高考数学5年高考真题与模拟专题07平面向量理.pdf

【备战2 0 1 3】高考数学5 年高考真题精选与最新模拟专题0 7 平面向量理【2012高考真题精选】1.(2012浙江卷设a,b是两个非.零向量()A.若|a+b|=同一|b|,则 a_LbB.若 a，b,则|a+b|=|a|一|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数3使得b=XaD.若存在实数入，使得b=X a,则|a+b|=|a|一|b|【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质.法一：对于选项A，若a+5=a-3可得a,匕=-a b,则a与5为方向相反的向量，A不正确；对于选项3,由a-Ld得aP=0由a+i=a 得b a ,B不正确;对于选项C,若a+b=a 方可得a b=-a力，则a与b为方向相反的共线向量，5=)%对于选项D,若5=力，当时，a+j=a+b,当上时，可有q+5=a-2,故不正确.法二：特值墟证排除.先取，=(2,0),5=(-1,0),满 足 一 如 但 两 向 量 不垂直，故A错；再 取a=(2,0),o=(l.0),满 足4=乃，但不满足&+3=口 一 如 故D错；取a=(2,0),6=(0 1),满 足aJL，但不满足a+3=；a|乩 故B错所以答案为C.x22.(2012陕 西 卷)已 知 椭 圆Cl：y+y2=l,椭圆C2以C l的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上，谛=20%,求直线AB的方程.【答案】解：(1)由已知可设楠圆G的方程为左+?=1(心2),其离心率为W*，则a=4故佛扇J 的方程为+；=L，a/i v i(二解法一：/,3两点的坐标分别记为(玄，口),(a，,5由 历=2%及 知，O,A,5三点共线且点5不在j轴上,因此可设直线A 3的方程为丁=氏将 尸 沃 代 入 亍+尸=1中，得 1+4乒4=4,所以x：=上 不1 I 3可 一将产会代入中，得T+F)/=1 6,所 以 北=百110 4吊 十 堂又 由 历=21，得 德=值，即7提=4+於1+4行解 得k 1,故直线A B的方程为j=x或丁=-X.解法二：3两点的坐标分别记为(X.”)，(.q，州)，由%=2%及知，。，3三点共线且点X,3不在轴上，因此可设直线一空的方程为j=h.y2J将)=kx代入T+j：=1 中，得(1+4区)x：=4,所以x A-i，-,Q1 十 4G由 历=21，得 令=者 君 虎=者 百将 0 田代入云+=1中，得?=1,即4+产=1+4科解 得=士1,故 直 绕 的 方 程 为 丁=x或)=一.工3.(2012广东卷)若向量4=(2,3),CA=(4,7),则C：=()A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)【答案】A【解析】.6=就 一 瓜，.酸=(2,3)(4,7)=(-2,-4),所以选择A.4.(2012全 国 卷)ZABC 中，AB 边的高为 C D,若 谛=a,cA=b,ab=0,|a|=l,|b|=2,则At)=()A1 1,二2 2,A.ga?b B ja2b3 3,4C-5a-5b D-5a _5b【答案】D【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.易知a，b,|AB|=小，用等面积法求得|CD|=平，:AD AC2-CD2=噌,AB=小，二A b=掷=/a b),故选 D.5.（2012安徽卷）在平面直角坐标系中，点 0（0,0）,P（6,8）,将 向 量/绕 点 O 按逆时针方向旋转竽后得向量g，则点Q 的坐标是（）A.（-7 7 2,一豆）B.（一7VL 也）C.（-4-76,-2）D.（-4 7 6,2）【答案】A【解析】设N P O x=a,因为P（6,8）,所以发=（10cosa,10sina）=cosa=p4sina=g,则g=（10cos（9+亳，10cos（0+卸=（一7吸，一 的.故答案为 A.6.（2012江西卷）在直角三角形ABC中，点 D 是斜边A B 的中点，点 P 为线段C D 的中|PA|2+|PB|2_点，3|PC|2-（）A.2 B.4 C.5 D.10【答案】D【解析】考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用，考查化归转化能力.解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解.方法一：是上3 中点，.-.CD=1（C4+C 3）.：P 是 CD中点，.*.而=/曰+苑:，,.,.4?=C P-C 4=一2+衿，BP=CP-CB=CA-CB.