昆明理工大学概率论课后习题答案1、2、3、4、8章习题解答.pdf

第一章思 考 题1 .事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2 .医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死”，医生的说法对吗？为什么？3.圆周率万=3.1 4 1 5 9 2 6 是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位，这个记录保持了 1 0 0 0 多年！以后有人不断把它算得更精确.1 8 7 3年，英国学者沈克士公布了 个万的数值，它的数目在小数点后 共有7 0 7 位之多！但几十年后，曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.他统计了力的6 0 8 位小数，得到了下表：数字01 23456789出现次数6 0 6 2 6 7 6 8 6 4 5 6 6 2 4 4 5 8 6 7你能说出他产生怀疑的理由吗？答：因为乃是个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等,或它们出现的频率应都接近于0，但 7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4 .你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？5 .两 事 件 A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？6 .条件概率是否是概率？为什么？习 题一1.写 出 下 列 试 验 下 的 样 本 空 间：(1)将-一枚硬币抛掷两次答：样 本 空 间 由 如 下 4个 样 本 点 组 成 Q=(正，正),(正，反),(反，正),(反,反)(2)将两枚骰子抛掷一次答：样 本 空 间 由 如 下 3 6 个 样 本 点 组 成 C=(i,j)L j=1 2 3,4,5,6(3)调 查 城 市 居 民(以 户 为 单 位)烟、酒的年支出答：结 果 可 以 用(尤，y)表 示，x,y分 别 是 烟、酒年支出的元数.这时，样 本 空 间 由 坐 标 平 面 第 一 象 限 内 一 切 点 构 成.Q=(x,y)|x 0,y 0 2.甲，乙，丙三人各射一次靶，记 4-“甲中靶”B-“乙中靶”C-“丙中靶”则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶，：(3)“三人中只有丙未中靶”：(4)“三人中恰好有一人中靶”:(5)“三人中至少有一人中靶”:力；AB;ABC-,A B C U A B C U B C;A U B U C;(6)“三人中至少有一人未中靶”:(7)“三人中恰有两人中靶”：(8)“三人中至少两人中靶”：(9)“三人均未中靶”：(1 0)“三人中至多一人中靶”：(I I)“三人中至多两人中靶”：A U B U C;s g A B C;ABCUABCUABC-,力 8 U A C U B C;ABC-,ABC U ABC U ABCU ABC;而不;或XU万U3；3 .设4B是 两 随 机 事 件，化 简事件(1)(1 U B)(A U B)(2)(彳U 万)(4 U 万)解：(1)(彳U B)(A UB)=1B U A B U 8 =B ,(2)(彳U万)U U B)=彳万UA万U万=(彳U A U Q)B =B .4 .某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9 这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：P =T=0 3 0 2 4.1 055 .张奖券中含有?张 有 奖 的，&个 人 购 买，每 人 一 张，求其中至少有一 人 中 奖 的 概 率。解法一：试验可模拟为m个红球，“-，”个白球，编上号，从中任取左个构成一组，则rk总数为c：,而全为白球的取法有C L,种，故所求概率为1-4。解法二：令 儿 一 第，人中奖，i =l,2,.k,B 一无一人中奖，则 8 =4月 4，注意到4，4,工不独立也不互斥：由乘法公式P(B)=P0)P(%)P(/凡)P(%4/n-m (n-m-2)(n-m-k +),C：,C*=-同 除 k!T。,故所求概率为1-口n n-1 n-2 n-k +=C*C；6 .