层层求导【对点训练1】(1)已知函数f (x)ln(2x3)axex，若f (2)1，则ae2.解析：f (x)·(2x3)aexax·(ex)aexaxex，f (2)2ae22ae22ae21，则ae2.(2)设函数f (x)在(0，)内可导，且f (ex)xex，则f (1)2.解析：令tex，故xln t，所以f (t)ln tt，即f (x)ln xx，所以f (x)1，所以f (1)2.考点2 导数的几何意义命题角度1曲线的切线的斜率和方程【例2】(1)(2021·全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为5xy20.解析：当x1时，y3，故点(1，3)在曲线上因为y，所以y|x15.切线方程为y35(x1)，即5xy20.(2)若点P是函数y图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的取值范围是1，)解析：因为y，所以y.因为1sin 2x1，所以01sin 2x2，所以，则y1，所以直线l斜率的取值范围是1，)(3)已知函数f (x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf (x)相切，则直线l的方程为xy10.解析：点(0，1)不在曲线f (x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f (x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得直线l的方程为yx1，即xy10.规律总结曲线切线方程的求法：以曲线上的点(x0，f (x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f (x)的导数f (x)；求切线的斜率f (x0)；写出切线方程yf (x0)f (x0)·(xx0)，并化简；如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个【对点训练2】(1)直线ykx1与曲线f (x)aln xb相切于点P(1,2)，则2ab等于4.解析：直线ykx1与曲线f (x)aln xb相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入ykx1，可得k12，解得k1，f (x)aln xb，f (x)，由f (1)1，解得a1，可得f (x)ln xb，P(1,2)在曲线f (x)ln xb上，f (1)ln 1b2，解得b2，故2ab224.(2)若曲线y的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为或.解析：由题意，设切点坐标为(x0，)，由yx，得y，则切线斜率k，则曲线在切点处的切线方程为y(xx0)，又切线过点(8,3)，所以3(8x0)，整理得x0680，解得4或2，所以切线斜率k或.命题角度2两条曲线的公切线【例3】(1)(2020·全国卷改编)若直线l与曲线y和x2y2都相切，则l的方程为x2y10.解析：设直线l在曲线y上的切点为(x0，)，则x0>0，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，直线l的方程为y(xx0)，即x2yx00.由于直线l与圆x2y2相切，则，整理得5x4x010，解得x01，x0(舍)，则直线l的方程为x2y10.(2)(2023·贵州遵义高三开学摸底考试)若直线ykxb是曲线yex1的切线，也是yex2的切线，则k2.解析：设直线ykxb与yex2和yex1的切点分别为(x1，e2)，(x2，e)，则切线方程分别为y(e2)e (xx1)，yee (xx2)，化简得，yexex12x1e，yexx2ee.依题意上述两直线与ykxb是同一条直线，所以解得x1ln 2，所以keeln 22.规律总结处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上【对点训练3】(1)已知函数f (x)x22m，g(x)3ln xx，若yf (x)与yg(x)在公共点处的切线相同，则m1.解析：f (x)x22m，g(x)3ln xx，则f (x)2x，g(x)1.设公共点为(x0，y0)，且x0>0，由f (x0)g(x0)，即2x01，解得x01或x0(舍去)，所以y03ln x0x01，所以1122m，解得m1.(2)若存在实数a>0，使得函数f (x)aln xx与g(x)2x22xb的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，则实数b的最大值为1.解析：设函数f (x)aln xx的切点为(x1，y1)，函数g(x)2x22xb的切点为(x2，y2)分别对函数进行求导，f (x)1，g(x)4x2，由相同切线的斜率为2，得g(x2)4x222x21，g(1)b，故切线方程为y2x2b，f (x1)12ax1，f (x1)x1ln x1x1，故函数f (x)aln xx的切点为(x1，x1ln x1x1)把切点(x1，x1ln x1x1)代入y2x2b中得x1ln x1x12x12bbx1ln x1x12，令h(x)xln xx2，h(x)ln x11ln x，当x(0,1)时，h(x)>0，函数h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)<0，函数h(x)单调递减故h(x)h(1)1，故实数b的最大值为1.