：CA C3=0,：.AP-=-CA-+CB-,B P-=C A-+C 3-,C P-=C A-+C 3-,PA-+PB-PC 1=10.方法二：是.45中点，百+逊=2 页），百 一 册=用，至:+2无 四+丽/PA-2PA-PB+PB-=BA-,，2(2!：+P 32)=4R D：+H 3；7?是一二 的中点，：.2CD=PJ 二 +PR-上 3.T P 是 CD 中点，:CD=1PC,A P 5:=10C P:,故 =1 J方法三：以 C 为坐标原点，NC,5 C 所在的直线为，轴，j 轴，建立平面直角坐标系，设 H(aO),5(0,办 则 於，1 /2W：+PB：=答+奈 瞪+北=；厂,而2 2/4 4/10 10 10 10 10PC 77，故 57K=10.10/57.(2012重 庆 卷)设 x,y e R,向量 a=(x,l),b=(l,y),c=(2,-4),且 aJ_c,bc,则|a+b|=()A.小 B.V10C.2小 D.10【答案】B【解析】因 为a l e,所 以a c-O,即2x4=0,解 得x=2,由bc,得一4=2y,解得 y=-2,所以 a=（2,l）,b=（l,-2）,所以 a+b=（3,-1）,所以|a+b|=，324；2=VTo.jr8.（2012上海卷）在平行四边形ABCD中，Z A=j,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足世凶=反凹，.则岚1戏的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _.司|ctl【答案】2,5【解析】令 反 仁 诙 侬e），则见=（1一”沅，在平行四边形.一CD中，士=通+国，.43.+（1所以=?P24-5,而函数人电=一 求一二:+，在（0,1）上是单调递减的，其值域为 2习，所以上 互的取值范围是匚习.9.（2012辽宁卷）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab,则下面结论正确的是（）A.ab B.abC.|a|=|b|D.a+b=ab【答案】3【解析】本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方.因为 a+i=ab o（a+5=（a-i）：=a 3=。，所以 a_Lb,答案选 B.10.（2012课标全国卷）已知向量a,b夹角为45。，且间=1,|2ab|=J历，则|b|=.【答案】3 s【解析】由 2 a T=，得 4 -k rb+F=l。，得 4-4、b：=1Q,即一 5b+b-=0 解得力=3亚 或5=S（舍去）.11.（2012安徽卷）若平面向量a,b满足|2ab|W3,则a-b的最小值是.【答案】一挤9【解析】本题考查平面向量的数量积，模的有关运算.O因为 2ab-所 以9+4。归-解得4,归一全当且仅当2a0=?且a 6方向相反，即5=一为时取等号，故a-b的最小值为一短12.（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量a和 由 定 义。叩=露.若平面向量a,b满足|a|N|b|0,a与b的夹角0 e（0,且a力 和b a都在集合 曰k位 中，则a/=（）A.；B.1C.|D.|【答案】c【解析】本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决.根据新定义得：.a-b a b cosd，cos _ y2a，s=-=：coso b-b c b b 2,b-a a b cos b cosJ一 八，b a=-=-coss9la-a 间 应|a|且a时 和 都 在 集 合，口G Z-中，所 以ja=士 尹=!彳=号 耳，所以a，&=三 等=2cos:c 2.所 以1 y s 兀 3=1.14.(2012重 庆 卷)设 x,yGR,向量 a=(x,l),b=(l,y),c(2,4),且 a J _ c,b/c,贝 “a+b|=()AS B.VTOC.2市 D.10【答案】B【解析】因 为 a _ L c,所 以 a，c=0,即 2x 4=0,解得x u ,由of/c)得4=2)、解得.：r=-2 所以 a=(2,l)5=(1,-2),所以 a+5=(3,-1)所以 a+i=、/3：+1：=V i b.15.(2012浙 江 卷)在 4 A B C中，M 是 B C的中点，A M=3,B C=1 0,则0-衣=.【答案】-1 6【解析】本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积.法一：I&.正=(一访一一位)(该一_ 急)=一访求一历亿一一位录 +一 值=5。