课改后全国数学高考试题3.pdf

(4)设函数/(x)=；x-l nx(x 0),则y =/(x)A.在区间(L 1),(1,e)内均有零点.eB.在区间(L 1),(1,e)内均无零点.ec.在区间d，l)内有零点，在区间(l,e)内无零点.eD.在区间己)内无零点，在区间(l,e)内有零点.e1 1 r-3【考点定位】本小考查导数的应用，基础题.解析：由题得/、()=-=，令3 x 3x得x3；令/、(x)v O得0 x3；/、(x)=0得x =3,故知函数/(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,E)为增函数，在点x =3处有极小值l -l n 3 0；又/(l)=1,/(e)=-l 0,故选择 D.3 3 e 3e(5)阅读右图的程序框图，则输出的$=A.2 6 B.3 5 C.4 0 D.5 7【考点定位】本小考查框架图运算，基础题.解：当i =l时，T =2,S =2：当 i =2 时，T =5,S =7；当 i =3 时，T=8,S=1 5；当 i =4 时，T =H,S =2 6；当i =5 忖，T =1 4,S =4 0；当i =6 时，T =1 7,5 =5 7,故选择C.(6)设。0 1 0.若 百 是3 与3 的 等 比 中 项，则 上+的最小值为a bA 8 B 4 C 1 I)-4【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力.【解析】因为3 -3 =3,所以。+分=1,1 I 1 =(/a+b，、)(/1 H 1、)=-2 +b I Q、N 2一 +2 Jb ,a =4,当且仅，当，一b 二a 即 a b,1 时.ta b a b a b a b a b 2“二”成立，故选择Cjr(7)已知函数/(x)=s i nx +)&w R 0)的最小正周期为 不，为了得到函数4g(x)=cos方X的图象，只要将y=/(x)的图象T T T TA.向左平移上个单位长度 B.向右平移上个单位长度8 8T T T TC.向左平移生个单位长度 D.向右平移生个单位长度4 4【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题.解析：由题知=2,所以/(x)=sin(2x+7)=cosy-(2x+夕=cos(2x 一 夕=cos 2(x-5,故选择 A.(8)已知函数/(x)=1 了 2 +4，x x一 2 0若/(2-。2)/伍),则实数a的取值范围是4x x2,x 0A(-0 0,-1)u(2,+o o)B(-1,2)C (-2,1)D (-0 0,-2)u(l,+o o)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用.以及一元二次不等式的求解.解析：由题知/(x)在K上是增函数，由题得2-1。，解得-2 a l,故选择C.(9)设 抛 物 线 产=2 x 的焦点为F,过点M (百，0)的直线与抛物线相交于A,B 两点，与抛物线的准线相交于C,忸日=2,则A B C F 与A A C F 的面积之比岂=S MCF【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中匕=瑞瑞总故选择A.(1 0)0 b (a x)2的解集中的整数恰有3个，则(A)-l a 0 (B)0 a l (C)l a 3 (D)3 a (a x)2即(a2-1)x2+2bx-b2 0,它的解应在两根之间，故 有 =4/+4/(/=o ,不等式的解集为%或6 f-l 。+1b b h h0 x .若 不 等 式 的 解 集 为%,又由得+1 Q Q 。+10 1,故一3(卫 一2,即2 上 a-J 3 .2Y 1 一 (t为参数)，=1 +3/直线4的方程为y=3 x+4则lx与12的距离为侧视图【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题.解析：由题直线/1的普通方程为3 x y-2 =0,故它与与4的距离为昌=2普(1 4)若 圆 2 +2 =4与圆龙2+2+2町 6 =o(a 0)的 公 共 弦 的 长 为26,则【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题.解析：由知/+/2+2 -6 =0的半径为16+42,由图可知6+。2一(_。1)2=(上)2解之得a=1(15)在四边形 A B C D 中，ABDC=(1,1),1 1 BA+B C =BA BCBD町 则 四边形ABCD的面积是【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题.解析：由题知四边形ABCD是菱形，其边长为J I,且 对 角 线BD等 于 边 长 的 袁 倍，所 以C OSABO=-2蹩 一，=一.，故2-V2-V2 2sin ABD=,SABCD=(叵 丫 .%=也.(16)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题.解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：=90种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有:C；A；C：+C；C；A；C；=234 种，所以共有 90+234=324 个.