2023年高考数学知识点汇编及8大专题考试答题思路.pdf

2023年高考数学知识点汇编及8大专题考试答题思路集 合 与 常 用 逻 辑 用 语一组对象的全体.元素特点：N子集x e A x e Bo A B关系真子集X G 4=X G 5,30 G B、x。任力。月集相等A =B,B =A o A =B合交集力 n 8=x|戈 4,且X B 三算并集4 U 3 =x|工Q集补集CLTA=X|XG Z7 且工e AC与能够判断真假的语句常原命题：若p ,则q原命题用命题四种逆命题：若夕，则。命题与逻命题否命题：若 夕,则题与逆辑常逆否命题：若，则 夕为逆否用用充要充分条件p n q,p是q的充分条件若命题语逻必要条件p=q ,q是P的必要条件则?二TH用水1十充要条件p o q ,夕，q互为充要条件A -L语或命题p q,2,U有一为真即为真，p,q均为逻辑在梢有1且命题P q ,2 M均为真时才为真，p,q 有一JSJSWJ非命题p和p为一真一假两个互为对立的命题全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定里同存在量词3,含存在量词的命题叫特称命题,其否定复数复数虚数单位规定：72=-1；实数可以与它进行四则运算，?立。i4 k=1,上+1 =j无+2=_ 1/4无+3=_ j(k复数形如a+bi(d8eR)的数叫做复数，叫做，bw O时叫虚数、=0/w0时叫纯虚数。复数相等a +b i=c +d i(a,b,c,d e R共宛复数实部相等，虚部互为相反数。即二二4 AA境算加减法(a+6。(c+d i)二(a c)+(6 乘法m +6i)(c+di)=a c-b d)+(b c-除法,7 .、/a c+b d b e d e(Q +bz),(C +),+)r。+d c +d几何意义复数二=4 +加 复平面内的点Z(4,Z 0向量OZ的模叫做复数的模，二二4平面向量不等式与线性规划平面向量重要概念向量既有大小又有月向的量，表小向量的有向线段的长度口微该向量的t。向量长度为o,方 向 彳 璋 的 向 星【6与0 m 港向量共线】平 行 量方向相同或者相反的两个m 港向量叫做平行向量，也口哄线向量。向星夹角起点放在一点的两向量所癖角，范围是 o,乃|。Z荒的夹角记为=0.bcose叫做3在 方向上的投影。【注意：投影重要法则定理基本定理工1,工2不 照，存在唯T实数对(4)，使2+工2。至正交问基，(A,/)就是向量 的坐风-表 示坐 示(共线条件a/b由 工。共线o存在唯一卖数,3=(七,“)二 垂直条件a L b O ab=0各种运算加法运算法则3的平行四边形法则、三角形法则a+b=算律a+b=b+a,(a+b)+c=4+(b+c)与力区去运减法运算法则3-g的三角舲去贝Ija-b =分解M N=O N-O MM N=(蛹X 运算槐令为向量，0与/I 0与3方向相反，一。方向相同，2|=|2|7尢算律*Ma)=(%4)a,(A+)a=Aa+/.ia,A(7+b)=Aa+Ab与数乘运积运算幡a*b=a-b cos ab主要蜩a*a=丁，网阳同a|再吃+乃Vzl算律ab=ba,(a+b)c=ac+bc,(瓶)否=f(4)=A(b,b c=a c：两个实委a b a=b abb,c 0=acbci ab,c ac b a+cb+c;(4)ab,c a+c b+d；a b 0(5)a b0,c d Q=ac bd;(6)a b0,e N*,nl=an bni/a 观等 式解 一 元 二 次 不 室t实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根;象确定其大于零或者小于零的区间，在 含 有 字 母 参 数 的 不 等 式 中 还 要 根 据 参 数 曲以 及 函 数 图 象 的 开*向，从 而 确 定 橙 式 的 解 集.血(a 0,b 0)a+b2yab a,b 0)；ab 0),er+b*nh2二元一)矫等式组二 元 一 次 不 等 式Ax+By+C 0的 解 集 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示Ax+为，+的平面区域。_兀 一 次 不 上 组 的 解 集 是 指 各 个 不 等 式 解 集 所 表 不 的 平 面 区 除2简单的约束条件对 变 量 的 制 约 条 件。如 果 是 的y的 一 次 式，则 傩 性目标函数求解的最优问题的表达式。如 果 是 的 一 次 式，则 侬1可彳獭满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.可行域所有可行解组成的集合叫 亍域使 目 标 级 取 得 最 大 值 或 者 最/他 的 可 行 解 叫 最 优 解。