2023年高考数学一轮复习课时作业第八章　平面解析几何.pdf

第八章 平面解析几何（选择性必修第一册）七一 ：之，O选题明细表第 1节直线与方程:生 口 叶 作 山,灵话彳、唬 裔 致 提 混知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线的倾斜角与斜率1,2直线方程5,8,9两条直线的位置关系3,4,61115距离问题710,12,14对称问题13A级基础巩固练1.直线x+6y+l=0的倾斜角是（D ）A.6 B.32 aC.京D.万包解析：由直线的方程得直线的斜率为k=-,经设倾斜角为a,则 t an a=-.又 a 0,五），所以a=6.故选D.2.若平面内三点A(1,-a),B(2,a)C(3,1)共线，则a 等于(A)A.1土企或0 氏,或 02+V3 2+V3C.W 9.丁 或 0解析：由题意知k AB=kAC,f-H i 蓊+a即 2-1=3-1,即 a(a2-2a-l)=0,解得a=0或 a=l 2故选A.3 .在同一平面直角坐标系中，直线l i：ax+y+b=O 和直线b：bx+y+a=O 有可能是(B )解析：由题意 l i：y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当 a 0,b 0 时,-a 0,-b 0,b 0）过点（1,1）,则 a+b的最小值等于（C ）A.2 B.3 C.4 D.5*7解析:将（1,1）代入直线展+豆1,1 1得a+b=l,a 0,b 0,1 1 b a故 a+b=（a+b）（*+b）=2+工 22+2=4,等号当且仅当a=b时取到.故选C.6.（多选题）（2021 山东模拟）若三条直线L：ax+y+l=0,k:x+ay+l=0,k：x+y+a=0不能围成三角形，则（AB C ）A.a=l B.a=-lC.a=-2 D.a=2解析:当a=l 时,直线L,k,k重合,不能构成三角形,符合题意.当 a#l时，若三条直线交于一点，则也不能构成三角形.由（x+a y+1 =0,+仇 得 直 线 1幻I的交点坐标为“1,1）.代入直线L 的方程ax+y+l=0得 a2+a-2=0,解得a=-2或 a=l （舍去），符合题意.三条直线中有两条平行或重合，若 L 和 b 平行或重合,则a=l;若 12和 k平行或重合,则a=l;若 L 和 b 平行或重合,则-a=-。,得 a=l,符合题意.综上,可得实数a 所 有 可 能 的 值 为 1,-2.故选AB C.7.已知坐标原点关于直线l.:x-y+l=O 的对称点为A,设直线k经过点A,则当点B (2,7)到直线k的距离最大时，直线k的方程为(B )A.2x+3 y+5=0 B.3 x-2y+5=0C.3 x+2y+5=0 D.2x-3 y+5=0史=-1,解析:设A(x。,y。)，依题意可得S(XQ=T,解得即 A(1,1).设点B(2,-l)到直线12的距离为d,当 d=|AB|时取得最大值，此时直线b 垂直于直线AB.1 3又-妖旦3所以直线卜的方程为y-l=2(x+l),即 3 x-2y+5=0.故选B.8.已知直线1:(a-2)x+(a+l)y+6=0,则直线1 恒过定点.解析:直线1 的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,(X+y =0,l-2 x+y+6 =0,由解得 x=2,y=-2,所以直线1 恒过定点(2,-2).答案：(2,-2)9.菱形AB C D 的顶点A,C 的坐标分别为A(-4,7),C (6,-5),B C 边所在直线过点P(8,-1).求：(1)AD 边所在直线的方程；对角线B D 所在直线的方程.-5-(-1)解:(l)kl i C=6-8=2,因为AD B C,所以RA D=2.所以AD 边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即 2x-y+15=0.-5-7 6(2)k Ac*因为菱形的对角线互相垂直，所以 B D _ LAC,5所以k s D-.因为AC 的中点(1,1),也是B D 的中点,所以对角线B D 所在直线的方程为5y-l=6(x-l),即 5x-6y+l=0.B 级综合运用练10.若三条直线y=2x,x+y=3,m x+n y+5=0相交于同一点，则点(m,n)到原点的距离的最小值为(A)A.4 B.C.26 D.2 4(y=2z,解析：联立卜+=3 解得x=l,y=2,把(1,2)代入 m x+n y+5=0 得 m+2n+5=0,即 m=-5-2n.点(m,n)到原点距离d/2 V(5-2 n)2 +2 依 加+2)2+5 V 5当n=-2,m=-l 时取.故选A.11.