理科数学高考模拟试题.pdf

理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复 数 匕4的共规复数是（）A.卫 B.-C.i D.-/2-i 5 52.已知集合A=九e A三*0 ,8 =xe R卜一 2a）（九 一/一 若4口8 =0,则实数。的取值范围是（）A.（2,+0o）B.2,+o o）C.1 U 2,+o o）D.（l,+8）3.某工厂生产A、B、。三种不同型号的产品，产品数量之比依次为女：5:3,现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了 24件，则。种型号产品抽取的件数为（）A.24 B.30 C.36 D.4 04 .如图给出的是计算1+,+1+的值的一个框图,2 4 6 20其中菱形判断框内应填入的条件是（）A.z 8?B.z 9?C.z 10?D.i l l?5 .已知把函数/（x）=si n x+G c o sx的图像向右平移7个单位,再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x）,则函数g（x）的一条对称轴为（）4 71 7 八 兀 z 5%A.x=B.x=C.x=D.x=6 6 12 66 .已知等比数列%的前项的和为S“=2 T+左，则/一 2-2x+l的极大值为（）7 5A.2 B.3 C.D.一2 27.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人/输出s/不能相邻，则不同的排法 共 有（）A.4 8种 B.72种 C.78种 1）.8 4种r2 r2 r2 r28 .已知椭圆一 +土-=1的左、右焦点耳，E与双曲线二一=1（。8 0）的焦点重合.且直线尤-y-1 =0与双曲线右支相交于点P,则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）第1页 共1页2A 2 厂 1A.x-=l8B.X2 X2至一可C.亍 一 5D.9.一个长方体的四个顶点构成一个四面体E F”G,在这个长方体中把四面体EF H G截出如图所示，则四面体EFHG的侧视图是（）2 2X-Xc10.已知函数/。）=丁+/+1的对称中心的横坐标为/（%0）,且 力 有三个零点，则实数a的取返值范围是（）A.（-o o,0）B.一 8,C.(0,+8)D.(8,-1)11.已知三棱锥尸一4 3。的四个顶点都在球。的球面上，若PA =A B =2,A C =1,Z B A C =120 ,且PA J_平面ABC,则球。的表面积为（）A.翌 工B.竺三 C.12 D.15兀3 3/、fA x +l,x 0l og 2 x,x 0,时，有3个零点；当上 0时，有4个零点；当上 0）的焦点为尸，A 4 B C的顶点都在抛物线上，且 满 足 而+而=-定，则 十+=_ _ _ _ _ _.A B 女8 c 幻人14.设 曲 线y =x向（XEN）在 点（1,1）处 的 切 线 与x轴 的 交 点 横 坐 标 为 天，则lg2O 15 尢I +lg 2 0 1 5 X2+lg 2 0 1 5 X3 2015 X2014 的值为-15.已知 A A B C 中，角 A、B、C 的对边分别为。、b c,已知 c os 2A +c os 23=2c os 2C,贝 i Jc os C的 最 小 值 为.16 .若函数/（x）在定义域。内的某个区间/上是增函数，且E（X）=D在/上也是增函数，则称X第 2 页 共 2 页y =/（x）是/上 的“完美函数”.已 知 g（x）=e +xl n x +l,若函数g（x）是区间+8）上 的“完美函数”，则 整 数 机 的 最 小 值 为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .（本小题满分12分）设数列 2 的前限项和为S“，且首项。产 3,a,川=S“+3”（e N*）.（1）求证：S“3 是等比数列；（2）若%为递增数列，求q 的取值范围.18 .（本小题满分1 2 分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的20 0 辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数）10111213通过公路1 的频数20402020通过公路2 的频数10404010假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的 前 11天出发，汽车3 只能在约定日期的前12天 出 发（将频率视为概率）.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2 的“一次性费用”分别为3.2 万元、1.6万 元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商4 0 万元,若在约定I I 期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2 万元；若在约定I I 期后送到，每迟到天。