在 线 性 约 束 条 件 下 甦 性 目 标 统 的 最 大 值 或 者 最 大 值 的IE问题解法不 含实际背景第一步画出可行域。第二步根 据 目 信 数 几 何 意 义 确第三步求 出 目 标 函 数 的 最 值含实际背景第一步设 朗 个 变 量，建 立 约 束 条 件 和 目 标 整。第二步同不含实际背景的解法步噱。计数原理与二项式定理算法逻辑结构顺序结构依次执行条件结构根据条件是否成立有不同的流向循环结构按照一定条件反复防某些步骤林语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件磔与证明推理合情推理归纳推理由部分具有某种特征推类比推理由一类对象具有的特征推断演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊数学证明直接证明综合法由已知导向分析法由结论反推间接证明主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方数学归纳法教学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0（n=k（左左之%）时结论正确，证明当n=k+1时结起函数、基本初等函数I的图像与性质排列组合项式理*分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有7%种 刁同 的 方 法，在 第 类 方 率 中 有 种 不fN 叫+7?种不同的方法.分步乘法计数原理完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有叫种彳法 做第n步有 叫 种不同的方法.那么完成这件事夬方法.排列my从n个不同元素中取出7。77）个元素，按照一定素中取出7 7/（7 7 7 ）个元素的一个排列，所有不同排彳7（7 77）个元素的排列数，用符号4 7表示。排列数公式7714 二(-1)(-2)(-7+1)=0(77-7/?)!组合定义从个不同元素中，任意取出个元素3个元素的组合，所有不同组合的个数，叫元素的组合数，用符号C：表示。组合数公式m-1)(-7 +1)_ 477！4：颜C：=。尸（叽 G M且7 ）；C%=二项式XE理定理(a +b)n=C an+C：优-%+-+C：0n-E+T通项公式(._i=(其中0 左左e N,，?eN*)系数和公式c；+-+CV；c：+c；+G+C：+C；+=C：+C：+C：+2”口函数与方程、函数模型及其应用函数雌表7Fi f l i l 令本质：定 义 域 内 任r自变量对应物的函数值 两 函 数 电 只 要 定表示方法解析式法、表格法、图象法。分 段 函 数 是 数，其定义域是各段定)域的并集单调性对定义域内T E间I.X px2 eI、玉x2,/(.V)是增函数。/(x j /(x2)o奇偶性对定义域内任意X,/(.r)是偶函数o /(.r)=/(-.r)/(x)是奇理数o/(x)=一/(x)。偶函数图象关三y轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称周期性对定义域内任意x,存在m藩 常 数T,/(.r+T)=/(.i肆初等函数I指数函数y=cf067 1(-00,+oc)单减，xvO时y 0时0 l(-oo,+oo)单增，x 0 时 0 y 0 时y对数函数y=ax0a 1在(0,内)单 调 递 减，0 x 0,x l时yal在(0,+oo)单调递增，0 1时1，1时.”幕 整V =Ta0在在(0,内)单 调 递 增，图象过坐标原点a）=/Xx-与）.运算亚应 0,且aw l);Onx)f=，Gogflx)r=-logae(n0,且a 工 1).XX(A5Cn|x)=i.运算颉Ax)g(x)=r(,x)g(x)；/(x)g(M=x)g(x)+/(x)g (x),&=里骁必里(g(x)x O),：g?(x)L复合函始潟法M J，=/(g(x)=八 g(x)g。).1g(x)_Cf（x）y=c f（x）；g（x）一 g3研究函数单调性/（x）0的各个区间为单调递增区间；/（x）o的区间为单调递减区间.极值/（7）=0且/（X）在而附近左负（正）右 正（负）的 事 为 极 小（大）值点.脑力 上的连续函数一定存在最大值却最小值，最大值和区间堵点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间祷点和区间内的极小值中的最清.定积分/（x）在区间 a,6上是连读的，用分点a=Z）再 知%）.和直爱x=。工=6（。*b）,y=0所围成的曲边悌形的面积S=1|/（力 也.