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直 线 方 程 是.解析：设所求直线方程为x-2y+入=0,令 x=0,得 y=2;令 y=0,得 x=-入，1 1由题意得义闰 I-入|=4,解得入=4.答案:x-2y 4=012.两平行直线L,k 分别过点P(-1,3),Q -1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则L,1 2 之 间 的 距 离 的 取 值 范 围 是.解析：因为L b,且 P L,k,所以L,b间的最大距离为|p Q|=V 2-(-l)+(-l-3)2=5又 1 1 与 1 2 不重合，所以L,k之间距离的取值范围是(0,5.答案：(0,51 3 .已知直线1:3 x-y+3=0,求:点 P(4,5)关于1 的对称点；直线x-y-2=0 关于直线1 对称的直线方程；直 线 1 关于点(1,2)对称的直线方程.解：(1)设 P(x,y)关于直线l:3 x-y+3=0 的对称点为P 解，).因为 k p p，k i=T,即*r X 3=-1.又P P 的中点在直线3 x-y+3=0 上，所以 3 x+3=0.卜=普1,由得I 5 把 x=4,y=5代入得x=-2,y =7,所以点P(4,5)关于直线1 的对称点P 的坐标为(-2,7).用分别代换x-y-2=0 中的x,y,-4z+3y-9 3x+4y4-3得关于1 对称的直线方程为一-2=0,化简得 7x+y+2 2=0.(3)在直线 1:3 x-y+3=0 上取点 M(0,3),关于(1,2)的对称点M (x y)，广 阳 /+3所以 2=1,X,=2,2=2,y =1,所以 M (2,1).直线1 关于点(1,2)的对称直线平行于1,所以k=3,所以对称直线方程为y-l=3 X (x-2),即 3 x-y-5=0.1 4.已知点 P(2,-1).求过点P 且与原点的距离为2的直线1 的方程；求过点P 且与原点的距离最大的直线1 的方程,并求出最大距离；是否存在过点P 且与原点的距离为6 的直线?若存在，求出方程;若不存在,请说明理由.解：(1)过点P 的直线1 与原点的距离为2,而点P 的坐标为T),显然,过点P(2,T)且垂直于x轴的直线满足条件,此时1 的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在，设 1 的方程为y+l=k(x-2),即 k x-y-2 k-l=0.I-2 A ll由已知得7T=2,3解得k=4.此时直线1 的方程为3x-4y-io=o.综上可得直线1 的方程为x=2或 3x-4y-10=0.作图可得过点P与原点0 的距离最大的直线是过点P且与P0垂直的直线,如图.1/由 1JL0P,得 k kop=-1,1因为 kop=-2,1所以 ki=-%p=2.由直线方程的点斜式得y+l=2(x-2),即 2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点0 的距离最大的直线,最大距离为 存 有(3)由可知，过 点 P 不存在到原点的距离超过*的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6 的直线.C级应用创新练1 5.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y=?(x+l)上从左向右依次取点A k,B k(k=l,2,，其中A i是坐标原点)，使A k B k A g是等边三角形,则A nB o A u的边长是.经解析:直线y=T(x+1)的倾斜角为3 0 ,与x轴的交点为P(-l,0).又 A B A是等边三角形，所以 NPB A=90 ,所以等边 A B A的边长为1,经且 A 2 B 1 A 3 B 2 A iB.A zB i 与直线 y=w(x+l)垂直，故A 2 B 1 B 2,A 3 B 2 B 3,A B B,，A A.o B g B.o均为直角三角形，且依次得到A2B2=2,A 3 B 3 4,A|B 4=8,ASB 5=1 6,ASB 6=3 2,A 7B 7=64,A s B s=1 2 8,A 9B g=2 56,AK)BI O=51 2,故A iB o A u的边长是51 2.答案：51 2第2节圆与方程灵活笈 名 数 提 魁0选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练圆的方程1,4直线与圆的位置关系2,3,6,7,8,911A级基础巩固练圆与圆的位置关系5综合问题1 0,1 2,1 31 4,1 51.方程x2+y 2+2 x-4y-6=0 表示的图形是(D )A.