三、解答题：本大题共6 小题，共 76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(1 7)(本小题满分 12 分)在/ABC 中，BC=A/5,AC=3,sinC=2sinA(I)求AB的值；(I I)求sin 2 4-(的值本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.(I)解：在aABC中，根据正弦定理，卫-=2 ,于是=28c=2后sin C sin A sin A(I D解：在AABC中，根据余弦定理，得cos4=一=工248 AC 5于 是 sin A=V l-cos2 A=,从 而54 ,3s in 2 A =2 s in A co s A =w，co s 2 A =co s A-s in /I =71所以 s in(2 A-a)=s in71.71 y/22 A co s-co s 2 A s in =-4 4 1 0(1 8)(本小题满分1 2 分)在 1 0 件产品中，有 3 件一等品，4件二等品，3 件三等品.从这1 0 件产品中任取3 件，求：(I )取出的3 件产品中等品件数X的分布列和数学期望；(I I)取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分1 2 分.(I )解：由于从1 0 件产品中任取3 件 的 结 果 为 从 1 0 件产品中任取3 件，其中恰有k件一等品的结果数为C；C；，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=，4=0,1,2,3 所以随机变量X的分布列是C,0X0123P72 1712 44 04 01 2 07217 1 9X 的数学期望E X =0 x+l x +2 x +3 x=2 4 4 0 4 0 1 2 0 1 0(I I)解：设”取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1 件一等品和2 件三等品”为事件A i“恰好取出2件一等品“为事件A”恰好取出3 件一等品”为事件A由于事件A,A z,A 3 彼此互斥,K A=AlU A2U A3MI 2P(A)=c c =花3 ，P(A 2)=尸(X=2)=为7 ，P(A s)=尸(X=3)=询1，G 10所以取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A)+P(A)+P(A)=+=+=1 丝 3 4 0 4 0 1 2 0 1 2 0 4 0(1 9)(本小题满分1 2 分)如 图，在五面体A8CDEF中，E 4 J 平面 A B C D,A D/B C/F E,A B 1 A D,M 为 E C 的中点,A F=A B=B C=F E=-A D2(I )求异面直线B F 与 D E 所成的角的大小;(I I )证明平面A M D 1 平面C D E；(I l l)求二面角A-C D-E 的余弦值.本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力.满分1 2 分.方法一：方)解:由题设知，B F/C E,所以N C E D (或其补角)为异面直线B F 与 D E 所成的角.设P为 A D 的中点，连 结 E P,F-去P C.因为 F E A P,所以 F A E P,同理 A B 2 P C.又 F A J _ 平面 A B C D,/：所以E P _L 平面A B C D.而 P C,A D 都在平面A B C D 内，故E P _L P C,_ 3E P _L A D.由 A B A D ,可 得 P C A D 设 F A=a，贝 U 8 CE P=P C=P D=a,C D=D E=E C=V 2 a ,故/C E D=6 0 .所以异面直线 B F与 D E 所成的角的大小为6 0(H)证明：因为OC=OE且 M 为CE的中点，所以DM J L C E,连接MP,则 M P _ L C E,又 MPADM=M,故 C E _ L 平 面 AMD,而 CEu平 面 C E ,所以平面AMD _L 平面C D E(I I I)解：设Q为CD的 中 点，连 结 P Q,E Q.因为C E =DE,所以E Q _L C D.因为P C =PD,所以PQ_ LCD,故NEQP为二面角A C D E的平面角.由(I )可 得，E P L P Q,EQ=-JyAa,P Q =V 2-a.于 是 在 RtEPQ 中，c o s N E Q P =2=1 8,所以二面角A-CO-E的余弦值为也E Q 3 3方 法 二：如 图 所 示，建 立 空 间 直角坐标系，点 A 为 坐 标 原 点.设 4 8 =1,依题意得B(l,0,0),C(l,L 0),0(0,2,0),E(0,l,l),F(0,0,l),MQ,1,0(I )解：诉=(1,0,1),DE=(O,-L 1),j E于 是/一 尸 二 .：所以异面直线BF与 DE所成的角的大小为6 0 .