从 5双不同的鞋子中任取4只，这 4只鞋子中“至少有两只配成一双(事件A)的概率是多少？7 .在 -1,1 上 任 取 一 点 X ,求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过 的 概 率.解：此为几何概率问题：。=-1 川,所求事件占 有 区 间 从 而 所 求 概 率 为 尸=L5 5 2 58.在 长 度 为。的 线 段 内 任 取 两 点，将 其 分 成 三 段，求它们可以构成一个三 角 形 的 概 率。解：设 一 段 长 为 x,另一段长为y,样本空间Q:0 c x a,O y a,O x +y。，所求事件满足:0 x 2Aa。(a-x-y)V 1从而所求概率=3 3 =LS O A R 49.从 区 间(0,1)内 任 取 两 个 数，求这两个数的 乘 积 小 于 1的 概 率。4解：设所取两 数 为 X,匕 样 本 空 间 占 有 区 域 C,两 数 之 积 小 于 l：xy0且尸(BUC)=*,求尸(AU8).8解：依 题意尸(A8)=0且尸(A8)=P(A)尸(8),因 此 有 P(A)=O.又因P(B+C)=P(8)+尸(C)-P(B)P(C)=3 尸(C)-2P(C)2=-,解方程82fP(C)2-3P(C)+-=08P(C)=L,P(C)=3 舍 去 =P(B)=，P(4U 8)=尸(A)+P(B)-P(AB)=P(B)=0.5.4 4 217.设 A 是 小 概 率 事 件，即 P(A)=e 是 给定的无论怎么小的正数.试证明：当 试 验 不 断 地 独 立 重 复 进 行 下 去，事 件 A迟 早 总 会 发 生(以 概 率 1 发 生).解：设 事 件 A,一 第i次 试 验 中 A 出 现(i=1,2,，)，,/P(4)=,P(1)=l-,(i=1,2,，)，；.次 试 验 中，至 少 出 现 A 一次的概率为P(A U A 2 U U A“)=1 -2(A,U A2 U-UA)=1-P(T 用 4)=1-P(1).P(无).P(Q(独立性)=1-(1 3l i m P(&U A,U i U A“)=l,证毕.n oo18.三 个 人 独 立 地 破 译 一 密 码，他 们 能 单独译出的概率分别是5 3 4求 此 密 码 被 译 出 的 概 率。解:设A,B,C分别表示 第一、二、三人译出密码,D表示 密码被译出,则P(O)=P(A U 8 U C)=1 -P(4 U 8 U C).4 2 3 3=1 -P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1 5 3 4 51 9.求 下 列 系 统(如 图 所 示)的 可 靠 度，假 设 元 件i的 可 靠 度 为 化，各元 件 正 常工作或失效相互独立(2)解：(1)系 统 由 三 个 子 系 统 并 联 而 成，每 个 子 系 统 可 靠 度 为 P 1 P 2 P 3，从而所 求 概 率 为 1-2 P 3)(2)同理得 l-(l-p2)3.2 0 .三 台 机 器 相 互 独 立 运 转，设 第 一，第 二，第三台机器不发生故障的概率 依 次 为 0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.解：设4 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，仁 一 第 一 第 三 台 机 器 发 生 故 障，一第一第三台机器 发 生 故 障，。一 三 台 机 器 中 至 少 有 一 台 发 生 故 障，则P(AI)=0.1,P(A 2)=0.2,P(A 3)=03，故尸(。)=P(A U B U C)=1 -P(A U B U C)=1-P(A B C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.9X0.8X0.7 =0.4 9 62 1 .设 A、B 为 两 事 件，P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(%)=0.4,求 P(A U 8).解:由尸(%)=0 4得H=0.4,P(l 8)=0.1 2,.P(A B)=P(B)-P(l B)=0.4 8,尸(A)尸(A U 8)=尸(A)+P(3)P(A 8)=().8 2.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设 A某种动物由出生算起活到2 0 年以上，P(A )=0.8,8某种动物由出生算起活到2 5 年以上，)=0.4,则所求的概率为P(%)=尸%)=尸(4 8 )/(8 )/(A )一尸(A )2 3.