以(1,-2)为圆心,旧为半径的圆B.以(1,2)为圆心,为半径的圆C.以(T,-2)为圆心，为半径的圆D.以(-1,2)为圆心，E为半径的圆解析：由 x2+y2+2 x-4y-6=0 得(x+l+(y-2 尸=1 1,故圆心为(-1,2),半径为 旧 故 选 D.2 .直线y=k x+l与圆x?+y 2=l的位置关系是(B )A.相切 B.相交或相切C.相交 D.不能确定解析：因为直线y=k x+l过定点(0,1),而(0,1)在圆x?+y 2=l上.故选B.3 .已知。0 的圆心是坐标原点0,且被直线x-对 y+6=o 截得的弦长为3,则00的 方 程 为(C )A.x2+y2=l B.x2+y2=2C.x2+y2=3 D.x2+y2=4向福解析：由题意，圆心到直线的距离(1=祸=妻，由几何法可知，1=，了2 2V=3,3 9代入数据可得r2-i=i所以d=3,所以圆的标准方程为x2+y2=3.故选C.4.圆(x+2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(B )A.x2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+y2=5C.x2+(y+2)2=5 D.(x-l)2+y2=5解析：因为所求圆的圆心与圆(x+2)?+y 2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称，所 以 所 求 圆 的 圆 心 为(2,0),半 径 为 有，故所求圆的方程为(x-2)2+y =5.故选 B.5.若圆 C i：x?+y 2=l 与圆 C 2：x2+y 2 6x 8y+m=0 夕 卜 切，贝！J m 等于(C )A.2 1 B.1 9 C.9 D.-1 1解析：圆C,的圆心为G (0,0),半径r,=l.因为圆C 2 的方程可化为(x-3 尸+(y-4)2=2 5F，所 以 圆 C 2 的圆 心为 C 2(3,4),半 径 =V 2 6 m 血 5).从而|C G|=8+，=5.由两圆外切得|C C|父+n,即 1+后 不=5,解 得 m=9.故选 C.6.圆x?+y 2=4上的点到直线4x-3 y+2 5=0的距离的取值范围是(A )A.3,7 B.1,9 C.0,5 D,0,3 解析:x?+y 2=4,圆心(0,0),半径 r=2,lAO+251圆心到直线4x-3 y+2 5=0的距离d-两 百 1 5,所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,最大值为5+2=7,所以圆上的点到直线的距离的取值范围为 3,7 .故选A.7 .(多选题)已知圆C:(x-3)、(y-3)2=7 2,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m 等于(A D )A.2 B.4 C.6 D.1 0解析：圆C:(x-3)2+(y-3)2=7 2 的圆心C的坐标为(3,3),半径r=6 )因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为2a，|6-m|万则有 d=E=2 V：解得m=2 或 1 0.故选A D.8 .直线 y=x+l 与圆 x2+y2+2 y-3=0 交于 A,B 两点，则|A B|=.解析：由 x2+y2+2 y-3=0,得 x2+(y+l)2=4.所以圆心C(0,T),半径r=2.|工 十1|万圆心C(0,-1)到直线x-y+l=o 的距离d=，百=V,所以|皿|=2厘=2g=20.答案：2 企9 .已知过点P(2,2)的直线与圆(x-l+y 2=5相切，且与直线x-a y+l=O平行，则 a=.解析：因为点P(2,2)在圆(x-l)2+y2=5上，所 以 过 点 P(2,2)与 圆(x-l)2+y2=5 相 切 的 切 线 方 程 为(2-1)(x-l)+2 y=5,即 x+2 y-6=0.由直线x+2 y-6=0与直线x-a y+l=0平行，得a=2.答案:-2B级综合运用练1 0.已知直线 1:1 +丫+4=0 0 口)是圆 C:x2+y-6 x+2 y+9=0 的对称轴，过点P(1,k)作圆C 的两条切线,切点分别为A,B,则三角形PA B的面积等于(D )里 丹 迪A.B.T C.T D.V解析：因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6 x+2 y+9=0的对称轴，所以直线kx+y+4=0过圆心C(3,T),即 3 k-l+4=0,k=-l,所以点 P(1,T),|PC|=2,因为圆C的半径r=l,所以切线长|PA|=|PB|P C I 2 T=yf3.1.