a s l S i r5x 3x c o s N B1 一3X5XCOSZ-4J.ZC+3-=-16,故应填一16.法二：特例法：假设/BC 是 以-3、XC为腰的等腰三角形，如图，r 34+34-100 8 r f r-AM=3,BC=10,AB=A C=V,cosN B A C=-=一 万，赢 双=1屈 H靛卜cosZBAC=-16.16.(2012湖 南 卷)在 aABC 中，AB=2,A C=3,魂 故=1,则 BC=()A.小 B.小 C.2y2 D.例【答案】A【解析】考查向量的数量积运算和解三角形，主要是余弦定理的运用，是此题的关腱.由 石 瑟=1 可 得 25Ccos(l斯-5)=1,即 2 3 C c o s 5=-l,又由三角形的亲弦定理可得 3：=0 q=+2-2 x 2 3 q c o s 5,把 平 q c o s 5=T 代入，解得 9=0 5+4+2,即田C=3,故 选 A.17.(2012福 建 卷)如 图 14,椭圆E：*l(a b 0)的左焦点为F 1,右焦点为F2,离心率e=；,过 F l的直线交椭圆于A、B 两点，且4ABF2的周长为8.求椭圆E 的方程；(2)设动直线1：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.图 14【答案】解：解法一：因为|AB|+|AF2|十|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|十|BF2|=8,又|AFl|+|AF2|=|BFl|+|BF2|=2a,所以 4a=8,a=2.又因为e=；,即:=今 所 以 c=l,所以 b=da2c2=小.故椭圆E 的方程是竽+号=1.y=f c v+优，由 x：,M 得H ：+3)x：+8 囱i x+4对-12=0.b+尸，因为动直线；与椭圆三有且只有一个公共点9(如g),所 以 1=0且 J=0,即 64F 加：-4(4尸+3)(4-12)=。，化简得 4户一，二+3=。.(*)此时：=一 匿 y=一争；=上+3所 以 1 一 青 1由，二 得&+4 叶泄).l j=C V+?H假设平面内存在定点U 满足条件，由图形对称性知，点 必 在 X 轴上.设 2/(肛0),则 毋 质=口 对 满 足(*)式的泡、；:恒成立.因 为 标=一 一为，.=(4-X:,4H-?H)-由立”应=0，Z B 16 I 处,一 12 I吊-1-4XI+XTH-F 3-0，)n m m整理，得I4X L4(+X3-4XI+3=0.(*)由于(*)式对满足式的明，之恒成立，所以“7二：A 解得：产LL x r-4x：+3=0故存在定点2/(1：0),使得以P Q为直径的圆恒过点.V.解法二：(1)同解法一.由 X-,彼 得i 4F+3)x：+的 d+4 加-12=0.f因为动直线:与椭圆三有且只有一个公共点P(x ,g),所以加=1 且 =。,即 64F 加一4(4F+3)(4?M-12)=Q,化简得 4F 加+3=0.(*)皿g _ 4Q _ 软._ 3 e”/掂 3、此时司=.=-，】;：=4：)+小=一,所 以，-,一.4公+3 加 m.m 一 X=4,g由，得 54,4计 唠十洸，假设平面内存在定点1/满足条件，由图形对称性知，点 必在.，轴上.取 L 0,”1=3，此 时?(0,0 0(4,回 以P 0为直径的圆为(L2+G-/A=4,交x轴于点必3Q；取*=V，册=2,此 时P 1,分 0(4,0),以P。为直径的图为X-小+厂/=养 交x轴于点且(L0 J4(4:0).所以若符合条件的点一以存在,则 的坐标必为Q0).以下证明一蟆1就是满足条件的点：因 为”的坐标为(1,0)，所 以 标=一,一1,吻=(3,4 M),从而一诬.诙=-3+宗+3=0,故恒有珞_1一为，即 存 在 定 点1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M18.(2012山东卷)已知向量 m=(sinx,l),n=(小Acosx,ycos2x(A0),函数 f(x)=m n的最大值为6.求A；(2)将 函 数y=f(x)的图象向左平移歪个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在。，到 上的值域.【答案】解：=近!sinxcosv+vcos2x1=/生s】nlv+7C0S2A*,(1十=Nsnr 2X+T.a7因为X 0,由题意知，X=6.7 ,(2)由心)=6snr工+后.J=6SI，HX+卡+太=6sin；2x+1：的图彖；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的场,纵坐标不变，得 到-=6sm 4.v+1的图-工，象.因此，g(x)=6s i n,x+节.-5兀 一因为x e o,引，LLt、l,7t 兀 7兀所以4x+w ,不.