某 地 区 历 史 上 从 某 年 后 3 0 年 内 发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 8 0%,4 0 年内发 生 特 大 洪 水 的 概 率 为 8 5%,求已过去了 3 0 年 的 地 区 在 未 来 1 0 年内发生特 大 洪 水 的 概 率。解：设 A某 地 区 后 30 年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(4)=0.8,B某 地 区 后 4 0年 内 发 生 特 大 洪 灾，P(B)=0.8 5,则所求的概率为P(瓦4 _ _ P(万)_ _ 0.1 5P(A)P(A)0.22 4.设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。1)问取到白球的概率是多少？2)假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设 A：取到白球，B：从甲球袋取白球_ _74 431)P(A)=P(A/B)P(8)+P(A/B)P(8)-+-二=5/96 6 6 62)=嗡=2/52 5、一 批 产 品 共 有 1 0 个 正 品 和 2个 次 品，任 取 两 次，每 次 取 一 个，抽出后 不 再 放 回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设8,表示第i 次抽出次品,(i =1,2),由全概率公式P(B?)=P(幻 P(%)+P(瓦)尸(%)=,：+去；.2 6 .一批晶体管元件，其中一等品占9 5%,二等 品 占 4%,三等 品 占 1%,它们能工作5 00力的概率分别为9 0%,8 0%,7 0%,求任取一个元件能工作5 00以上的概率.解：设 与=取到元件为i 等品 (i=l,2,3),A =取到元件能工作5 00小时以上则 P(Bj =9 5%,P(B2)=4%,P(B,)=1%)=9 0%,P(%)=80%,P%)=7 0%=9 5%-9 0%+4%-8 0%+1%-7 0%=0.8 9 42 7 .某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占4 0%,3 5%和 2 5%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.6 5,0.7 0和 0.8 5,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以,分 别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A=抽到优等品,则有:P(B,)=0.4,P B2)=0.3 5,=0.2 5,P (%)=0.6 5,P(A)=)=0.8 5 所求概率为P(4).由全概率公式得:=0.6 5 x 0.4 +0.7 X 0.3 5 +0.8 5 x 0.2 5 =0.7 1 7 5.p(8/)=P(8 C)=P(8 (A 叫)=。2 6/k P(A)P(A)-0.7 1 7 5=0.3 6 2 42 8 .用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.9 5；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.9 0.如果根据以往的统计,某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A=检 查 结 果 为 阳 性,B=癌 症 患 者 .据 题 意 有P (%)=0.9 5,P(%)=0.9 0,P(B)=0.0005,所求概率为 P (%).产(%)=0.1 0,p (万)=0.9 9 9 5.由 B a y e s 公式得尸(%)=P(8)P()+P()P(%)0.0005 x 0.9 50.0005 x 0.9 5 +0.9 9 9 5 x 0.1 0=0.004 7 =0.4 7%2 9 .3个射手向-敌机射击，射中的概率分另I 是 0.4,0.6 和 0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.