且在直角三角形中s i nN A PC=s i nN BPC=i i=Z所以N A PC=N BPC=3 0,N A PB=6 0,所以三角形PA B的面积1迪S=2|PA|X|PB|s i nZ A PB=V.故选 D.1 1.圆x?+y 2+2 x-8=0截直线y=kx+l(k R)所得的最短弦长为(A )A.2 B.20 c.4/D.2解析:直线y=kx+l过定点(0,1),圆 x2+y2+2 x-8=0 可化为(x+l)2+y 2=3 2,故圆心为(-1,0),半径为r=3.因为(0+1)2+=2 3 2,所以点(0,1)在圆x2+y2+2 x-8=0内,又(0,1)和(-1,0)的距离为(一 1 二+(-1)2头根据圆的几何性质可知，圆 x+y2+2 x-8=0截 直 线 y=kx+l(k R)所得的最短弦长为N 乎 一 附 2卢故选A.1 2.从直线l:3 x+4y=1 5上的动点P 作圆x2+y2=l的两条切线,切点分别为 C,D,则四边形0C PD(0为坐标原点)面积的最小值是(B)A.B.2 代 C.2 *D.2解析：因为圆x?+y 2=1 的圆心为0(0,0),半径r=1,当点P 与圆心的距离最小时,切线长PC,PD 最小,此时四边形0C PD 的面积最小，所以圆心到直线3 x+4y=1 5的距离d=J P=3,所以|PC|=|PD|所以四边形0C PD 的面积S=2 X 21|p c|r=2*Y/2故选B.1 3.在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=l上存在一点M满足IM A|=2|M O|,则实数a的 取 值 范 围 是.解析：由题意得圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=l的圆心为(a,a-2),半径为1.设点M的坐标为(x,y),因为|M A|=2|M 0|,所以尸匚尸斤，整理得x?+(y-1 T=4,故点M的轨迹是以(0,1)为圆心,2 为半径的圆.由题意得圆C 和点M的轨迹有公共点，所以+解得0W a W 3.所以实数a的取值范围是 0,3 .答案：0,3 C级应用创新练1 4.过圆x2+y2=1 6 上的动点作圆C:x2+y2=4 的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（A ）3wA.JI B.2 C.2 D.3 J i解析:如图所示,过圆x2+y2=1 6 上一动点P 作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则|0P|=4,|0A|=|0B|=2,|PB|=|PA|I?T0 4 而 停OA 1贝 I s i nZ OPA=|o P|=z,且N OPA 为锐角，所以N 0PA=3 0,同理可得N 0PB=3 0,所以N A PB=6 0,则4A PB为等边三角形，连接0P交 A B于点M,因为0P为N A PB的角平分线,则M为A B的中点，所以OM L A B,且 N 0A B=9 0-Z PA B=3 0,1所以|0M|=5|0A|二L若圆C内的点不在任何切点弦上,则该点到圆C的圆心的距离应小于|0M|,即圆C内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1 的圆的内部，因此，圆 C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为冗故选A.1 5.过点 P(x,y)作圆 C,:x2+y2=l 与圆 C2：(x-2)2+(y-2)2=l 的切线,切点分别为A,B,若|PA|=|PB|,则 x?+y 2 的最小值为(B)A.a B,2 C,2 a D.8解析:如图所示，由圆的切线的性质得C i A lPA,C2BPB,在 Rt A PA Cb Rt Z kPBC z中有|PA2=P C 1-1,|PB|2=1P C2由题知|PA|=|PB|,所以|PG|=|PC 2 1，所以点P 在线段C.C2的垂直平分线上；由题知 C.(0,0),C2(2,2),所以G与C 2 的中点Q 的坐标为(1,1),2-0G与 C z所在直线的斜率为k尸有=1,-1所以P,Q 所在直线1 的斜率为k2=-l,所以直线1 的方程为y=-lX(x-l)+l,即 y=-x+2,点P(x,y)在直线y=-x+2上，所以点P的坐标满足y=-x+2,所以 x2+y2=x2+(-x+2)2=2X-4X+4=2 (x-1)2+2 2.故选 B.第3节 椭 圆A级基础巩固练 课时作业灵活笈 漕 敦 提 就（选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练椭圆的定义及其应用3,4,5椭圆的标准方程2,7,9椭圆的几何性质1,81 0,1 2,1 3直线和椭圆的位置关系61 1综合问题1 4,1 51 61.