生产商将支付给销售商2 万元.如果汽车A,8按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.19 .（本小题满分12分）如图，平面P A C _ L 平面A B C,A C 1 B C,P A C 为等边三角形，P E O B C,过 3 C作平面交AP、AE分别A N于点N、M.（1）求证：M N P E ；（2）设 一=2,求 力的值,A P使得平面ABC与平面M N C所成的锐二面角的大小为4 5 .22 0.（本小题满分12分）如图，已知圆E:（x +GJ+y2=1 6,点/（6,0）,P是圆E上任意一点线段P F的垂直平分线和半径PE相交于Q.第3页 共3页（1）求动点。的轨迹的方程；（2）设 直 线/与（1）中轨迹相交下A,8两点，直线0A/08的斜率分别为4,七,质 （其中 0）.A 0 A 8的面积为S,以0A03为 直径的圆的面积分别为5.若k,k,k?恰好构成等比数列，求 卫 邑 的 取 值 范 围.S21.（本小题满分12分）已知函数/（x）=H _-l n x（a W 0）.（1）求 函 数 的 单 调 区 间；ax1 1/i+x（2）当。=1时，求“X）在 2上的最大值和最小值（0.69 1口28?B.z 9?C.z 1 0?D.i ll?【答 案】C【解 析】试题分析：从所给算法流程可以看出当i =1 0时仍在运算，当i =1 1 1 0时运算就结束了，所 以 应 选C.考 点：算法流程图的识读和理解.5.已 知 把 函 数/(光)=5 m彳+百(：0 5%的图像向右平移7个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍,得 到 函 数g(x),则 函 数g(x)的 一 条 对 称 轴 为()J iIJI J i 5 A.x=B.x=-C.x=D.x=6 6 1 2 6【答 案】D【解 析】试 题 分 析：因/(x)=si n x +J5 c o sx =2 si n(x +%)，向右平移(个单位后变为/(x)=2 si n(x +-)=2 si n(x +),再将其横坐标扩大到原来的两倍后得到g(x)=2 si n(-x +),3 4,1 2 2 1 2应 选D.考 点：三角函数的图象和性质.6.已知等比数列 4的 前 项 的 和 为S“=2 T+Z,则=d丘2一2%+1的 极 大 值 为()7 5A.2 B.3 C.-D.-【答 案】D考点：等比数列的前项和与函数的极值.2 27.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身 穿 蓝 颜 色 衣 服 的 有 人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则 不 同 的 排 法 共 有()A.4 8 种 B.7 2 种 C.7 8 种 D.8 4 种【答 案】A【解 析】试题分析：先 将 穿 红 衣 服 的 两 人 排 定 有 否 种 排 法；再将穿黄衣服的两人插空有A；种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法，由分布计数原理共有2 x 6 x 4 =4 8种 排 法,应 选A.第6页 共6页考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.V2r2 r28.已知椭圆需+=1的左、右焦点耳,巴与双曲线点 =1(。/?0)的焦点重合.且直线x y-1=0与双曲线右支相交于点P,则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为()【答案】D【解析】试题分析：因C =716-7 =3,故 月(3。,设交点尸(小-IX/0),则PF2=J(3)2+Q-l)2=-2?-8t+10,右准线方程为x=1,点尸到这条直线的距离为d=”9,所以巨=-一,+1 0 ,3 3 a a2t-3即(3 r-a2)2=2 a -8 a V +10a2,也 即(2/一9)/一2。+1 0/-/=o,该 方 程 有 正 根，所以=4/4(2。？9乂1 0/一。4)之0,解之 得/4 5或/2 9,所以 当/=5时，双曲线的离心率最小，此 时/=9-5 =4,应选D.考点：双曲线的几何性质.【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设【解析】试题分析:因 S 1=%=1+左：$2 =+。2 =2+4 5 =S?+%=4+左,即=1 +忙%=L&3=2,故题设 2(1+幻=L k=-g,所以/(X)=x3+：X2-2x+1,由于/(力=3/+X 2=(3x-2Xx+1),因此当x e(Yol)时，f (x)O,f(x)单调递增；当x e(-L或 时,./(力0,故/（一等）=+10,即。