(H)证明：由 画7 =(；,1，)，C E =(-1,0,1),而=(0,2,0),可 得 怎 丽7 =0,瓦 而=0,因此，C E J.A M,C E A.A D,又4 A/c A O =A,故C E _L平面AMD而CEu平 面CDE,所以平面AMD,平面C D E.a CE=0,(I I I )解：设 平 面C D E的 发 向 量 为u =(x,y9 z),则 _ 于 是u D E =0.:一 令x=L可得M=(1,LD.又 由 题 设，平 面ACO的 一 个 法 向 量 为-y+z=0.v=(0,0,1).所以,c o s(w,Q=Ot0+1=且.因为二面角A -C。-E为锐角，所硼 V 3 l 3以其余弦值为史3(2 0)(本小题满分 1 2 分)已知函数/(x)=(X?+a x-2/+3 a)e*(xe R),其中a w R(I )当。=0时，求曲线y=/(x)在点(1 J(1)处的切线的斜率；2(I I )当a。3 H寸，求函数/(x)的单调区间与极值.本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分1 2分.(I )解：当a =0时，f(x)=x2ex,/(X)=(X2+2X 蚓 =3 e.所以曲线y=/(x)在点(1,/(I)处的切线的斜率为3e(I I)解：f (x)=x2+(a +2)x-2a2+4 o ex2令/(x)=0，解得x=2 a,或x=a 2.由a 知，一2 a W a-2.2以下分两种情况讨论.(1)若。，则一2。一2.当x变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表：X(-8,-2。)-2 a(-2 a,a -2)a 2(Q 2,+0)+004-/极大值极小值/所以/(x)在(一8,-2。),(。-2,+8)内事增函数，在(一2 ，。一 2)内是减函数.函数/(x)在x=-2。处取得极大值/(-2G),月/(-2 a)=3ae-2a函数/(x)在x=a 2 处取得极小值/仅一2),S/(a-2)=(4-3a)ea-2.2(2)若则-2 a a-2,当x变化时，fx),/(x)的变化情况如下表:X(-8,a-2)a-2(4 -2,-2 )一 2a(-2，+0 )+00+/极大值极小值/所以“X)在(8,。-2),(-2 ,+8)内是增函数，在(a-2,2 a)内是减函数.函数/(x)在 x=a -2 处取得极大值 f a-2),S.f(a-2)=(4-3 a)e 所？函数/(x)在x=-2 a处取得极小值/(-2 a),月/(-2 a)=3四 一2 2 2(2 1 )(本 小 题 满 分1 4分)已 知 椭 圆=+2r=l(ab 0)的 两 个 焦 点 分 别 为a b片(c,0)和工(c,O)(c 0),过 点(,0)的 直 线 与 椭 圆 相 交 与A,8两 点，且CFYA/F2B,FA=2F2B.(I )求椭圆的离心率：(I I)求直线A B的斜率：(I I I)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F,B上有一点”(z,)(加H 0)在 AFC的外接圆上，求一的值m本小题主要考查椭圆的标准方程和儿何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满 分1 4分a2(D M：由K A F?B且归A|=2艮B|，得EF2EKF2BK A1 -c -,从而S=-2 a2 2+c整理，得/=3 0 2,故离心率e =且a 3(H)解：由(I )得/=。2一。2=2。2,所以椭圆的方程可写为2 x 2+3 y 2 =6,2(2 设直线AB的方程为y =Z x-，即=打1一3 c)c7由已知设A(王，必),%)，则它们的坐标满足方程组y =k(x-3c)2x2+3)2 =6 c 2消去 y 整理，得(2 +3k2)x2-18k2cx +27k2cl-6 c2=0.依题意，A=4 8c 2(l 3/)0,得-与 女曰而1 8k 2 cX.+X.-7-2+3k2x1x2=2 1 k H e c2 +3/2 一由题设知，点B为线段AE的中点，所以Qk2c-2rX 3C=2X2 联 立 解 得 七二:,2 +3公Z，将x x2代入中，解得k=+.2 +3%3(III)解法一：由(H)可 知%=0,工2=3，当 女=一 日 时，得A(0,J5C),由已知得C(0,J5 c).线段A K的垂直平分线1的方程为y *c=,直线/与X轴的交 点 惇o)是A A F。外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(xf+/=仁+。.直 线 的 方 程 为y =J *-c)，于是点H(m,n)的坐标满足方程组/、2 c 2 ，c 2 m =c lm +一 =3 n 2 J2I 2 4 ,由?HO,解得 故 二=12 72 t n 5n=y J2(m c)n -c当 人 孝 时 同 理 可 得 台 一 受解法二：由(II)可知菁=0,赴，当 女=一 时，得A(0,g c),由已知得。(0,CC)由椭圆的时称性可知B,F2,C 三点共线，因为点H(m,n)在A 4C 的外接圆上，且 6A 工8,所以四边形A C7/为等腰梯形.由直线F/的方程为y =J5(x-c),知点H 的坐标为(m,”一岳).因为|A”|=|。用，所以相？+(0机一行c-&c)2=/,解得m=c(舍)，或加=g c.则 =逑。，所 以 巴=迪，当左=也 时，同理可 得 巴=一 述3 m 5 3 m 5(2 2)(本小题满分1 4 分)已知等差数列%的公差为d (d WO),等比数列 勿 的公比为q(q D .