三角恒等变换与解三角形角函数的图象与性质基本问题定义任意角a的终边与单位圆交于点P(.r,y)时，sin 2=y,cos a二同角三角国娄庆系.2 2 1 sin asin a+cos a=1,-=ta n aocos a诱导公式360a,180a,-a.90 a,270 a ,奇变角函数的性质与图象值域周期单调区间奇偶性y=sin x(x e R)-M2 k 7增减7V _ 7 7T _/-+2左左,+2 k兀2?7T _,37t _,一+2攵4,一+2K7T_2 2奇 整y=cosx(xe R)E2 k兀增 一 万+2左乃,2左4减2左%,2左乃+4偶 统y=tan x71(K 0左乃+一)2Rk:r增(一工+左乃,+k7T1 2 2)奇 级图象变换平 匿 换上下平移y=/(x)图象平移同得y=f(x)+k图 象,k 左右平移y =/(x)图 象 平 移 网 得y =f(x +cp)图象，(p伸 女 奂X轴方向y =/(x)图象各，部 横 坐 标 变 为 原 来0倍得j，=jy轴方向y=/(x)图 象 各 题 坐 磔 为 原 来 的A倍得j，=/对称变换中心对称v=/(x)图象关于点(。力)对称图象的解析式是y轴又痂y=/(.r)图象关于直线x=a对称图象的解析式是等差数列、等比数列也和差角公式倍角公式.r 2tanasin 2a=-1+taiT a_ l-ta nA acos la =-1+tan a.n 1-cos 2asin a =-22 1+cos 2acos a=-2sin(a P)=sin acos/?cosasin Psin 2a=2 sin a cos a舞cos(a/3)=cos a cos P sin a sin 13cos 2a=cos2 a-sin?a=2cos2a-l =l-2 sin2(正切/1f tan a tan 5tan(a/3)=-1 于 tan a tan 0-2 tan atan 2a=-1 tan a角恒等变换与解角形1B2定理S 3a=b=csin d sinB sin C 0射影定理：a=bcosC+ccos 8b=qcosC+ccos4c=acosB+bcosN哪a=2J?sin=2R sinBzc=2R sin C(R 夕Hg圆4)。逊三角形两边和一边对角、三角形两角与一边.转定理会a2=b2+”-2bc cosA,b2=a2+c2-2accos3：J =/+b2-labcosC 0初.b+c2-S +c y lcos A=-=-1 等.2bc 2bc疑两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）.三边.面积俎百应S=-a h.=-b hh=-c hr=-6risinC=icsinl=idrrsin B.2 2 2 2 2 2导出俎S=他（及夕底园半径）；S=L（a+b+c（，内切园半径）.4J?2实际靖三二想把要求解的量归入到可解三角形中.在实际问题中，往往涉及到多个三角形，具要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中.常用术语仰角视关在水平关以上时，在视线所在的垂直平面内，视浅与水平线所成的角.俯角视浅在水平关以下时，在视线所在的垂直平面内，视浅与水平婚斤成的角.方向角方向角一股是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30。）.方位角某点的指北方向维，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.注：表 格 中 九%p g均 为 正 谈数丹等差数列等比数列数列 按照一定的次例既U的一列数.分有夯、无夯、增值、递减、摆动.常数数列等.通项公式数列 q 中的项用示，a =/（）an 一5,=LSn-S ,n2.前项和S=a1+a2+-+a 简单的递列解法累加法4+1=/+/()型解决递推数列问题的基本思想是转化，即转化为两类基本数列-等差数列、等比数列求解.累乘法4+1=%/()型转化法K-Pan +q P i(p H O,L g,O)=晨:一:+qP P丽系数法a“+i =ca”+d(c 0 0*L d H 0)=an A+2 =c an+2).比较至数得出义,转化为等比数列.等差数列&满足4+1 4 =（常数），d 0递堵、d 2。4n2-l 212-1 2n+l)+l _ 1 1的序 网”一2”(一 1)2T n-2n，翻 瞄如 d+C：+AC：+C：.数列模型等 当5列基本特征是均匀增力戚者减少.等比数列基本特征是揄S增长，常见的是增产毒问题、存款复利问须.一个简单递推数列基本特征是指数增长的同时又均匀减少,如年收入增长枣为20%,每年年底要拿澧。