故g(x)在。，招 上的值域为(-3,6).19.(2012 天 津 卷)已 知A A B C为等边三角形，A B=2,设点P,Q满 足#=杭6,能=3(l-X)At,九G R.若 册0=5，则九=()A”.早1/n-32 2 2,2【答案】A【解析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题.钝0=颂 一 硝(印_R)=(I-X)A-A6)-(X A6-A)3 1=(1 X)At 2X A62+1X X+1A6-A=2X 2+212=一/,解之得入=,20.(2012浙 江 卷)设a,b是两个非零向量()A.若|a+b|=|a|一|b|,则 a _ L bB.若 a，b,贝ij|a+b|=|a|一|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数入，使得b=而D.若存在实数储使得b=la,则|a+b|=|a|一b|【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质.法一：对于选项A,若a+2 =a 匕可得a5=-a匕，则a与力为方向相反的向量，A不正确；对于选项3,由a _ L A得a，2=。，由a+5 =a b 得r$=一a 3 3个正确;对于选项C,若a+5 =a-2可 得o$=-a 5,则a与方为方向相反的共线向量，.“=%；对于选项D，若$=力，当/0时，a+i；=a+，当.M时，可有a+2 =a-6,故不正确.法二：特值验证排除.先取。=(2,0 1 6=(1.0),满足a+川=|a|一|儿但两向量不垂直，故A错；再 取a=(2,0),b=(l，0),满 足a=%,但不满足|a+b|=|a|一|b|,故D错；取a=(2,0),b=(0，-1),满足a，b,但不满足|a+b|=|a|一|b|,故B错，所以答案为C.2 1.（2 0 1 2 四川卷）设 a,b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成 立 的 充 分 条 件 是（）A.a=-b B.a/bC.a=2 b D.a b 且|a|=|b|【答案】C【解析】要使得百=芭 在 a,b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，对照四个选项，只有C满足这-条件.2 2.（2 0 1 2 山东卷）如 图 1 4所示，在平面直角坐标系x O y 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1）,此时圆上一点P的位置在（0,0）,圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2,1）时，6 的坐标为.图 1 一4【答案 1 （2 sin 2 一 c os2）【解析】本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，偏难.根据题意可知扇滚动了 2 个单位弧长，点P旋转了 2 弧度.结合图冢，设滚动后圆与X轴的交点为。，圆心为J，作轴于一m Z P C：C=2,N P C=W=2，.点尸的横坐标为 2 lx c os;2 ）=2sin 2.点 P 的纵坐标为 1 +1 x sin1 2-7 ：=1 -c os2.2 0 1 1 高考真题精选】1.（2 0 1 1 年高考四川卷理科4）如图，正六边形A B C D E F 中，BA+CD+EF）(A)0(B)B E(C)4 D (D)C F【答案】D 解析5 A +CD+EF=DE+CD+EF=CD+DE+EF=CF1._ ._ .=2.(2 0 1 1 年 高 考 全 国 卷 理 科 1 2)设 向 量 a、c满 足|。|=|匕|=1,。力 2,=6 0,则H的最大值等于（A）2（B）G （c）板 （D）l【答案】A【解析】如图，构 造 而=）,而=3,衣=c B A D=20,Z B C D =6 0（所以A,8,C,0四点共圆，可知当线段A C为直径时，卜|最大，最大值为2.3.（2011年高考浙江卷理科14）若平面向量2,方满 足 冏=L 且以向量2,7为2_邻边的平行四边形的面积为万，则。与月的夹角夕的取值范围是。【答案】2 x|月 sin 夕=L 又：=1 ,|夕|W1,sin（9【解析】2 1阴 2门四 2,又 夕 0,汨-0 e引 6 614.（2011年高考安徽卷理科13）已知向量a,b满 足（a+2b）一（a-b）=-6,J卜，同=之，则a与.b的夹角为71【答案】3h+2分）-（。一 坂）=一6-2 一 才2【解 析】八 1,则Q+a b 2b=-6即+Q B-2 x 2?=-6 ,一 一 a bcosa,。