（20 1 8 全国I卷）已知椭圆C:+4=l的一个焦点为0）,则C的离心率为（C）1 1A.3 B.2 272C.2-D.V解析:因为a2=4+22=8,所以a=2件g 2 V2所以e=n=2=2-.故选C./T2.2 m 0,6-m 0,则有（m-2丰6-m,所以2 m 6,且m W4.故是“U+荔=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.3.已知椭圆而+瓦=1的左、右焦点分别为R,F 2,点P在椭圆上,若P,Fb F2是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点，则点P到x轴的距离为(c)9A.S B.39-D.-4苧F 6|+|P 0 I=8,解析：由题意知11】E+|P F 2|2=4 X 7,从而|P F i|P F 21=1 8.b0)相交于两点A,B,线段AB的中 点 为 则 椭 圆 的 离 心 率 是(A)1 y2 仃 3A.2B.委 C.T D.4弓丘 W 五 立当米解 析：设A(xb y i),B(x2,y2),则京+声1,4+声1,作差得h+k=0,即(叼-与)(1+2)(71-72)*(71+72)F +示 =0,两 边 同 时 除 以X,-X2即得n+f z 力 士2 Fl土2 3 2_ 2x(-+卞 叼F 0,因为 X1+X2=2,y,+y2=2,叼F=_&代入得层+F-=0,3 1所以a2”,e=2.故选A.7.设R,F2为椭圆C:+=l(ab0)的左、右焦点,经过E的直线交椭圆C于A,B两点,若ARAB是面积为4,3的等边三角形,则椭圆C的方程为.解析：由题意知，|AF2|=|BF2|=|A B|=|AF+|BF/，又由椭圆的定义知|AF21+|AF-二|BF2|+|BF=2a,联立,解得|A F2|=|B F2|=|A B|=3a,|A F,|=|B F.|=i a,所以S*2AB=.AB|.|A F2|s i n 6 0。=4 6，四 百所以 a=3,|F E|=2|A B|=2V,所以 c*所以 b2=a2-c2=6,所以椭圆C 的方程为3+X=i.H f.答案：9 +”l8.椭圆/+9=l(a b 0)的左、右焦点分别为R,F 2,焦距为2c.若直线y=6(x+c)与椭圆的一个交点M满足N M F E=2N M F 2F“则该椭圆的离J 心率为.解析：由y=*(x+c)知直线的倾斜角为6 0 ,所以 N M F F 2=6 0，/M F 2M=30。，所以 N F M F 2=9 0 .所以|M F =c,厢 2|=加以又|M F +|M F 2=2 a,所以 c+c=2 a,即 e=-1=-l.答 案:巴9.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆彳+石=1有相同的离心率且经过点(2,-/)；已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.z2 y2,x2解：由题意,设所求椭圆的方程为彳+石=3或彳+5=t 2(t I,t2 0),因为椭圆过点(2,-6)，兰(丽)2(7 5)2 至 25所以 t=4+M =2 或 t 2=4+3=12.H F故所求椭圆的标准方程为餐+彳=$i1或=+彳=1.由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为7+是1 (a b 0)或d+=l(a b 0),1 2 a=5 +3,由已知条件得=5 2-3 2 解得 a=4,c=2,所以=1 2.故椭圆方程为6+方=1或记+石=1.B级综合运用练1 0.已知椭圆GP+诺 1 (a b 0)与圆c2:x2+y2=b2,若在椭圆G上存在点P,使得由点P 所作的圆C 2 的两条切线互相垂直,则椭圆G的离心率的取值范围是(C )1 四血A.2,1)B.T,T 四”C.T,1)D.T,1)解析:从椭圆上长轴端点P 向圆引两条切线P A,P，B,则两切线形成的N A P B 最小.若 椭 圆 G上 存 在 点 P,所 作 圆 C 2 的两条切线互相垂直，则只需N A P B W 9 0 ,g p a=ZA Pz 0 W 4 5 ,fc0所以 si n a =a W si n 4 5 =2.又 b2=a2-c2,1 在所以a22 c2,所以e?A,即又 0 e b 0)的左焦点,A,B分别为 C的左、右顶点.P为 C上一点,且P F x 轴.过点A的直线1 与线段 P F 交于点M,与 y 轴交于点E.