一 半,应 选 民考 点：导数在研究函数的零点中的运用.11.已知三楼锥P-A B C的四个顶点都在球。的球面上，若P A=AB =2,AC =1 ,Z B AC =120 ,且P A J.平 面A B C,则 球。的 表 面 积 为（）【答 案】A【解 析】试题分析：设球心为。，A4 8 C外 接 圆 的 圆 心 为 外 接 圆 的 半 径 为r,则0。J _平 面AB C,由 于24 _ 1_平面AB C,因 此。也=在A4 8 c中，由余弦定理得B C =,1+4 -2x l x 2x（-g）=J 7,所以第8页 共8页s一i n 120 0 =2 r,即r 由此可 得 相=1+(口 尸=，所以球的面积是5=驷，应选A.V3 V3 3 3考点：球的儿何性质与表面积的计算.【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥.的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形MBC的外接圆的半径r =R,再借助PA 1平面A B C,球心。与 AB C的外接圆的圆心O,的连线也垂直于A4 B C所在的平面,从而确定球心。与P,A,。共面.求出了球的半径,找到解题的突破口.12.已知函数/(x)=0时，有3个零点；当 0时，有4个零点；当 0,/(幻=l o g2 X.当 l o g2 X 0,即 X 1 时，/(/(尤)=l o g2(l o g2 X)+1=0,解得_ 2x =V2；当 l o g 2尤 0,即0 0,解得彳=2工 1 适合；2当&1 不适合.若x0 J(x)=H+l,若 依+1O,x =厂合适，4 0,贝Ik/(/(%)=l o g,(依+1)+1=0,即 依+1 =也即尤=，当&0时适合；当k 0时有四个根V2,2-*，一丝；当4 0,G (x)=-2 0 ,G符合题设,所以所求最小的正整数m =3 .考点：导函数的几何意义.【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数机的值.求解时依据题设条件先对函数g (x)=e*+x-I n x+1和F(x)=犯 求导,建立不等式组,求参数m的值时运用的是试验验证法,即根x据题设条件对适合条件的实数加的值进行逐一检验,最终获得答案.三、解 答 题(本 大 题 共6小 题，共7 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)1 7.(本小题满分1 2分)设数列 q 的前项和为Sn,且首项q H 3,an+i=5,+3 (e T V*).(1)求证：S“3 是等比数列；第1 1页 共1 1页（2）若 4,为递增数列，求q的取值范围.【答案】证明见解析；（2）（9,3）U（3,+8）.试题分析：。）依据题设条件等比额列的定义推证；（2）借助题设条件运用递增数列建立不等式求解.试题解析：（1）因为4+i=S*i_S“，所以5川=2.+3。.1 分 S z 3m1 2 1+3 3 _ 2S“-2X3”_2.Sn-3n Sn-3n且 q-3 H 0,所以 S”-3”是以q一3为首项，以2为公比的等比数列.6分（2）由（1）得，S“3 =（q3）X2T,所以S,=（%3）X2T+3.当 2 2时，an=S-S,i =（q -3）x+3”（q -3）x2n-2+2-3-=（al-3）x2n2+2x3n,.8 分若 6,为递增数列，则4+|4对N*恒成立.当 2 2 时;（43）x 2 T +2 x 3 （a,-3）x 2-2+2 x 3n+l,则2 -2 1 2 x（5）+q 3 0对N*恒成立，则%9；.1 0 分又。2 =q +3 q所以6的取值范围为（一 9,3）U（3,+8）考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用.1 8.（本小题满分1 2分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，己知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的2 0 0辆汽车所用时间的频率分布如下表：第1 2页 共1 2页所用的时间（天数）101 11213通过公路1 的频数20402020通过公路2 的频数10404010假设汽车A 只能在约定H期（某月某II）的前11天出发，汽车3 只能在约定II期的前12天 出 发（将频率视为概率）.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市.乙，估计汽车A 和汽车B应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2 的“一次性费用”分别为3.2 万元、1.6 万 元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担.