（常数）作为下年度的开销，即数列 4 满足。“+1 =L2a“一a.空间几何体与三视图空间点、直线、平面位置关系看点、直线平面的位置关系基 本 公 理公理1Ael,B eI,Aea,B&J3=1(za.用途判断直关在平面内.例2A,B,C不共爱=A,B,C确定平面a.确定两平面的交嫂.Pea,Pe 民 aC0=l=Pel两直送平行.公理4a ii c r b ii c=a ii 6位 置 关 至娥共面和异面.共面为相交和平行.不同在任何f平 面内的两条直线称为异面直浅.点关面AeLB；Aea,B g a.浅面/II aj n a=4/u a.分别对槌面无面面an/3,aC/3=l.分别对应两平面无公共点.两平面有无数个公共点.平 行 关 系.判定定理性医定理线面aqiib坡面平行=献平行面面ap,b(zp,arb=P：=BHaall abll a j浅面平行=面面平行aHBjra=a】CB=bn aHb面面平行=行垂 直 关 系我面?w u a：77 u a n =尸。肛 q-L浅浅垂直=浅面室a直a_La=a U 6b a旌垂直=线线平行面面/_L 尸Jua=a_L 尸浅面垂直=面面垂直a/3,aC/3=l.acza,a 1=p面面垂直=或面垂直空 间 角.私特殊情况定国筋角把两异面直送平移到相交时两相交直浅所成的角.两直送平行时角为0;7f0,所成角为L 2j90时称两直线垂直注面角平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角.浅面平行或线在平面内时浅面角为0 71_:T_浅面垂直时送面角为90二面角在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这两条射浅所成角.两个半平面重合时为0。闵两个半平面成为一个平面时为180当二面角为90时称两个平面垂直空 间 距离点面距从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离.设面距和面面距转化为点面距.线面面直关与平面平行时，直送上任一点到平面的距离.回圜距两个平面与平圜平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离.空间向量与立体几何直线与圆的方程空间向量与立体几何空间向量重要修共面向量一组向量在一行面内或者通过平移龌在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面的向量Z,h c都可做空间的 f版。鼻定理共 会 理a j）（1 w 6共线。存在唯一实数之，a =A bo共面定理万 与 乙 坂、（反B不 监）共 面 =存 在 实 数 对,使2基本定理Z,h c不共面，空间任意向量方存在唯一的（x,y,二），使 立体几何中的向量方法线面方向向量所在直线与已知直线/平行或者重合阴蹲向量3叫做直线/法向量所在直线与已知平面a垂直的m 哆 向 量ri叫做平面a的法向 is关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理；直邺方向向量与平面的法向量垂直；使用共面庐囿而平行判定定理；两个平面的法向量平行。线 鳍 直两直线的方向向量垂直。线直判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。面面垂直判 法 理；两 行 面 的 法 向3。空间角两直线方向向量为a b,cos 0 cos 否;）。线面角e直 哪 方 向 向 量 为Z,平面的法向量为3,sin（9 二C O S 卜7二 雌e两平面的法向量分别为m和m ,贝U cos 6=c:os(空间距离点 僦直 维 方向向量为3,直线上任一点为N,点M到直线a的距离d=|乂卜山a）。点面距平面。的法向量为3,平面a内点为N,到平面 a 的距离 d-JV C V|cos（M N,）=点MM N nno【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】直线与圆的方程直线与方程解 角x轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0髀蝌 角 为a ,辆 A-=t ail a =_ （凡 工 毛），（工,州）,（、2，乂）&为一石髅方程点斜式y-y0=A;（x-x0）在y轴截距为b时y =kx+b.两点式2 z2 1=.z _ （玉工 x;:K 工”）y2-yi 为一石在 轴 截 距 分 别 为 时 三 十 ga bAx+By 4-C =0（/一+方-工。），B w。