设S =44+。2%+.+。也，(一。2 82+(一 1 严。也，nW N+(I )若/=4=1,d=2,q=3,求 S3 的值；(II)若 4=1,证 明(1-q)(1-应-(1+州“=2M 1 -?),6 N*1-q(III)若正整数n 满 足 2 W n W q,设配七和.是1,2,.,n 的两个不同的排列，q =%也+%为+%瓦，Q=+。科2+q证明C1/C2.本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满 分 14分.(D M：由题设，可得%=2-1也=3T,eN*所 以,S3=ab+a2b2 +a3b3 =1x1+3x3+5x9=55(I I)证明：山题设可得以=/i则S2n=at+a2q+a3q2+a2nq2,T2n=a,-a2q+a3q2-a4q+.-a2nq,式减去式，得S?”心,=2(4 4+4 4/+4应 i)式加上式，得 2“+72“=2(q+a3q2+.+a2n_q2n2)式两边同乘 q,得q(S2ll+T2n)=2(a”+-+a2n_iq2)所 以,(1 r电“-(I+/耳=“-耳)-q凡+凡)=2 d(q+/+K +产i)2dq(-ql t t).=-7-,e N1-/(III)证明：C 1-c2-(a4)伉 +一传 泡 +K +(%-%).=(kI-ll)dbl+(k2-l2)dblq+K +(k“-l”)dbT因为 d#o,4#o,所 以 汩S=g T)+(&一/2)q+K+(%“/“)qidb(1)若 女 取 i二n(2)若 女 =/“，取 i 满足占 A/,且为=/j,i+l 由(1)，及题设知，l i4.同理可得1,因此综上，。产。2d2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)参考公式：如果事件A,8互斥，那么 棱柱的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh如果事件A,8相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高P(AB)=P(A)P(B)棱锥的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p ,那么次独立重复试验中事件A恰好发生女次球的表面积公式S=44外球的体积公式V =_4欣&3其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10有一项是符合题目要求的.V =-Sh3其中5表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高棱台的体积公式V=1/Z(S,+75A+S2)其中SI、S 2分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高,每小题5分,共5 0分。在每小题给出的四个选项中，只1.设。=尺，A=x|x 0 ,8=x|x l ,则A C。，8=()A.x|0 x 1 B.x|0 x 1 C.x|x 1答案：B【解析】对于。8=卜 卜4 1 ,因此4 0。/=x|0 x 0且。0 是“a +b 0且出?0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C【解析】对于“a 0且b 0”可以推出“a +8 0且。6 0 ，反之也是成立的3.设Z=l +i (i是虚数单位)，则*+z2=()ZA.1 /B.1 +i C.1 i D.1 +i2 2答案：D【解析】对于一+2 2=+(1+/)2=1-Z+2 Z=1 +ZZ 1 +i4.在二项式(x 2-)5的展开式中，含/的项的系数是()XA.10 B.10C.5 D.5答案：B【解析】对于&|=C(x 2)5 r (-与=(1丫0/口，X对于10-3=4,.=2,则 手 的项的系数是(-1)2=105.在三棱柱A BC-A 4 G中，各棱长相等，侧接垂直于底面，点。是 侧 面 的 中 心，则A。与平面SAG。所成角的大小是（）A.30 B.4 5 C.60 D.9 0 答案：C【解析】取BC的中点E,则4 _ 1面88，A E _ L D E,因此A0与平面B B.C.C所 成 角 即 为Z A D E ,设A B =a,则A E a,D E =,即有2 2t an Z A D E =5:.N A D E=60.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的人的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7答 案：A【解 析】对于=0,s =1,/.k=1 ,而 对 于 女=1,$=3,/.k=2,则上=2,s =3+8,k=3,后面是左=3,s =3+8 +2”,.乂=4,不符合条件时输出的4=4 .7.设向量a,8满足：|a|=3,|8=4,a b =0.以a,5，a ）的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现.8 .已知a是实数，则函数/（x）=l +as i n ax的图象不可熊是（）答案：D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为T=若,.