(1)求敌机被击落的概率；(2)已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A=敌机被击落,B；=i 个射手击中,i=l,2,3.则明50 1互不相容.由题1 1 O意知：P3)=1,由于3 个射手射击是互相独立的，所以P(A)=0.4 x 0.4 x 0.3 +0.6 x 0.6 x 0.3 +0.6 x 0.4 x 0.7 =0.3 2 4P(B2)=0.4 x 0.6 x 0.3 +0.4 x 0.7 x 0.4 +0.6 x 0.7 x 0.6 =0.4 3 6P(B3)=0.4 x 0.6 x 0.7 =0.1 6 8因为事件A能且只能与互不相容事件B ,B9,B.之一同时发生.于是J L 乙 J(1)由全概率公式得p(A)=X P(B,)P(AB)=0.3 2 4 x 0.2 +0.4 3 6 x 0.6 +0.1 6 8 x 1 =0.4 9 4 4(2)由B a y e s公式得3 0.某厂产品有7 0%不需要调试即可出厂，另3 0%需经过调试，调试后有8 0%能出r,求(1)该厂产品能出厂的概率；(2)任取-出厂产品未经调试的概率.解：A需经调试 N不需调试 B出厂则 P(A)=3 0%,P(A)=7 0%,P(B I A)=8 0%,P(B I A)=1(1)由全概率公式:P(B)=(4 P(%)+P(彳)P(%)3 0%x 8 0%+7 0%x 1 =9 4%.(2)由贝叶斯公式：尸(%)P(彳8)_ 尸(A P(号)_ 7 0P(B)3 1 .进 行 一 系 列 独 立 试 验，假 设 每 次 试 验 的 成 功 率 都 是p,求在试验成功2次之前已经失败了 3次的概率.解：所求的概率为4 P 2(1-p K32.1 0 个 球 中 有 一 个 红 球，有 放 回 地 抽 取，每 次 取 一 球，求直到第次才 取k次 出4)红球的概率。解：所 求 的 概 率 为 匕 借 33.灯 泡 使 用 寿 命 在 1000h以上的概 率 为 0.2,求 3 个 灯 泡 在 使 用 1000h后，最 多 只 有 一 个 坏 了 的 概 率。解：由二项概率公式所求概率为6(0)+6=0.23+C(0.2)2-0.8=0.10434.(B a n a c h 问 题)某 人 有 两 盒 火 柴，每盒各有根，吸 烟 时 任 取 一 盒，并 从 中 任 取 一 根，当 他 发 现 有 一 盒 已 经 用 完 时，试 求：另 一 盒 还 有，根的概 率。解：设 试 验E一 从 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒，A一取 到 先 用 完 的 哪 盒，P(A)=L,2则 所 求 概 率 为 将E重 复 独 立 作2 -次4发生次的概率，故所求的概率为必_()=第二章思 考 题1 .随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入，使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来,其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3 .除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型.例：设随机变量X U 0,2 ,令x,0 x 1;g6(x)=1,1 X 2.则随机变量y =g(x)既非离散型又非连续型.事实上，由y =g(x)的定义可知y只在 o,i 上取值，于是当)，o时，Fy(y)=o ；y N l时,Fr(y)=l；当04y 1 时,耳(y)=P(g(X)W y)=P(X于是0,y 0;Fr(y)=1,O y 0 ,若用X表示灯泡的寿命(小时)，则X是定义在样本空间。=2 0 上的函数，即X =X(r)=f是随机变量.2.一报童卖报，每 份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：报童赔钱 O 卖出的报纸钱不够成本,而 当0.15 X 1000 X 0.1时，报童赔钱，故 报童赔钱 =X 6 6 6 3 .若P X =1-夕，P XN xJ=l-a,其 中 王 ，求产 芭4丫 .解：P xt X x2 =P X x2-P X x=P X x,=l-a-/7.0,x 04.设随机变量X 的分布函数为F(x)=，,O W x 1试 求(l)px g(2)p|-l X (3)p j x|(2)p|-l X|j =F()-F(-l)=-O =；（3）小*-小 1一 吗）5 .5个 乒 乓 球 中 有 2 个 新 的，3个 旧 的，如 果 从 中 任 取 3个，其中新的乒乓球的个数是一 个 随 机 变 量，求 这 个 随 机 变 量 的 概 率 分 布 律 和 分 布 函 数，并画出分布函数的图形.