时 k=-,纵截距-J B B蜴当不重合的两条直线（和12的斜率存在时,lx/l2 o k】=k2:如果不重合宜线的斜率都不存在，那么它们都与X轲垂直，则人%.垂直当两条直线。和4的斜率存在时，=左履=T；若两条直线k A中 自率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂直.交 占两直发的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点.距离点月（M，M）.P2（、2,乃）两点之间的距离由2 1 =4巧一再）2+8 M）2.,I AY0+Bv0+C点尸（/Jo）到直线/:/x +S v +C =0的距离d=J _二.二.ylA2+B2发线距,I c-c ll1:Ax+Bv+Q=0到4 ：4 x +B v +C，=0距离、=）、-一JA2+B2国与方程圆台平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.定点叫做国心、定长叫做半径.标准方程圆心坐标（。/），半径乙（x-67）2+。丁-3）2=r2 0标准方程展开可得一W?程、T A程配7准方程.T7?程中国心坐标为（-与 -7。+E2-4F方程径 2 x2+y2+D x +E y+F =0（其中 T y+E Z-西。）.相交t ow，聿与囱例 法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解几 去d r国与囱倏 法方程组有两解方程组有一组解方程组无解几|一弓|3（+或4 bX2 y2/+7 =k区。小（土a o）（0,土b）（c,0）园推圆v2 X2卜 区。（0,土a）（士 0）（0：土c）x轴y轴曲线的义双平面内与两个定点6,F2的距离之差的绝对值等于常数1 .F/-Llxl 2 aye R（土a；0）（土c,0）坐标原点曲线2 a（小于 应 周=2c）的点的轨迹叫做双曲线.b2=c2-a2.F -1F=i卜 归。x e R（0,土a）（0：土c）方程y2=2 P xx 0ye R（p O）X轴与性抛平面内到一个定点厂和一条定直浅/（定点产不在定直浅y2=-2）x ox e R（0:0）（0 4）【焦点 到 准 段 的 距 离 等 于y轴1p,p 0.焦参数】X2=-2 p yy O(z =l,Z 77);(2)P 1+P 2+/事件的独立性条 件 瞬概念：事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(BMl：0 W P(5 N)W 1.B,C 互 斥,尸 G B U C独立事件事件4与事件8满足尸(N 5)=尸(4)尸(8),事件4与次独立重 复 献每 次 献 中 事 件4发生的概率为p,在次独立重复试验为尸(X =k)=C：p*(l-p)i,(k=0 4 2，7?)o超几何分布二项P(X=k)=N-M,k=0,l,2,，加，其中 7 Q v且 n S N,M W N,n,M,Nw N*.分布列为：P(X=k)=C：pFp)j,(k =0,L 2,数 学 期 望 封=，火、方差D X=np(l p)正态分布p(x)=-j L-ej27T b(x_“)2 图 象 称 为 正 态 密 度 曲P(a 0),.的作用下，j =(0).的 坐 标 伸 缩 ，i W伸直角坐后与极坐标的互化把直角坐标NM是 平0 x=p cosW 的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设时内 任 意 一 点，它 的 直 角 坐 标 是(x,y),极 坐 标 是(.6),则9,y=/?s in 夕 且 p2=x2 4-j2,t an =（x 0）.X曲 领 极 坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐岳至少有f满 足 方 程 8)=0,并且坐后适合fp,)=0的点都在曲线。上，那么方程了(2,8)=0就叫做曲线C的板坐标方程.参数方程在平面直角坐后中，如果曲线C上点M的坐标x,丁都是其分变数，的函数 一y=g S，反过来，对 于，的每个允许值，由 函 数 式 一 :、所确定的点M(x )都在曲线C上，那y=g(r)x=f(i)么方程 八 叫 做 曲 线C的参数方程，联系变数芯.1 的 我 是 参 变 数，简称参数.(y=g(o为普通方程ft入法：利用好方程的技巧求出参数t,然后代入消*参数；化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：峦肖参过程中注意变量X、J取值定国的一致性，必须根据参数的取值定围，确定/(?)和g(t)值域得X、J 的取值定围.