若直线B M 经过0 E 的中点,则C的离心率为(A )3-42-3 DC1-2B.1-3解析：由题意知过点A的直线1的斜率存在且不为0,故可设直线1的方程为 y=k (x+a),当 x=-c 时，y=k (a-c),当 x=0 时，y=k a,所以M(-c,k(a-c),E(0,k a).如图，设 0 E 的中点为 N,则 N(0,5),由于B,M,N 二点共线,所以1 b 0)上一点,件,F z 是椭圆的左、右焦点,焦距为2 c(c 0),若N F F F 2 是直角,则(A B C )A.|0 P|=c(0 为原点)C.F 1 P F 2 的内切圆半径r=a-c解析:R S F F F z 中,0 为斜边FE的中点，所以|0 P|6|F F 2 1=c,故 A正确；设 I P F i|=m,|P F 2 1=n,则有 m2+n2=(2 c)2,m+n=2 a,所以 m n=2 (m+n)2-(m2+n2)=2 b2,所以1 r lq?,故 B正确；S、1 苍g1pF2 42 2(fl?-C2)F1P F2=2(m+n+2 c)r=b r =m+H-2c=2a+2c=2(B+C)=a-C,故 C 正确；(P F,|=a+c,当且仅当P 为椭圆右顶点,此时P,Fb F 2 不构成三角形,故D错误.故选A B C.HF 更1 3.(多选题)已知椭圆C:?+是 l(a b O)的离心率为了，点M(2,1)在椭圆 C上，直线1 平行于0 M 且在y 轴上的截距为m,直线1 与椭圆C交于 A,B 两个不同的点.下面结论正确的有(A B C )A.椭圆H t.C的方程为8+2=1B.k()M=2C.-2 m 0,解得所以 C 正确,D 错误.故选 A B C.1 4 .(2 0 2 1 全国甲卷)已知F/2 为椭圆C：16+彳=1 的两个焦点,P,Q 为C上关于坐标原点对称的两点,且|P Q|=E F 2|,则四边形 P F Q&的面积为.解析:因为P,Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点,且IP Q|=I FEI,所以四边形P F Q F 2 为矩形，|P F i|=m,|P F2|=n,则 m+n=8,m2+n2=4 8,所以 64=(m+n)=m2+2 m n+n2=4 8+2 m n,所以m n=8.答案：81 5 .椭圆C:7+丁 =1 (a b 0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=N|BF|.(1)求椭圆C的离心率；若斜率为2 的直线1 过点(0,2),且 1 交椭圆C 于P,Q 两点,O P O Q,求直线1 的方程及椭圆C的方程.解：由 已 知|AB|=G|BF|,即4a2+4但-c2)=5a2,所以 3a2=4C：f丹所以 e=a=2./(2)由 知a2=4b2,所以椭圆C:d+是1.设 P(xb yi),Q (x2,y2),直线1的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.2x-y+2=0,:+=1由I tt2 b2-消去y,W x2+4(2x+2)-4b2=0,即 17x2+32x+16-4b2=0.zVf?A=322+16 X 17(b2-4)0,解得32 16-4 fr2Xi+x2=-17,X 1X2=17.=2 a,4a2+4b2=5a2,因为0PJ_0Q,所以OP.OQ=0,即 XiX2+yiy2=0,XiX2+(2xi+2)(2x2+2)=0,5xix2+4(xi+x2)+4=0.SdfiTi2)卫从而17-17+4=0,2V17解得b=l,满足b-iF.所以椭圆C的方程为彳+y2=l.综上可知,直线1的方程为2 x-y+2=0,椭圆C的方程为彳+y2=l.C级应用创新练1 6.已知椭圆C的方程为了+父=1,斜率为k(k W O)的直线与C相交于M,N两点.3 若G为M N的中点，且嘘=-碣求椭圆C的方程；1(2)在(1)的条件下，若P是椭圆C的左顶点,k k pN=1,F是椭圆的左焦点,要使F在以M N为直径的圆内，求k的取值范围.解：设M(x1,y,),N(x2,y2),M N的中点G(x。,y。)，代入椭圆方程得ff11-无3於3+vnKa1 21 +3 =0,7172 3 i+*2 3 2 x0 3 上可得 k=I 1 _I2=-2 FI+TJ=-B2 2 yo=-加 二k,3羽 3 U因为限=-*=%,所以-金（-3 ）=k,-得5 d72）（7 1 7 2）所以a M,V f.椭圆C的方程为 3 =1.(2)设MN方程为y=k x+m,+4：尸=12,则 I y=kx+m,(3+4 k2)x2+8 k mx+4 m2-1 2=0,4m212X i+x?