如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2 万元；若在约定日期后送到，每迟到一天,生产商将支付给销售商2 万 元.如 果 汽 车 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大.【答案】（1）汽车A 选择公路1,汽车8 选择公路2；（2）汽车8 为生产商获得毛利润更大.【解析】试题分析：（1）依据题设条件计算概率,通过比较分析求解；（2）借助题设条件运用数学期望的大小分析推证.试题解析：（1）频率分布表，如下：所用的时间（天数）10111213通过公路1 的频数0.20.40.20.2通过公路2 的频数0.10.40.40.1设 A，4分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1、2 将货物运往城市乙；4、员 分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1、2 将货物运往城市乙；P（A）=0.2+0.4=0.6,P（A）=0.1+0.4=0.5,P（Bi）=0.2+0.4+0.2=0.8,闯=0.1+0.4+0.4=0.9,所以汽车A 选择公路1,汽车B 选择公路2.（II）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X=42,40,38,36.第1 3页 共1 3页X的分布列如卜:X4 24 03 83 6P0.20.40.20.2E（X）=4 2 x 0.2 +4 0 x 0.4+3 8 x 0.2 +3 6 x 0.2 =3 9.2 .表示汽车A选择公路1 时的毛利润为3 9.2-3.2 =3 6.0 （万元）.设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y=4 2.4,4 0.4,3 8.4,3 6.4.则Y的分布列如下：X4 2.44 0.43 8.43 6.4P0.10.40.40.1E（Y）=4 2.4 x 0.1+4 0.4 x 0.4 +3 8.4 x 0.4 +3 6.4 x 0.1 =3 9.4.3 6.0 0),P E =flCB,则C(O Q O),/(L 0,0),3(0/0),P ip O,由AM_AEA N=A,得“：1一1；1 月 A P 2尢 而=(0九阳0)%=(0,0,1)是平面月B C的一个法向量，且 .而？=0,故 如-面？,又：M N 0平面.4BC,即知A V二平面月 B C,又.瓦C M,N四点共面，.A I V二3 C二尸E；(2)丽=(0,M 0),两=(1/,4卬 岑2设平面OWN的法向量q=(X 1,y,zJ,贝ij 丽=0,/两 =0,可取阳=1,0,又%=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量,由*J,即242+44 4=0,解得4=6 1 (负值舍去)，故4=6 1.考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用.【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一，也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第问中的求证是借助向量共线定理进第1 5页 共1 5页行推证的;第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出A =V 3-1.如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在.2 0.（本小题满分12分）如图，已知圆E:（x+6J+y 2=1 6,点 川 6,0）,P是圆E I二 任意一点线段P 尸的垂直平分线和半径 PE相交于Q.（1）求动点。的轨迹的方程;（2）设直线/与（1）中轨迹r相交下A,B两点，直线OAJQB的斜率分别为K次,修（其中上 o）.A O A B的面积为S,以0A08为直径的圆的面积分别为,5 2.若 匕,女 欢2恰好构成等比数列，求 卫 士 的 取S值范围.*8 .【解析】试题分析：（1）依据题设条件运用椭圆的定义建立方程求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立函数求解.试题解析：（1）连结。尸,根据题意，|。尸|=|。耳,则 QE+QF=QE+QP=4 EF1=20,故动点。的轨迹是以E,尸为焦点，长轴长为4 的椭圆.2 分设其方程为2 7X X，/L 记=1(Z?0),可知。=2,c =y/a2 b1=V3 ,则 b=1,3 分第1 6页 共1 6页2所以点。的轨迹的方程为为?+产=1.4 分（2）设直线/的方程为y=+A（x，y ）,8（工 2，%）由 y=kx+m元 2 2.