同 1,.T 0/0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的a b两条渐近线的交点分别为5,C.若 而=g瑟，则双曲线的离心率是（）A.V 2 B.V 3 C.V 5 D.V 1 0答案：C【解析】对于A(,0),则直线方程为x +y-=0,直线与两渐近线的交点为B,(a2 ah a1 a b、.C ，B-,C(-)，则 有+b a+b)a-b a-b前=(孚乂,_/乂),而=,因2而=晅,4。2=/=6a2-b2 a2-b2 I a+b a+b)1 0.对于正实数a，记 Ma 为满足下述条件的函数/*)构成的集合：/玉,2 e R 且，有一1(2再)/。2)-/(石)g(x)e a.a2B.若/(x)e M m，g(x)e Ma l,且 g(x)W O,则 翌g(x)而C.若/(x)e M a i，g(x)e M a 2，则/(x)+g(x)e 必 皿D.若/(x)e M|，g(x)G M&2，且。2，则/(x)-g(x)e 屿 5答 案：C【解 析】对 于 一 a&2 一)/()一/(七)(%2一%)，即 有_ )/(玉),令/(卜/(再)=(,有一口人 a,不妨设/(x)e M“1,x2 一须 x2 x1g(x)e Ma 2,即有一 与 必，一见 勺 a 2,因此有一名一见 2,1 3.若实数x,y满足不等式组 2 x-y 0,2答 案：4【解 析】通过画出其线性规划，可 知 直 线y =-1X+Z过 点（2,0）时,(2 x+3*=41 4.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为2 0 0千瓦时，低谷时间段用电量为1 0 0千瓦高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）5 0及以下的部分0.56 850及以下的部分0.2 88超过50至2 0 0的部分0.59 8超 过5 0至2 0 0的部分0.3 1 8超 过2 0 0的部分0.6 6 8超过2 0 0的部分0.3 88时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）.答案：1 48.4【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为50 x 0.56 8+1 50 x 0.59 8；对于低峰部分为50 x 0.2 88+50 x 0.3 1 8,二部分之和为1 4841 5.观察下列等式：C；+C/=23-2,C；+C；+C；=2，+2 3,c H+a +G WC；7+c,57+C：+C,7=2 5+27,由以上等式推测到一个一般的结论：对 于 e N*,C；t+,+穹用+C：f l+I+O=.答案：2 i+（-l）”22e【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论山二项构成,第 二 项 前 有（1）”,二 项 指 数 分 别 为 2*,2 2 1 ,因 此 对 于 ns N*,C：用+e+C：e+,+：=24-1+（-1）-22-116.甲、乙、丙3 人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）.答案：3 3 6【解析】对于7 个台阶上每一个只站一人，则 有 种；若有一个台阶有2 人，另一个是1人，则 共 有 种，因此共有不同的站法种数是336种.17.如图，在长方形A8CO 中，A8=2,BC=1,E 为 D C的中点，尸为线段EC（端点除外）上一动点.现 将 A A F 0沿 4 尸折起，使平面平面A 8 C.在 平 面 内过点。，作 O K J.A B,K 为垂足.设A K=f,则f 的取值范围是.（第17题）答案：f 1,l j【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC的中点时,，=1,随着F 点到C点时，因C5 _L 4 8,。8，。长,，。6_1平面4。8,即有对于CD=2,BC=1,;.BD=6,又 AO=1,A8=2,因此有 则有/=,2因此f 的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分14分）在A 4 8 c 中，角 A,B,C所对的边分别为a,4 c,且满足cos=拽,2 5AB-AC=3.（I）求 AA8C 的面积；（ID 若6+c=6,求a 的值.解析：（I）因为cos /.cos A 2 cos 1 ,sin A,又由 A 5，AC=3,2 5 2 5 5得 be cos A=3,be=5 f S 0 =；be sin A=2(II)对 于 be=5,又b+c=6,./?=5,c=l 或/?=l,c=5,由 余 弦 定 理 得2=b2+c2 2bc cos A=20,/.a=2y/51 9.(本 题 满 分1 4分)在1,2,3,，9这9个自然数中，任取3个数.(I)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(II)设J为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时J的值是2).