解：设 X表 示 任 取 的 3个 乒 乓 球 中 新 的 乒 乓 球 的 个 数，由 题 目 条 件 可 知，X的所有可能取值为 0,1,2,；P X=0 =4 =,，P x=l =卑=9，P X=2 =与=C/10 C/10 cl 10.随机变量X的 概 率 分 布 律 如 下 表 所 示：由尸(x)=Z A可求得尸(X)如下：0乙、P X=0r(x)=P X=0 +P X =1 P X=0 +P X =1 +P(X =2X012P0.10.60.3,0 x l 外,l x 20,x 00.1,0 x l0.7,l x2形如图所示.6 .某 射 手 有 5发 子 弹，射 击 一 次 命 中 率 为 0.9,如果他命中目标就停止射击，命不中就一 直 射 击 到 用 完 5发 子 弹，求 所 用 子 弹 数 X的概率分布解：X12345p0.90.090.0090.00090.00017.-批 零 件 中 有 9个 合 格 品 与 3个 废 品，安 装 机 器 时，从这批零件中任取一 个，如 果 每 次 取 出 的 废 品 不 再 放 回，求 在 取 出 合 格 品 之 前 已 取 出 的 废 品 数的分布律.解：设 无=第i 次取得废品,A,=第i 次取得合格品,由题意知，废品数X的可能值为 0,1,2,3,事件 X=0 即为第一次取得合格品，事件 X=l 即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有9P X=0 =P(A j)=0.75,P X=1 =P(A,)尸(P X =2二2 A 2A3)=P(A2P(P X=3)=P(4,A243A4)=P(4()P(31 2X 0.0045/)/小9 0.2045,441 1 1 09=-x 0.0409220P()1 2 1 1 1 0 9 220所以X的分布律见下表9_X0123p0.750.20450.04090.00453 22 98 .从1-1 0中 任 取 一 个 数 字，若 取 到 数 字 i(i =l 1 0)的 概 率 与，成正比，即p(X =i)=ki ,(i =l,2,1 0),求 k.1()解：由 条 件 P(X=i)=ki ,(i =l,2,1 0),由 分 布 律 的 性 质ZP；=1 ,应有i=lIO,ki =l,k=vi=l 9.已知随机变量X 服从参数/I =1 的泊松分布，试满足条件P X N =0.01 的自然数 N.解：因为X p(l),px y =0.01 所以p x N =0.99从而N px N =Z=0 99k=o%!查附表得N=410.某 公 路 一 天 内 发 生 交 通 事 故 的 次 数X服 从 泊 松 分 布，且一天内发生一次 交 通 事 故 的 概 率 与 发 生 两 次 交 通 事 故 的 概 率 相 等，求一周内没有交通事故发生的概率.e解：设X P(4),由题意：A eA.P(X=1)=P(X=2),下/1 =不/12,解得2=2,所求的概率即为-2P(X=0)=2n=e 10!11.一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，X-B(IOO,),所求1000的概率即为P(X=O),P(X=1),P(X=2)三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=100 x=0.1,根据Poisson分布的概率分布近似计算如下:1000P(X 3),贝lJp=P(A)=2,令 表示三次重复独0，其余 3立观察中4出现次数，则丫 8m,故所求概率为p(y 2)=c；13.设某种传染病进入一羊群，己知此种传染病的发病率为2/3,求在50头己感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为 次试验，发病率p=2/3,不发病率4=1/3,由于 对 5 0 头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为5 0 次重复独立试验，设 50头羊群中发病的头数为X,则 XX 8(50,2/3),X 的分布律为px=攵 =伏=0,1,2,50)1 4.