三角法：利用三角恒等式消三参数；整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.常见曲线的普通方程与参数方程普通方程参数方程期过点(Z)，M)解 淮 为ay-y0=t an a(x-x)或者x =Z)x =x0 4-Z cos a.（才为参数）v =y0 4-Z s m a国（x-）2+（y-y0）2=r2x=XQ+rcos 6.八 （6为参数）y=v0+r s m 夕桶圆x2 v2f+F =1a2 b2K =a c os0L.八（6为参数）p=6 s m 9双曲线x1 y1 ix=a sec ffL 八（6为参数）y=b ta nff抛物税y2=2P x（x=2pt2（f为参数）J=2 p r不等式选讲不等式选讲绝对值不等式解法x ao-a x a。x a或x v -a。a x+b c-c a x+b ar+6 4-c 或11v-a|+|.r-Z）|c;r-7|+|.r-Z）|co根雌对值的意义结合数轴直观求解。零点分区去绝对值，转化为三个不等式组5构造0绷IJ用 统 求 解。三 角 不 匐：1回 引a -|a|+|6|；|（7-c|，&q,o）0n柯西不搴t二维形式（a1+I r）（+，）之（ac+bd）（a、b,c,d ea d =be时成立。向量形式a,0是两个向量，贝Ua f Ka p,当且仅当0是1a=邢 时，等号成立。-乡 式（。占+0 0 J工 储（咕 eR i =1,2且仅当q =a2=-=立（后 为 常 数,z=l,2-）.排 的 第设 勾 a2 K W外，4 K&KK%为两组 实 数,力，6,，C,列，则+4 如 +A K 4G +。2。2 +-+%.4肾7 a*】=3、(-1/将 以 上k个式子相加，得 4 =。+3,-*-+3*)+(-1)-(-1)*-f-(-1)*J=；(3*一1将4=1代入，得&=手,+1(-I)-1，-g(-l)-1 经检验GLI也适合，二a.g 3芋+g(-l)芋-1(协奇数)1 2 1 ;.；3：7(昉偶娄类型 2 a“1 =/0 0 a 解 法：把原递推公式转化为 =/()，利用累乘法(逐南相秉法)求解.a.例 3:已知4=3.%=一,求3M+2Aw 3(?t 1)1 3(n 2)1 3 x2 1 3 1T：a.=-q“3(-1)+2 如-2)-2 3 x2.2 3+2 13 -4 3/1-7 5 2 ,63”1 3”4 8 5 3 -1 e变 式2.1:(2 0 0 4 ,金 四L理15 )已 知 数 列 ,满 足。产1,1 n=1n2-2-牝,次+3%+（”-1绍._ 伽2 2）,则/的通项a,解:由已知，得0_1=。】+应+腐,用此式求去已知式，得当 之2 时，4-1 _ 4=W,，即-=（+1 3,，又a：=a1=l,.0）-1,-1,-3,-,将以上 n 个式子相乘，IJa,-（M22）/a2 a、4T 2类型 3 1=paq（其中 p,q 均为常数，（pg（p-1）*0）o解 法（特定系数法）:把原递报公式转化为：a-,T =p（a.T）,其 中 广 齐，再 P利用换元法转化为等比数列求解。变 式3.1:（2 0 0 6,重庆，文J 4）在 数 列 也 中，若.=1。7=%3（让1）,则 该 数 列 的 通 项a,=_a,=2 -3变 式3.2:（2 0 0 6.福 建.理22.本 小 题 满 分1 4分）已 知 数 列 a.满足q=1,-2a*l（ne 八（I）求数列也 的通孽公式；（II）若数列仇 满足4丫句中4%T=（4+1）”W V）,证 明：数列他力是等差数列；（n i）证明：-+殳&,）一2 3 a：a a.1 2（I）解：va.；-2 a-1（M AT）,，a72（al）,.;q+l爱以q+l=2 为首项，2为公比的等比数列.：.a-l=2.即 a,=2-1（MeJT）.（H）证法：.4241匚4,7=（生-1一：4-乜 2*.二2（4+%q+么）-可=也.2（4 也-.+2+如）-m+i）=（+段t 一 ，得 2（，T-1）=（+-汕“印但-1）%-屹-2=0,也S 1兑7+2=0.一 ，得 汕“：-2、+就 =0,即 如-2%+以=0,矶-如=-*.（C .妇 是等差数列证法二：同证法一，得（?1-1）鼠1-汕+2=0令？1 =1,得4 n 2.-3设=2-d(d e B,下面用数学归纳法证明 以=2+(”-1城 *.(1)当”=l,2 8 t,等式成立(2)假设当 =稚 2 2)时，4=2+3-1 3,那么%=合k 4 -启2=6k R+(卜M-亡2-2 -KM1)-国这就是说，当 上+1时，等式也成立.根 据(1)和(2),可知以=2+(”1 对任何“,V 都成立v a-4=d,二 是等差数列.(m)证 明：.殳=与 1 =.2*_T J=L2-,二 4+&-区 rn3l.