命题角度3已知曲线的切线条数求参数范围【例4】(1)(2022·新高考卷)若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(，4)(0，)解析：y(xa)ex，y(x1a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0(x0a)e，切线斜率k(x01a)e，切线方程为y(x0a)e(x01a)e (xx0)，切线过原点，(x0a)e(x01a)e (x0)，整理得xaa0，切线有两条，a24a>0，解得a<4或a>0，a的取值范围是(，4)(0，)(2)(2021·新高考卷)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则(D)Aeb<a Bea<bC0<a<eb D0<b<ea解析：在曲线yex上任取一点P(t，et)，对函数yex求导得yex，所以，曲线yex在点P处的切线方程为yetet(xt)，即yetx(1t)et，由题意可知，点(a，b)在直线yetx(1t)et上，可得baet(1t)et(a1t)et，令f (t)(a1t)et，则f (t)(at)et.当t<a时，f (t)>0，此时函数f (t)单调递增，当t>a时，f (t)<0，此时函数f (t)单调递减，所以，f (t)maxf (a)ea，由题意可知，直线yb与曲线yf (t)的图象有两个交点，则b<f (t)maxea，当t<a1时，f (t)>0，当t>a1时，f (t)<0，作出函数f (t)的图象如图所示：由图可知，当0<b<ea时，直线yb与曲线yf (t)的图象有两个交点故选D规律总结已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题【对点训练4】(1)(2022·安徽安庆模拟)若过点(a，b)(a>0)可以作曲线yxex的三条切线，则(D)A0<a<bebBaea<b<0C0<ae2<b4D(a4)<be2<0解析：由题可得y(x1)ex，设切点为(x0，x0e)，则(x01)e，整理得(xax0a)eb，由题意知关于x0的方程(xaa)eb有三个不同的解，设f (x)(x2axa)ex，f (x)(x2)(xa)ex，由f (x)0，得x2或xa，又a>0，所以当x<2时，f (x)>0，f (x)单调递增，当2<x<a时，f (x)<0，f (x)单调递减，当x>a时，f (x)>0，f (x)单调递增，当x时f (x)0，当x时，f (x)，且f (2)，f (a)aea<0，函数f (x)的大致图象如图所示，因为f (x)的图象与直线yb有三个交点，所以0<b<，即(a4)<be2<0.(2)(多选题)(2022·江苏南京金陵中学摸底)已知函数f (x)，过点(a，b)作曲线f (x)的切线，下列说法正确的是(ABD)A当a0，b0时，有且仅有一条切线B当a0时，可作三条切线，则0<b<C当a2，b>0时，可作两条切线D当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值为或解析：设切点坐标为(x0，y0)，所以y0，f (x)，则切线的斜率为k，切线方程为y(xx0)对于A，当a0，b0时，(x0)，解得x00，故切点为(0,0)，所以切线方程为yx，所以有且仅有一条切线，故A正确；对于B，当a0时，b(x0)，则b，设g(x)，则g(x)，当x(，0)时，g(x)<0，g(x)单调递减，当x(2，)时，g(x)<0，g(x)单调递减，当x(0,2)时，g(x)>0，g(x)单调递增，所以x0时，g(x)有极小值，为g(0)0，x2时，g(x)有极大值，为g(2)，x>0时，f (x)>0，画出g(x)的图象，如图，当a0时，若作三条切线，则yb与g(x)的图象有3个交点，由图可得0<b<，故B正确；对于C, 当a2时，由切线方程得b(2x0)，则b，设h(x)，则h(x)0，所以h(x)单调递减，且h(x)>0，如图，所以当a2，b>0时，yb与h(x)的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C错误；对于D，当0<a<2时，由切线方程为y(xx0)得b(ax0)，则b，设t(x)，则t(x)，因为0<a<2，所以当x(a,2)时，t(x)>0，t(x)单调递增，当x(，a)时，t(x)<0，t(x)单调递减，当x(2，)时，t(x)<0，t(x)单调递减，所以当xa时，t(x)的极小值为t(a)>0，x2时，t(x)的极大值为t(2)>0，t(x)的图象为若作两条切线，则b的取值为或，故D正确故选ABD课时作业15基础巩固一、单项选择题1(2023·四川仁寿铧强中学模拟)已知函数yf (x)在xx0处的导数为2，则 (C)A0B C1D2解析： f (x0)1.