设随机变量X的 密 度 函 数 为 p(x)=，2 x,0,0 x 1其它用 y表 示 对 x的3次独 立 重 复 观 察 中 事 件 X 4；出 现 的 次 数，求 P y =2.I1 2 J解：Y B(3,p),p=P X 0,试 求：0,x 0(1)、未 知 系 数 a；(2)、X的分布函数尸(x)；(3)、X在 区 间(0)内取A值的概率.解：(1)由 ax2e dx=1 ,解得.J)2(2)F(x)=P(X 0 时，尸(x)=ax2e-Axdx=1-(22x2+2 Ax+2),A2l-(2 V+2 A x +2),x 0/(x)=J 20,x 0(3)P(O X 2 ,故 所 求 的 概 率 为 PX 2=-.17.知随机变量X 服 从 正 态 分 布 N(a,a2)，且 丫 =aX+b 服从标准正态分布N(0,1),求 a,b.解：由题意a2+b=0z 八、22 ()a-a=1解 得：a ,b 118.已 知 随 机 变 量 X 服从参数为义 的 指 数 分 布，且 X 落 入 区 间(1,2)内的 概 率 达 到 最 大，求人令解：P(l X l)-P(X 2)=e-g(2),令 g(4)=0,即J-2e&=0,即1-2=0,A A=In 2.19.设随机变量 X N(l,4),求尸(0 4 X 1.6),P(X 1).0-1 1 6-1解：P(0X 1.6)=P(-X -)221 6-1 0-1=(D()-0(-)=0.30942 21-1P(X 1)=0()=0(0)-0.5.220.设电源电压X N(220,25?)，在 x 4 200,200 X 240电压三种情形下,电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2,求：(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电压在200 240伏的概率解：设4 =(X 4200),4=(200 2 4 0),。一 电子元件损坏，则(1)”，4,%完备,由全概率公式a=P(O)=P P(%)+P(&)P%)+P(4)P(%J,今/(4)=1 0 0；220)=例 _ 0 8)=_ 皿 08)=0.212,同理)=(0.8)-(-0.8)=20(0.8)-1=0.576,P（A3）=1-0.212-0.576 =0.212,从而a=P（）=0.0 6 2.(2)由贝叶斯公式一(9七21.随机变量X的分布律为X-2-1013P5J_6 _5115113 0求 y =x 2 的分布律X20149解P573 0 _5113 022.变量X服 从 参 数 为 0.7的 0 1 分 布，求 X z 及 X 2-2 X的概率分布.解.X的分布为X01P0.30.7易 见，X?的 可 能 值 为 0 和1 ;而 X?-2 X的 可 能 值 为-1 和0,由于P X2=u=P X =u(M=0,1),可 见 X?的概 率 分 布为:X201P0.30.7由于 P X 2-2X =-l =P X =1 =0.7,P X2-2 X=0=P X=0 =0.3 ,可得 X 2-2X 的概率分布为X2-2 X-10P0.70.323.X 概 率 密 度 函 数 为 匚 丁，求 Y=2 X的 概 率 密 度 函 数 九(y).乃(1+X )解:y=2 x 的反函数为x=,2代 入 公 式 得 右 寸 后）即24.设随机变量X U 0,2 ,求随机变量y=X2在（0,4）内概率密度力（），）.解 法 一（分布函数法）当y 4 时 6（），）=1,当0 4 y 4 4 时,Fy（）=P（X 4 7 7）=Fx（初从而/，（）.）=卜木=木3”0，其余解 法 二（公式法）y=x2在（0,2）单增，由于反函数x=6在（0,4）可导，xv=3,从而由公式得0，其余2 5.fx（x）=e，X 求丫=*的密度.0,x 0,故y l,当 y l 时，K（y）=P（X）=Fx（iny）,fx（ln），）；=e 0,力（y）1 1,y1解 法 二（公式法）y=的值域（L+oo）,反函数x=l n y,故6（,）=卜0 帆力=十八10,y 126.设 随 机 变 量 X 服 从（0,1）上 的 均 匀 分 布，分 别 求 随 机 变 量 y=e、和Z=|lnX|的 概 率 密 度 力(y)和 启/).1,若 0 x 10,其它(1)函数y=，有唯一反函数，x=l n y,且l y e,故,、fx d n y )|(l n,y)|y e V.y 0,从f z(Z)=广)仁),其它.27.设 fx(x)为 X 的密度函数，且为偶函数，求证-X 与 X 有相同的分布.证：即证y=-x 与 X 的密度函数相同，即人()=仃)证 法 一(分布函数法)K()=尸(-X -y)=l-P(X)!