：*2,X|X2=升I k2,-8km 6mY i+y2=k(X i+x2)+2 m=k ,+2 m=a+J*t2,yi ,y2=(k xi+m),(k x2+m)=kJX|X2+k m(X i+x2)+mJ4m2-12-=k2 iMk2+k m(升*/)+m2Sm-VZk2=3+4t2,yi h yi yz yi 2k p 1 k pN=+2 *2+2=d+2)(2+2)=1-X2+2 Ut+2)-H=4m2-16km+l*2=-4,解得m=2 k (舍去)或m=-k,若F在以MN为直径的圆内，贝 产,一,=(xi+l,yi)(X 2+I,y2)=X i X2+x1+x2+l+yi y2 0,3-建 8tm 3m2-12i2升ft2-计I t2+计4 JP-+1 0,即 4 k2-1 2+8 k2+3 k2-1 2 k2+3+4 k2 0,3相 37即7 k-9 0,且k W O,解得一亍 k亍,且k W O.所以k的取值范围为（-3T/7 3V 77,0)U (0,V).第4节 双 曲 线课时作业 选题明细表灵法寺发漕致提保知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练双曲线的定义及应用3,4双曲线的标准方程8,9双曲线的几何性质1,2,5,61 2,1 31 4综合问题71 0,1 11 5A级基础巩固练1.经过点M（2怖,2曲）且与双曲线不一万=1有相同渐近线的双曲线方程是（D ）A.1 8 1 2=1 B.1 2-1 5=1C.i12=l D.12-18=1解析:设所求双曲线的方程为5-五=人,将点M（2件2 4）代入得(2A2(2V S)3-r-入，2解得人=-6,所以双曲线方程为正值=1.故选D.x2 y2 x2 y22.若实数k满足0k9,则曲线元-限i=l与曲线云工-城=1的（D ）A,离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D,焦距相等解析：由0 k 0,b 0）的左、右焦点分别为Fb F 2,点P在双曲线的右支上，若|P F i H P F z|=4 b,且双曲线的焦距为2*,则该双曲线的方程为（A ）A.T-y2=l B.3-2=1/C.X-4=l D.2-3 =1r|PF1|-|PF2|=2a=4b,jc2=a2+,解析：由题意可得（加=2倔，产=4,.解得S2=1，则该双曲线的方程为彳 y2=l.故选A.4.已知双曲线-y2=l的左、右焦点分别为F i,F z,点P在双曲线上,且满足|P F+|P F 2|=2*,则P F E的面积为（A ）A.1 B,V3 C.Vs D.2-解析:在双曲线9-y2=l中,a=/,b=l,c=2.不妨设P点在双曲线的右支上，则有|PFIHPF2=如=2 6,又|P F 1+1 P F 2|=2“，所以I p昨 痛 巴|PF2|=如-6又|FF21=2C=4,而|P F 1 2+|P F 2|2=|F E|2,所以 P F-P F 2,所以S *F21X|P F 1|X|P F2|=Z X *+百）x（恒 曲）=1.故选A.5.已知双曲线C:=l（a 0,b 0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若NMA N=60,则双曲线C的离心率为（A ）A.3 B.2 V C.D.2解析:双曲线C:=l（a 0,b 0）的右顶点为A （a,0）,以A为圆心,b为半径作圆A,圆 A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.且若NM A N=60,可得A到渐近线b x+a y=O 的距离为b c os 3 0 =T b,I*福可得 2 b,福即G可得离心率为e=w.故选A.6.已知双曲线C:7-9 =1（a 0,b 0）的右焦点为F,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以0A 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B,若BF0A,则双曲线C 的离心率为（A ）晅 近 6A.3 B,C.D.2解析：因为A F_L0F,所以点F 在圆上.又 BF0A,所以 NA 0F=N0FB,而 NA 0F=NB0F,所以0BF是等腰三角形，所以 Z 0A B=Z BA F=Z B0F=Z A 0F.又因为 N O A B+Z BA F+Z A 0F=9 0所以 NA 0F=3 0,所以*=t a n 3 0 =3,所以 e=Y 7 =T.故选 A.7.（多选题）（2 02 1 广东深圳一模）设 FF2分 别 是 双 曲 线 C:/T2百三二;二 1 的左、右焦点，且|FR|=4,则下列结论正确的有（A C ）A.m=2B.