求随机变量4的分布列及其数学期望c c 1 0解析：(D记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则P(A)=*牛=；C；21(II)随机变量J的取值为0,1,2,J的分布列为12日P51 2 _211 25 1 1 2所以4的数学期望为二=*E+以5+2 五=52 0.(本题满分1 5分)如 图，平面尸A C _ L平面A B C,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，及 。分别为2 4,PB,A C 的中点，A C =1 6,P A =P C =1 0.(I)设G是。的中点，证明：F G/平面BOE；(I D证明：在A A B。内存在一点M,使平面BOE,并求点M到O A ,OB的距离.证明：如图，连结O P,以O为坐标原点，分别以O B、O C、O P所在直线为X轴，y轴,Z轴，建立空间直角坐标系O Z,则 0(0,0,0),A(0,-8,0),5(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(O,4,O),因 历=(8,0,0),砺=(0,4,3),因此平面 B O E 的法向量为3=(0,3,4),而=(-4,4,3得 方=0,又直线F G不在平面8OE内，因此有R 7/平面(II)设 点M的坐标为(%,九,0),则 丽 =(%4,加 3),因为-9F M _ L平 面B O E,所以有K W /1,因此有%=4,%=-1,即点 xM的坐标为1 4,-(,0),在平面直角坐标系x oy中，A A O 8的内部区域满足不等式组x 0 y0,经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在A A 8。内存在一点，使x-y8 0)的右顶a b点为A(l,0),过G的焦点且垂直长轴的弦长为1.(I)求椭圆。的方程；(H)设点P在抛物线。2：y =x2+h(h&R),G在点处的切线与a交于点M,N.当线段4 P的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值.b=l (o 2a=2 v o解析：(D由题意得h2，乂，所求的椭圆方程为乙+/=1,2 =1 b=4l a(II)不 妨 设 知(西,仙)”(,为)/。，产+)，则 抛 物 线G在 点P处的切线斜率为y x=l=2t ,直 线MN的 方 程 为y=2比一产+/?,将 上 式 代 入 椭 圆 的 方 程 中，得4 x2+(2 -r2+/2)2-4 =0 ,即 4(1 +/)2 由(/一防x +(r%)2-4 =0 ,因为直线MN与椭圆G有两个不同的交点，所以有A =1 6 -+2(/?+2)/一r+4 0,设线段MN的中点的横坐标是x3,则 刍=%产=:二:,设线段P A的中点的横坐标是,则，由题意得刍=匕，即有+(1 +1 =0,其 中 的=(1 +%)2 4 2 0,或/?4 3；当一3时有4 +2 0,4-/2 0,因此不等式AI=16-0+2(/I+2)“一江+町。不成立；因此力2 1,当 =1时代入方程产+(1 +1 =0得f =-l,将力=代入不等式4 =1 6 -+2(/2 +2)*-%2+4 0成立，因此/的最小值为1.2 2 .(本题满分1 4分)已知函数/(了)=*3-(女2一人+)+5无一2 ,g(x)=k2x2+kx +,其中Z e R.(I)设函数p(x)=/(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求女的取值范围；(ID设函数观 幻=1一 是否存在女，对任意给定的非零实数再，存在惟一的f(x),x 0.非零实数(2。为)，使得q(尤2)=4，XJ成立？若存在，求上的值；若不存在，请说明理由.解析：因 P(x)=/(x)+g(x)=x 3+伏-1)/+仅+5),p(x)=3 x2+2(%l)x +伏+5),因 p(x)在区间(0,3)上不单训，所以 p(X)=0 在(0,3)上有实数解，且无重根，由p(x)=0得M 2 x +1)=(3-2 X +5),k(3/-2 x +5)2 x +l4(2X+1)+7T1 0T,令f =2 x +l,有f e (1,7),记g)=/+则(/)在(1,3 上单调递减，在 3,7)上单调递增，所以有人(/)e 6,1 0),于Q是(2 x+l)+六J6,10),得l e (5,-2 ,而当女=2 时有p(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x =l,故舍去，所以壮(一5,-2)；(II)当 x 0时有q(x)=g(x)=2/x +A ,因为当)=0时不合题意,因此、。0,下面讨论女。0的情形，记A =(A,+8),B=(5,+8)(i)当王0时，q(x)在(0,+8)上单调递增，所以要使q(x 2)=q(x j成立，只能看0且AQB,因此有Z 2 5,(i i)当王0时，q(x)在(0,+8)上单调递减，所以要使/()=4(内)成立，只能0且AqB,因此 A W 5,综 合(i )(i i)左=5；当女=5时人=8,则 Vx 1 0,/(x Je 8 =A ,即士2 0,使得q(X 2)=q(x J成立，因为q(x)在(0,+8)上单调递增，所以X 2的值是唯一的；同理，Vx,0,即存在唯一的非零实数(H x J,要使/()=4(王)成立，所以女=5满足题意.2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学IS2=一一再-了)2,其中元=-力再参考公式：样本数据为衣2,的方差 n;=1一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共7 0分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若复数&=4 +2 9 z,Z 2 =6 +9 i,其中/是虚数单位，则复数(曷一 z2)i的 实 部 为.