+V-=1 4 可得（1 +4 攵+Skmx+4（2-1）=0,由韦达定理有:8km玉+%由4（/-1）中 2=、且 A =16（l +4 公-加）06 分k、,k,k,构成等比数列，,k2=k、h =囱+孙5+w中 2即：切Mx+x2）+m2=0,1 1由韦达定理代入化简得：k2-.V kQ,：.k=-.8 分4 2此时八=16（2 /）0,即机e（又由A、0、5三点不共线得a wO从而me（-夜,0）U（0,3）.故 S=；14 M.d=g jl +k2 1%1-x2|-j L：=J（X +工2）2 4 二 工 2 m =-|m|0 分又 今+3=今+只=1第17页 共17页贝!S|+$2 =：(九；+y；+x2+；+2=(X|+/一2 X/2 +5=弓 为 定 值.12 分S 1+S,_ 5二 一 二 7 齐综上：N e|2S 4)STT-2 当且仅当 2 =1时等号成立.m2-|zn|4,+.14 分考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用.2 1.(本小题满分12 分)已知函数/(x)=-l n x(z 0).ax(1)求函数/(x)的单调区间；(2)当。=1时，求 X)在 1,2上的最大值和最小值(0.69 In 2 0.70)；/+X(3)求证：In x x【答案】(1)若 a (),/(X)的单调增区间为(0,!),单调减区间为(工,+8)；(2)最大值为0,最小值为-l +l n 2；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)依据题设条件依据导数和函数的单调性的关系分类求解；(2)借助题设条件运用导数求解;(3)运用导数的知识及最大最小值进行推证.第 18页 共 18页试题解析：（1）函数的定义域为（0,内）,：f x）=-nx,ax1Ix ox-a(x-l)1 _-ax _ x：.f(x)=-5-_ _ _ 5 (ax)*X ax x*若a 0,所以x-L 0,故/(x)1.5-2 x 0.7=0.1 0,所以故函数x）在；,2上的最小值为/；）=-l +l n 2.（3）由（2）可知，函数/（x）=l-In x在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减,故函数/（x）在（0,+8）上的最大值为 1）=1-1一l n l =0,B P/（x）0.故有l l n x WO恒成立，所以1 l n x W,，故2 l n x l +,，X X X第1 9页 共1 9页e1 1+尤即 In 一 F=,1 D =2,因为A5 DFs*3C,所以BD _DF _BF Bn BD _BF 1 _BF F#D _DF 1 2BF CB CF BF CF BF 2 BF BC&BCC B =2&,因为X C与圆。相切于点3 ,所以C*=C F-C E,即8 =2 C E,所以C E =4.考点：圆的有关知识的及运用.2 3.(本小题满分1 0分)选 修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆。的方程为p=2 a c os6(a H0),以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线/的参数方程为 C 为参数).y =41 +3(1)求圆C的标准方程和直线/的普通方程；(2)若直线/与圆C恒有公共点，求实数。的取值范围.25【答案】4x-3 y +5=0 ,(x-a)-+y2-a2；(2)a -=-三,3 44所以直线/的普通方程为：4x 3 y +5=O,.2分由 p=2 a c os6=p1-2apcosO又 p2 =x2+y2,pc os =xx=3f+l吨=今+3得所以，圆C的标准方程为(x a +y 2=a 2,.5分0,(9 a +5)(a-5)0所以a的取值范围是a W 或a 2 5.1 0分Q第2 1页 共2 1页考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用.2 4.(本小题满分10分)选 修4-5：不等式选讲(1)设函数x)=x|+k一4，%火，若关于x的不等式/(x)2 a在/?匕恒成立，求实数。的最大值；3 2 1(2)已知正数及y,z满足x+2y+3z=l,求一+的最小值.x y z【答案】(1)3；16+8J5.4【解析】试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析：(1)由绝对值的性质得/(x)=x-g+,一。号=a-工，.3分所以x)的最小值为|a,从 而|a Na解得a.因此。的最大值为 之.43 2 I,3 2 1、(2)由于x,y,z 0,所以一+=(x+2y+3z)一+x y z yx y z)5分2=(g +2+6=16+8 百.当且仅当|=竽=牛，即x:y:z=3:百：1时，等号成立.8分x y z*.I-1 的最小值为 16+8/.10 分x y z考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用.第2 2页 共2 2页