故选C2(2023·吉林五校高三开学考试)设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为l(t)2t2t，下列说法正确的是(B)A当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/sB当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/sC函数l(t)在0，)上单调递减D函数l(t)在0，)上不是单调函数解析：当t3 s时，运动员的滑雪速度为l(3) m/s，A错，B对；当t0时，l(t)4t>0，故函数l(t)在0，)上单调递增，C，D均错故选B3(2023·江西丰城高三开学摸底)曲线yx32ln x上任意一点处的切线斜率的最小值为(A)A3B2 CD1解析：由于yx32ln x，根据导数的几何意义得：kf (x)x2x233(x>0)，即切线斜率k3，当且仅当x1时等号成立，所以yx32ln x上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选A4(2023·安徽皖南八校高三开学考试)若曲线yln xx2的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为(C)A3xy10B3xy10C3xy20D3xy1ln 20解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)，yln xx2，y2x，x0>0，y| xx02x03，所以或所以切点坐标为(1,1)或，所求的切线方程为3xy20或3xyln 20.故选C5已知定义在区间(0，)上的函数f (x)2x2m，g(x)3ln xx，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(C)A2 B5C1 D0解析：根据题意，设两曲线yf (x)与yg(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f (x)2x2m，可得f (x)4x，则切线的斜率为kf (a)4a，由g(x)3ln xx，可得g(x)1，则切线的斜率为kg(a)1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a1，解得a1或a(舍去)，又由g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f (x)2x2m，可得m1.故选C6已知曲线f (x)ex在点P(0，f (0)处的切线也是曲线g(x)ln(ax)的一条切线，则a的值为(C)A BCe2 D解析：f (x)ex，f (x)ex，f (0)1，f (0)1，f (x)在点P(0，f (0)处的切线方程为yx1.设yx1与g(x)相切于点(x0，ln(ax0)，则g(x0)1，解得x01，又1，ln a11，解得ae2.故选C二、多项选择题7(2022·广东佛山模拟)设函数f (x)xexabx，曲线yf (x)在点(2，f (2)处的切线方程为y(e1)x4，则(ABD)Af (2)2e2Ba2Ca3Df (x)在R上单调递增解析：f (x)exaxexab，kf (2)be2a，又切线方程为y(e1)x4，be2ae1，解得be，a2，f (x)xex2ex，f (2)2e2，f (x)ex2xex2e(1x)ex2e，令g(x)(1x)ex2e，则g(x)(2x)ex2，当x<2时，g(x)<0，当x>2时，g(x)>0，g(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，g(x)ming(2)e1>0，即f (x)>0，f (x)在R上单调递增综上可知，A，B，D正确，C错误故选ABD8(2023·广东东莞高三开学考试)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示现有下列四种说法，其中正确的有(BD)A前四年该产品产量增长速度越来越快B前四年该产品产量增长速度越来越慢C第四年后该产品停止生产D第四年后该产品年产量保持不变解析：设产量与时间的关系为yf (x)，由题图可知f (x)在点(1，f (1)，(2，f (2)，(3，f (3)，(4，f (4)处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f (4)0，故C错误，D正确故选BD9(2022·河北保定高三二模)若直线y3xm是曲线yx3(x>0)与曲线yx2nx6(x>0)的公切线，则(AD)Am2 Bm1Cn6 Dn7解析：设直线y3xm与曲线yx3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线yx2nx6(x>0)相切于点(b,3bm)，对于函数yx3(x>0)，y3x2，则3a23(a>0)，解得a1，所以133m，即m2.对于函数yx2nx6(x>0)，y2xn，则2bn3(b>0)，又b2nb63b2，所以b2b(32b)63b2，又b>0，所以b2，n7.