【答案】-22 .已知向量a和向量的夹角为3 0,1=2,|5|=3 ,则向量您和向量b的数量积a b=a b=2-y/3-=3【答案】3【解析】23 .函数/（X）=尤 3 _ 5 工 2 _ 3 3 x +6的单调减区间为【答案】3【解析】2 ,3 ，所以0 =3,5 .现有5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为【答案】0.2【解析】略6 .某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投1 0 次,投中的次数如、表：学生1 号2号345甲班67787乙班676792则以上两组数据的方差中较小的一个为S =.2【答案】57.右图是一个算法的流程图，最后输出的卬=.【答案】2 28 .在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面 积 比 为 1：4,类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为【答案】1：89 .在 平 面 直 角 坐 标 系 工 分中，点P 在 曲 线C：y =d 1 0*+3上，且在第二象限内，已知曲线c在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.答案（2,1 5）y/5-11 0 .已知 2 ，函数若实数加，满足/（加）/（），则根，的大小关系为【答案】m n1 1 .已知集合A=*U0g2*2,8=（8,。），若 A q 8 则实数。的取值范围是（g+）,其中 c二【答案】4【解析】由l g 2 X 2 得 0 x4,所以c=4.1 2 .设a和仅为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于月内的两条直线，则a平行于,；（2）若二外一条直线/与。内的一条直线平行，则I和 a平行；（3）设。和A相交于直线/,若&内有一条直线垂直于，则。和仅垂直；（4）直线/与 二垂直的充分必要条件是/与a 内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号【答案】（1）（2）（写出所有真命题的序号）.x2 y2A A +ZT =Kab0)1 3 .如图，在平面直角坐标系x中，&，4，均 为 椭 圆 矿b-的四个顶点，/为其右焦点，直线4层 与直线5/相交于点T,线段0T与椭圆的交点M恰为线段丁的中点，则该椭圆的离心率为.【答案】e=2 j 7-5【解析】用凡dc表示交点丁，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.1 4 .设 “力 是 公 比 为 夕 的 等 比 数 列，1 ,令么=。“+1(=1,2,)若 数 列 也 有连续四项在集合-53,-2 3,1 9,3 7,8 2 中，则 的=【答案】-9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数 减1,观察即可得解.二、解答题：本大题共6小题，共计9 0分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15 .(本小题满分14分)设向量。=(4cos a,s i n a),b=(s i n 4cos/?),c=(cos/?,-4s i n/7)(1)若。与2c垂 直,求t a n(a +0的值；求.的最大值;(3)若t a na t a n/?=16,求证：t t/b_【解析】由。与 办-2c垂直，a,S-2c)=”2”-c=0,即 4s i n(a +夕)-8 cos(a +夕)=0 t a n(a +0 =2.b+c=(s i n 0+cos ,4 c o s 4 s i n 0)b+cf=s i n?尸+2 s i n 夕 cos /3+cos2(3+16 cos2 0 -32 cos /s i n 尸+16 s i n2 0=17-30s i n cos/7=17-15 s i n2最大值为32,所以I +C|的最大值为4啦.由tan 1 =【解析】若/却，则a t z (2)当x N a 时,J/(x).=/mm/(x)=3 x2-l ax +a2,f(aa0/(),0=2/-,a 02a2,a 0/(a),a 0综上 2。”,a N 02a2 八-,a 0 ,戈 =4/_ 2(/_ 1)=12 8。2,当a 一 取“一 彳 时，0 x aV 6 V 6当2 2时，八0,得zV 2 V 61）ae（E，3）时，XG（a,+o o）2)rV 2 V 21a e _ _ r-，2 2时,3)（一 里 一 马2 2时,c i J 3-2 a j a +，3-2ci 23 3X G (,2