(-,)|=Px(-y)=Px(y)28.设随机变量X 服从正态分布N(Q2),-oo/0,F(x)是 X 的分布函数，随机变量y=F(x).求证y 服从区间 0 5 上的均匀分布.证明：记 X 的概率密度为/(x),则尸(X)=/力.由于尸(x)是x 的严格单调增函数，其反函数尸I(x)存在，又因0 W F(x)4 1,因此y 的取值范围是 0,1.即当0 4 y 4 1 时FY(y)=P K y =PF(X)y=Px)=y.于是y的密度函数为外 Hf l。,，0 y其 它 1即Y服从区间10,1 上的均匀分布.第三章思考题1（答:错）2（答:错）3 答:错）习题三1 解：P x =y =p x =i,y =1 +PX=i,y =i （已知独立）=P x =i p y =_ i +p（x =i P y =i =J ；+；J =：.由此可看出，即使两个离散随机变量x与 丫相互独立同分布，x与 丫 一般情况下也不会以概率1 相等.2 解：由Z A P 广 1 可得：b=0.14,从而得：i j012P Y=j 00.0 6 0.150.0 90.310.140.3 50.210.7P X=i 0.20.50.31P X =i,Y=j =P X =i P Y=j i =0,1,2;1=0,1.故 X,y 相互独立.?x i,y I =F(I,I)=PX=o,y =o +尸 x =o,y =1+P X =l,y =0 +P X =l,y =l =0.0 6 +0.14+0.15+0.3 5=0.73 解：P1 =P(X =l,y =1)=P(A B)=P(A)P(8/A)$,P 12=P(X=i,y =O)=P(A后)一/1 2 1=P(A)P(8/A)=_ 2因为：P(B/A)+P/A)=1,所 以：P(瓦C 4)=l -P(5/A)=,p 2 =P(X =0,y =1)=P(不8)=P(B-4)=P(B)-P(A 8)=-P(A 8)=*1 1 1 QP 2 2=l-不-77=不，结果如表所示.12 O 12 124解：X的边缘分布律为P X =1 =%,P X =2 =%y的边缘分布律为py=i =%,p x =2 =%Y=1的条件下x的条件分布为P x=i/y =i =oP X =2/Y=1 =1X =2的条件下Y的条件分布为叩=2=端造产=%叩=2=隆若也%5解：（1）由乘法公式容易求得（x,y）分布律.易知，放回抽样时p x =o =%,p x=i =%,py=o =%,p y =i =%,且尸 x =i,y =/=p y =j/x=i P x =4=p x=i P y =/i =0；/=o,i.于是（x,y）的分布律为（2）不放回抽样，则P X =0 =%,P X =1 =%,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个.故P Y=o/x=0=rP Y=1/X =0 =j（v0102 53 653 6153 613 6又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正 品1 0个，次 品1个.故P Y=Q/x=%,P Y =l/x=l=)(l，且 P X =i,y=j =P Y=j/X =i P X =i I,J =0,1于是(x,y)的分布律为0104 56 616 611 06 616 6放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立.-,a x b,c y d,0,否则.1fxM=b-,a x bafy(y)=c-d,c y dO,x b0,y d随机变量x及y是独立的.67 解(1)/(x,y)=3)=dxdy 4 2(4 +厂)(9+,2)(2)X的边缘分布函数Fx(x)=F(x,+o o)=1 (+arctg：)(+g)=上(+arctg ).7 i 2 2 2 2 2 2由此得随机变量X的边缘分布密度函数/x(x)=/x(x)27 t(4 +x2)同理可得随机变量y的边分布函数Fy(y)=/(+8,y)=(g +g)(g +arctg 与)=一(g +arctg?)