，-1 义+幺+一+区 ,得到关于A、B的 方 程 组);当占=壬时，数列包 的通项为4=(/+坳)$1,其 中 A,B 由4=%&=决 定(即 把 4,牛,再也 和?i =112r代入a,=(N +B)X；T,得到关 于 A、B的 方 程 组)o-4-s解 法 一（痔定系数迭加法）例 4.:数列卜,:3 a-5as f 2a,-0(w5 0,M?/)求数列 a,的通2项公式 由 3a7-5 1 +2a,=0,得 a-%=百(%-a j,且 a：-q i-a 则 数 列 S z-a J 是 以 b-a 为 首 项，:为 公 比 的 等 比 数 列，于是一 吟 32 2.把樱=1,23,代入，得a 生=b-a,a3-a2=(b-a)()9-rz3=(&-)(_):,a.-a.=（b-a）q）以上各式相加，得2 2 2-Y尸a 4.。_）口 1+卬+（）-（b-a）.1-3二 a.=0-3 ）i 0 _ a）+a=3（a-协号）i +3b%.解 法 二（特征根法）：数列*:勿：一 5aH+外,=0（”之N）,4=髭4=。的9 2挣征方程是：3x2-5 x*2 0 vXj =l,x:4 =市 1 8x；T*A+B q）”。又由4 4 4 力，于是 =3。-2故4=劝_ 2 0+3(&_/)16 一 +/(B=a-b)32 i例 5:已知数列 a j 中，4=1,4=2 4：=%+铲,，求a,解：由=%+针,可转化为，-=/(%7 4)5=1|1这里不妨选用 1 （当 然 也 可 选 用 g-?,大 家 可 以 试 一 试），则t =3 I 16a-J i 1-#4 1-4)=(11-4 是以首项为4-1：=1,公 比 为 的 等 比 数 列,所以-4=(-；尸，应用类嵬1 的方法，分别令为7 2 3,.(-1)代入上式1 ,l-(-l),1得 m-i)个 等 式 累 加 之，即牝-4=(-1)0+(-3 +x-):=又3 3 J，=所以4 =：-汽-；)1 变 式 5.1:(2006,福 建，文义2,本 小 题 满 分 1 4 分)已 知 数 列 吗 满足q=1吗=3,av=必.1-以(W，)-证 明：数列 1-q 是等比数列；(U)求数列他 的通项公式；(I H)若数列 也 满足 4T4-L43T=(4+1)Y”M),证明 2 是等羞数列.(I)证明：va,.,-3a-24t,.“a=2(a.i-4),q-l,0-%+%-,an-an-i=5 (n 2).当。1=3 时，a3=1 3,侬=7 3 为，阳 不成等比数列二。#3;当。1=2 时，的=1 2,0 1 产7 2,在 fl j2=a ia is,二为=2,；%=5-3.-7-*$变 式:(0 5,江 西，文，已 知 数 列&的 浒 n 项 和 S.满 足 S -S-2=3(-g)i(2 3)且W=L S：=-1,求数列%的通项公式.解：:S、-S.：=aa i，二 aaT=3 (-：厂也2 3),两边同乘以(一厅，可得(-1)2 -(一1尸=3(-1)%-；尸=-3 1 令“=(-1)2 二“一力广-3(；尸(3)&-如-3(权-：.与心 _3&-l 二.d严-b.3心T+g)”-(纲 3 x4 4 j-：-3 f 2 3)1-2q =S=1,=S.-S、=_ 不_】=_；t b=(I)4 =_ I,b.=(-1).a.=_：-4=-；-加3 心尸=-4+3.(1)-(1).：4=(-l)也=-4(-1)+3(T)4)I4-3(；尸,泌苛款-4 +3 (弓 厂，”为儒执类型 7 pa“+an-b L0,a*0)解 法：这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 效 法 构 造 等 比 数 列，即 令%+x(“7)+j =p(a +X M+J),与已知递推式比较，解出x j,从而转化为 a x?t+j 是公比为p的等比数列。变式：(2 0 0 6,山东，文？2,本小题满分1 4分)已 如 数 列 aj中，4=；、点 O 2 a T-a )在直线y=x 上，其 中 n=I2 3 .()奉力 叫 一4 -3,求证数歹做提等比数列；(H)求 数 列 同 蹦 项；(川)谈$,、丁,分别为数列匕、也 的 曲 项和，上 否 存 在 实 数 人 使得数列竺 为等差数列？若存在，试求出工 若不存在,则说明理由.-9I 3 3 1解：(I)由已知得 =_：27=4上七;a,=2 4 4 2345又“=。门】-4 -L*=*-%-1=.7 4 T -4 7b*-1%一4 一122214 1一4一1 2，摒 是 以 为 首 项，以:为公比的等比数列.(I I)由(D 知，“=-%3 X 1,2 23 1 3 1 3 1fQ a.0)斛法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为4 T=w g,再利用特定系数法求解.