当n=0时,双曲线C的离心率是2C.迪到渐近线的距离随着n 的增大而减小D.当n=l时,双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍解析:对于选项A,由双曲线的方程可得a2=m+n,b2=m-n,所以 c2=a2+b2=m+n+m-n=2 m,因为2 c=4,所以c=2,所以c =2 m=4,可得m=2,故选项A 正确；对于选项B,当 n=0时,双曲线C:2-2=1,此时a2=b=2,c2=4,所 以 离 心 率 故 选 项B不正确;/J2对于选项C,在双曲线C:本-百=1 中，由选项A 知，m=2,a2=2+n,bb2=2-n,且双曲线的渐近线方程为y=土最，不妨取焦点F1（-2,0）,则件到渐近线的距离d=b=V,所以B 到渐近线的距离随着n 的增大而减小,故选项C正确；对于选项D,当n=l时,a 2 +1*b=伤互=1,所以实轴长为2雷,虚轴长为2,不满足双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍,故选项D不正确.故选A C.8.（2021 广东汕头高三一模）写一个焦点在y 轴上且离心率为相的双曲线的标准方程解析:取c=6,则 e=b,可得a=l,所 以 产 运 虚，Z2因此,符合条件的双曲线的标准方程为y2-2=l.x2答案:y2-万=1（答案不唯一，符合要求就可以）9.（2021 辽宁铁岭高三一模）已知双曲线与椭圆而+片=1 有相同的焦点,且双曲线的渐近线方程为y=x,则此双曲线的方程为解析：由题意得椭圆焦点为(土,0),所以C*,日亡设双曲线的方程为7-是 l(a 0,b 0),b 1则J h _ 1 3 1(Q.=3,由 Q2 +反=，=10,解得 1b=Lz2所以双曲线的方程为万-y2=l.日答案:G-y2=lB级综合运用练10.(多选题)已知双曲线C:7-9=l(a 0,b 0)的左焦点F(T,0),过 F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A,B 两点,0 为坐标原点，A A 0 B 的3面积为&则下列结论正确的有(A BD)堂A.双曲线C的方程为4X2-T=1B.双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60C.F 到双曲线C的渐近线的距离为 由D.双曲线C的离心率为2解析:因为双曲线的左焦点为F(-1,0),所以c=l,又因为过F 与 X 轴垂直的直线与双曲线交于A(-1,),B(-1,-T),1 Zh2 3所以A A O B的面积为S=2 X 1X V=2,贮-即匚=5,又 a2+b2=c2=l,1 3所以 a=2,b-*,所以双曲线C的方程为4X2-T=1,故A正确；则双曲线C的渐近线方程为y=土机x,所以两渐近线的夹角为60 ,故B 正确；里F 到双曲线C的渐近线的距离为d=T,故C 错误；C 1双曲线C的离心率为e=Z：=2,故D 正确.故选A BD.11.(多选题)已知双曲线C:k G=1 的左、右两个焦点分别为F/2,直线 y=kx (kW O)与C 交于A,B 两点,A Ex 轴，垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是(A C )A.四边形A F1BF2 为平行四边形B.Z F!P F29 0解析:如图,双曲线C 关于原点对称,又直线y=kx 过原点，所以A,B 关于原点对称，由10A|=10B|,|O F=|O F2 1得四边形A F,BF2为平行四边形,A 正确；当 k-0,P 点趋近于右顶点，此时NFFF2 趋近于平角，因此不可能有NFFF2 9 0 ,B 错误;设 A (x o,y0),则 B(-x o,-y0),由 A Ex 轴知 E(x o,0),k=x,o-(-yo)yo 1而 kRi-*o-(-*o)=2 zo=：2 k,C 正确；A P B 中，Z A P BZ A EBZ A E0=9 0,因此NP A B0,b 0)的右焦点,直线y=kx(k0)与 E 交于不同象限内的M,N两点，若 M F_LNF,设/施=，且 6 运句，则该双曲线的离心率的取值范围是(D)A.佟 我+叫B.得 C.2,倡 逐 D.混 百+1解析:如图，设左焦点为F,连接MF,N F,令 I MF|=n,|MF，|=r2,则 I NF|=|MF|=n,由双曲线定义可知r2-ri=2a,因为点M与点N关于原点对称,且MF1NF,所以|OM|=|ON|=|OF|=c,所以4+吆4c2,由得nn=2(c2-a9.又知 SAMN R 2SAMOF,所以2rg=2 2c2,sin 2 6,所以 c2-a2=c2 sin 2 6,所