%2 2 2 3 7 r 2 3丫的边缘分布密度函数(3)由 知 九(x)fY(y)=237 t(4 +X2)乃(9 +)2)=f(x,y),所以X与丫独立.8解 因为X与Y相互独立，所以X,Y的联合概率密度为+产/(x,y)=fx(x)/y(y)1 e2乃2 ,o o x 00,-00 y o oP Z=2 =f f e 2 dxdy=dO f e 2 rdr-e 2|)=l-e,2 2乃山 1)2+/1P Z =I=，l x2+y24_ 1所以，Z 的分布律为:P Z =0=e -2,P(Z=1 =e 石 e -2,P Z =2 =1 -J 5.r+0 0+8 r+00 f +00/公 丫 上 人,、A9 解：(1)由，f(x,y)dxdy=l,即n l=A 1 e(3x+4y)dxdy=,即J O0 J 00 J()J o 2=A=12m,、1 1 2 e-(3 x+4 y),x 0,y 00,其它(2)X的边缘概率密度为当x 0,(x)=f f(x,y)dy=ri 2 e-(3x+4y)dy=3e-3J 00 J U当 y 0，A(y)=C/(x,y)dx=P 1 2 eH 3 v+4 v)4e，J U J U可知边缘分布密度为：fxM=3 e 3X,X Q,(0,其它，4e4 y v 0/r(y)=，)0,其它，(3)F 0 X l,0 y 2 =1 2 j e(3x+4y)dxdy=(1 -e-3)(1 -e8)r +8 C+00 f 1 f 1 9 I I1 0 解 因 为 f f(x,y)dxdy=1,即xdx y2dy=1,c-l,c =6J-oo J-oo J o J o 2 3对任意 0 cx 1,fx(x)=J+X/(x,y)dy=6 J：孙之力，=2 x,2 x,0 x 1,所以/x(x)=x 0,其它，对任意0 y 1,/y(y)=J ；/。,y)dx=6 =3y2,所 以 万 )=卜 ，0”l，|o,其它，故f(x,y)=fx(x)fY(y),所以X 与Y相互独立-121 1 解 由 SQ=-d x =nx 11=2当iW x K e?时，/x(x)=L x,y)d y=口 :力=；，其它(x)=o.J。J。2 2 x所以：/X=；f t x1 2 解(1)X ,丫的边缘密度为分布密度为：fx(x)=j d y =2 x,0 xlIdx-l-|y|,-l y 1故 加(巾)=告；=J y l刀其它,2 x0,|x|y 1,其它,(2)因为打。)6(y)=l|y|/(x,y)=i,故x 与 y 不相互独立.1 3 证 设X 的概率密度为/(x),Y的概率密度为/(y),由于X,y 相互独立，故(X,Y)的联合密度为/(x,y)=/(x)/(y).于是PX W y=f f f(x)f(y)d xd y=J()，)dyxy交换积分次序可得：+Kfx d x+f y d y=/(y)。/(x)dx 所以J-oo J x J-co J ypx y=i-px Y故尸 x y=；.1 4解 设p =P(A),由于x,y相互独立同分布，于是有P(豆)=P y a=P X 。=/3(4)=,贝1/3(8)=1 ,又7P(A U 8)=P(A)+P(8)-P(A)P(B)=p+(_ p)_ p _ p)=p 2 _ p +=_1?解得：P i =,2 =，因而“有两个值 一(ti 1 a 1 1 a 1 1 5由于 P(A)=P X Wa=J 5 dx=2万一，所以，当 p 1=时，由=得当夕2=：忖，由得a=:.3 2 3 31 5解(1)X+Y的可能取值为2,3,4.且PX+Y=2=PX=1PF=1=1,4P X+y=3 =P X =1 尸 Y =2 +P X =2,y=-4 4 4 4 2p x+y=4 =P x=2 P y=2=，4故有:p x+y=2 =，尸 x+y=3 =,尸 x+y=4 =,；4 2 4(2)由已知易得 P 2 X =2 =1,P 2 X =4 =-;16解 由已知得（x,y）(一 1,一 2)(-1,-1)(-1,0)(%-2)(%，)-2)(3,-1)0)概率%0%2 0%2x+yx -y所以有-3 气 T%1 2 31 Q T%5 4 3X+Y-3-2-1-%-%1 3P%2%2%2%2%2X-Y3 5-1 0 1 -3 52 2P17证明%2%2%2%2%2%2对任意的攵=0,1,M+2,我们有PZ=H=ZPX=，Py=k i (因为x 与y 相互独立)/=0k=XC!,pi p l q f-i)z=o 1=(i x*j p，+敢”(利用组合公式 c；,C-i=c；)i=0-j=o=ck pkqi+2-k即2=x+y 6(|+n2,p)18解 2 =乂+丫 在 0,2 中取值，按卷积公式Z 的分布密度为：r+cor 1/z(z)=/x(x)/y(z x)dx=J /y(z-x)dx,J coJ u其中：0 x 1,0 z-x 即：V1,0 X 1,z-1 x z,如图,z-1 x z 0 x z-1 0 z 1 x0 z 1时0 X 1 Z X 7.jo dx