变式：(0 5江西，理)已知数列。脚各项都是正数，且满足：/T a i Ya d-a l/eN.(1)证明4 .2*w N;(2)求数列化 的通项公式出.M：用数学归纳法并结合函数/a)；x(4-x)的单调性证明：(1)方法一用数学电纳法证明：1当 n=l 时，%=L4 4 a o(4-4)=g,:.a0at 2,命 题 正 境.2 假 设 n=k 时有ak 2.则=左十时O*a-=I a4,(4 _ a*_J -；4 (4 a*)=2(%一 4)-：(%4 X 4T+4)=g (%-4 X4-&).而%-4 0,/.ak 一 0.又&T=|(4-0.)=1 4-(-2)22.:.=左+1 时命题正确.由 1，、2，知，对 一 切 n SN 时有a,&T 2.方法二：用数学归纳法证明：1 31 当 n=l 时，a0-1,-(4-ao)-,：.Q a0 at2;20 假设 n=k 时有成立，令/(x)=x(4-x),/(x)在 0,2上单调递增,所以由假设有：即。a i(4-4 T)：4(4-a*)gx2x(4-2),也 即 当 n=k+l时 ak 凡“2 成立，所以对一切汽w N有4 *2 0,两边取以2 为底的对数，,log式 2-4T)=-21og：(2-a,)令/=log;(2-a,),W 如=-1+2瓦=6,=1-2二4=2-2 或a.=2-()r*1变式：(0 6 山东理)已知山=2,点4,%T)在函数H x jR+Z x 的图象上，其中=1,2,3,(1)证 明 数 列 lgQ+小)是等比数列；(2)设兀=(1+。1)Q+为)Q+%),求 T”及 数 列 小 的通项；(3)记仇=1+_；,求 瓦数列的前项和&,并证明&+而J=l.4 4+2 37；-1解：(I)由已知 a“i a：+2a“，.-.aj-s-l-Ca,-rl):vo；-2.a.-rl 1,两边取对数得lg”4T)2 lg(l+a J,即 黔 乌 理 2 .lg(l+4)是 公 比 为2 的域1+4)等比毂列.(II)由(I)知 lg(lF)=2 i Ig(l-q)=L，lg37g3尸.l+q=3r*(*):1=(l+qX l+4尸(1+a.)=/35.3:：3*1=3心：一尸=3 1由(*)式得4=3 广-1(川)=名.以，二 4T=4(4+2),-=(-、)4+i 2 a,4+2二-1 -=-1-2-,又 2.=-1-1-.二=2(标-1-1-)、4-2 a,-4 4+2 a,_-11-类 型 9/(咖g(M+可 附)解 法:这种类型一枚是等式两边取倒数后挟元转化为 T=g,+g例：已 知 数 列 a。满足：4 丁 吆 _ 必 1,求 数 列 a.的通项公式。3j+1解：取倒数：!=出:l =3+-，J_1是等差数列,a.-】a”i 、J=-r(?i 1)-3 =l-r(w 1)-3 a=&勾13”2变式：(2006,江西足22,本 大 题 满 分14分)已 知 数 列 a j满足：a j=|,且a.=r J_(n 2,n e N,)2 as_j+n-l(1)求 数 列 a j的通项公式；(2)证明：对 于 一切正整数n,不等式aia2*.a.l).a1 3 3 ac 3 3 -11(2)证：据 1 得，ai*a2,*aB=-：-4-1 为证 aaj*.(l-1)*(l-4 r)(1 一之)3 3-3-aB 1.2显然，左流每个因式都是正数，先证明，对每个neN*,-12-用教学归纳法证明3。式：n=l时，3。式更然成立，设n=k时，3。式成立,即（1一，1一（；+*+/）则 当n=k+l时，(1-1(1-1)-(1-g+$+，)(i-A-)=i 一*/+/)-9+点 +/+,+1-(；+/+/+点)即 当n=k+l时，3。式也成立故 对 一 切neV,30式 都 成 立.利 用3。得，11 1 1 1 1 枭-1 (-+y +-,+)=1-pl-3 L 故2。式成立，从砧结论成立2 3 2 2 3 2解法:如果数列也 满足下列条件：已知外的值且对于“e N,都有%=2邙（其了 a.一 力中 小 q、八 A 均为常数，且0吗#-，），那么，可作特征方程xg,当特征方程有且仅有一根x0时，则 了 三 是等差数列;当挣征方程有两个相异的根七、三时，则；号 是 等 比 数 列.例：已知数列也 满足性质：对 于 次 工 叫=誓。且a1=3,求 4 的通项公式.解：数列&的忖征方程为变筋得2X：+2X-4 =0,其根为4=L&=-2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的 第（2）部分，则有p-/r 3+2 1-2 2已知