故选AD三、填空题10一个质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式s3t24t3，则当t1时，该质点的瞬时速度为18 m/s.解析：瞬时速度就是位移对时间的导数，s3t24t3，s6t12t2，当t1时，s18，即该质点的瞬时速度为18 m/s.11已知函数f (x)2xln x，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为2xy70.解析：由题知，f (x)2，x(0，)，f (1)2，而f (1)5，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为y52(x1)，即2xy70.12(2022·新疆阿勒泰三模)已知函数f (x)2ln xx，直线yx2t是yf (x)的一条切线，则t1；若g(x)x2xa，且yf (x)与yg(x)总存在相同的切线，则实数a的取值范围为1，)解析：由题意可得f (x)1，令f (x)1，x1，故切点为(1，1)，代入切线方程有112t，t1.若g(x)x2xa，且yf (x)与yg(x)总存在相同的切线，设f (x)切点为(x1，f (x1)(x1>0)，则切线方程为y(xx1)f (x1)x2ln x12，g(x)2x1，设g(x)切点为(x2，g(x2)，切线方程为y(2x21)(xx2)g(x2)(2x21)xxa，若yf (x)与yg(x)存在相同的切线，则12x21，即x2，且2ln x12xa，ax2ln x1222ln x12(x1>0)，令h(x)2ln x2，x>0，h(x)，当x1时h(x)0，当0<x<1时h(x)<0，h(x)单调递减，当x>1时h(x)>0，h(x)单调递增，当x1时h(x)minh(1)1，且x时，h(x)，a1，即实数a的取值范围为1，)四、解答题13已知函数ye2x4ln(2x5)(1)求该函数的导数；(2)求该函数的图象在x2处的切线的倾斜角解：(1)ye2x4ln(2x5)，ye2x4×(2x4)×(2x5)e2x4×2×2e2x4.(2)由(1)，知ye2x4，y|x2121.所以该函数的图象在x2处的切线的倾斜角为.14已知函数f (x)的导函数为f (x)，且满足f (x)2xf (e)ln x.(1)求f (e)及f (e)的值；(2)求f (x)在xe2处的切线方程解：(1)f (x)2xf (e)ln x，f (x)2f (e)，f (e)2f (e)，f (e)，f (x)ln x，f (e)ln e1.(2)f (x)ln x，f (x)，f (e2)ln e222e，f (e2)，f (x)在xe2处的切线方程为y(22e)(xe2)，即(2e1)xe2ye20.素养提升15已知函数f (x)2x33x，若过点M(1，m1)存在三条直线与曲线yf (x)相切，则m的取值范围为(2,0)解析：f (x)6x23，设过点M(1，m1)的直线与曲线yf (x)相切于点(x,2x33x)，则6x23，化简得4x36x2m2，令g(x)4x36x2，则过点M(1，m1)存在三条直线与曲线yf (x)相切等价于yg(x)与ym2的图象有三个交点g(x)12x(x1)，故当x<0或x>1时，g(x)>0，g(x)单调递增；当0<x<1时，g(x)<0，g(x)单调递减，又g(0)0，g(1)2，g(x)的图象如图，2<m2<0，即m(2,0)16(2023·山东青岛高三摸底)已知曲线f (x)x3x2ax1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为3<a<.解析：f (x)x3x2ax1， f (x)2x22xa，可令切点的横坐标为m，且m>0，可得切线斜率k2m22ma3，即2m22ma30，由题意，可得关于m的方程2m22ma30有两个不等的正根，且m1m21>0，则即 解得3<a<.3.2导数与函数的单调性考试要求结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间知识梳理1函数的单调性与导数的关系一般地，函数f (x)的单调性与导函数f (x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f (x)>0，那么函数y f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果f (x)<0，那么函数y f (x)在区间(a，b)上单调递减2利用导数判断函数f (x)单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f (x)的零点；第3步，用f (x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各个区间上的正负，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性常用结论与知识拓展1在某区间内，f (x)>0(f (x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对x(a，b)，都有f (x)0(f (x)0)且f (x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2构造函数解抽象不等式(1)对于不等式f (x)>k(k0)，构造函数g(x)f (x)kxB(2)对于不等式xf (x)f (x)>0，构造函数g(x)xf (x)；对于不等式xf (x)f (x)>0，构造函数g(x)(x0)(3)对于不等式xf (x)nf (x)>0，构造函数g(x)xnf (x)；对于不等式xf (x)nf (x)>0，构造函数g(x)(x0)(4)对于不等式f (x)f (x)>0，构造函数g(x)exf (x)；对于不等式f (x)f (x)>0，构造函数g(x).(5)对于不等式f (x)sin xf (x)cos x>0(或f (x)f (x)tan x>0)，构造函数g(x)f (x)sin x；对于不等式f (x)cos xf (x)sin x>0(或f (x)f (x)tan x>0)，构造函数g(x)f (x)cos x.基础检测1判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“×”(1)若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则一定有f (x)<0.(×)(2)若函数f (x)在某一范围内导数的绝对值越大，那么函数在这个范围内变换得就越快，此时函数的图象就会更“陡峭”(向上或向下)()(3)在(a，b)内，f (x)0且f (x)不恒为零，则f (x)在(a，b)上为增函数()(4)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x(a，b)时，f (x)<0有解()(5)若函数f (x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是(，3)(×)2(教材改编题)函数f (x)4xln x的单调递减区间为.解析：因为f (x)4xln x(x>0)，所以f (x)4，由解得0<x<，所以函数f (x)4xln x的单调递减区间为.3如图是yf (x)的图象，则函数yf (x)的单调递减区间是(B) A(2,1)B(2,0)，(2，)C(，1)D(，1)，(1，)解析：由图象知，当2<x<0或x>2时，f (x)<0，因此单调递减区间是(2,0)，(2，)故选B4(教材改编题)若函数f (x)ln xax25x在区间内单调递增，则实数a的取值范围为a.解析：函数f (x)在内单调递增，则f (x)2ax50在x上恒成立，即2a在x上恒成立，又2，所以2a，即a.5(多选题)(教材改编题)设函数f (x)，则下列说法正确的是(BC)Af (x)的定义域是(0，)B当x(0,1)时，f (x)的图象位于x轴下方Cf (x)存在单调递增区间Df (x)有两个单调区间解析：由得x>0且x1，所以函数f (x)的定义域为(0,1)(1，)，所以A不正确当x(0,1)时，ln x<0，ex>0，所以f (x)<0，所以当x(0,1)时，f (x)的图象位于x轴下方，所以B正确f (x)，令g(x)ln x，则g(x)>0，所以函数g(x)单调递增，g(1)1<0，g(e)1>0 ，故存在x0>1，使得g(x0)0，则函数f (x)0只有一个根x0，当x(0,1)和x(1，x0)时，f (x)<0，函数f (x)单调递减，当x(x0，)时，f (x)>0，函数f (x)单调递增，所以函数有三个单调区间，所以C正确，D不正确故选BC考点1 利用导数研究函数的单调性命题角度1具体函数的单调区间【例1】(1)函数f (x)x2ln x的单调递增区间为.解析：函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)2xln xx2·2xln xxx(2ln x1)，令f (x)>0，得2ln x1>0，解得x>，故函数f (x)x2ln x的单调递增区间为.(2)若函数f (x)，则函数f (x)的单调递减区间为(1，)解析：f (x)的定义域为(0，)，f (x)，令(x)ln x1(x>0)，(x)<0，(x)在(0，)上单调递减，且(1)0，当x(0,1)时，(x)>0，当x(1，)时，(x)<0，f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减规律总结确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f (x)的定义域第二步，求f (x)第三步，解不等式f (x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f (x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间注意函数间断点【对点训练1】已知定义在区间(，)上的函数f (x)xsin xcos x，则f (x)的单调递增区间是和.解析：f (x)sin xxcos xsin xxcos x令f