=II=一 工 几_ A 1 Lz /?2 ,二 w。力=1,所以 I l l i ，所以 35.（2011年高考重庆卷理科12）已知单位向量G C j的夹角为60,则【答案】百【解析】-A/4 +1-4X C O S6 0 =百6.(2 0 1 1年 高 考 安 徽 卷 江 苏1 0)已 知e e2是 夹 角 为3 的 两 个 单 位 向 量，TF-.Ta=e-2 e2,b=kei +e2,若 a/=0,则 k 的 值 为.5【答案】4【解 析】22%a b=(4-2 0 2)/4 +6 2)=ke+(-2k)ece2-2e22=k +(l 2 A)c o s -2-O,解得k=-4.【2 0 1 0高考真题精选】UU UU1 .(2 0 1 0全国卷2理数)(8)V A 8 C 中，点。在4 3 上，CD平方N A C B .若=a,C A =6 ,同=1,网=2,则 涔=1 2 2 1 3 4 4 3-a+-b -a+-h -a+-h -a+-h(A)3 3 (B)3 3 5 5 (D)5 5【答案】BM=M=2【解析】因为C。平分NAC8,由角平分线定理得|D B|C B|1,所以D为AB的三等-2 2 .2 I 2 -1 -A D =-A B =-(C B-C A)C D =C A+A D =-CB+-C A =-a+-b分点，且 3 3 ，所以 3 3 3 3故选B.2.（2 0 1 0辽宁理数）（8）平面上O,A,B三点不共线，设04=凡8 =。，则 O A B的面积等于(A)AM 小 伍 b1 7 l|2|H2-(b)2(C)2(B)网2 +伍b也1|2|町 +(q b)2(D)2【答案】C【解析】三角形的面积S=2间|b|s i na,b ,而；J|a|2|6|2 _ 伍/?)2 =；J|q|b|2 _(ab)2 c o s 2 a h 1-c o s2 =；|/?|s i n 3.(2 0 1 0重庆理数)已知向量a,b满足2=M =1 M =2，,则|2/=A.0 B.2近 c.4 D.8【答案】B 解析1 2 a-=J(2 a-b)2 =4a2-4a-b+b2=7 8 =2 7 24.(2 0 1 0四川理 数)(5)设 点M是 线 段BC的 中 点，点A在 直 线BC外,前*=电|而+公|=|而 恁I,贝1 J丽|=(A)8 (B)4 (C)2 (D)1【答案】C【解析】由8 C,=1 6,得|B C|=4AB+ACAB-ACBC=4而 而+北|=2|丽|故 AM|=25.(2 0 1 0山东理 数)(1 2)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n),6 =(p,q),令 占6=mq-n p ,下面说法错误的是()A.若 a 与 6 共线，则 a b=0 B.a 6=6 aC.对任意的 e R,有(痴 b=2(a b)D(a b)2+(ab)2=|a|2|b|2【答案】B【解析】若&与6共线，则有a 6=mq-n p=0,故A正确；因为弓a=p n-q m,而*a b=mq-n p,所以有a b b a,故选项B错误，故选瓦6.(2 0 1 0江西理数)1 3.已知向量。”满足同=1,W=2,遍B的夹角为6。，则*【答案】也【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a O A,b O B,a-h O A-O B B A由余弦定理得：卜“卜 百7.(2 0 1 0 天津理数)(1 5)如图，在 A B C 中，A D L A B,B C =拈B D7-”府 卜1,则 比 而=【答案】百【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。衣 而=|衣|丽 I cosZDAC=1 A C I ,cosN D 4c=|AC|sinZBAC=B C sin B=V31 1 1 11 18.(2 01 0 广东理数)1 0.若向量 a =(l,l,x),6=(1,2,1),=(1,1,1),满足条件9 一&(2 占)=_2,贝产=【答案】2 解析c-Q =(0,0,1 _工)，(0 _ )(2B)=2(0,0,1-1)(1,2,1)=2(1-冗)二-2,解得x=2.9.(2 01 0江 苏 卷)1 5、(本小题满分1 4 分)在平面直角坐标系x O y 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,l)o求以线段A B、A C 为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t 满足 C=o,求 t 的值。【解析】本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分1 4分.(1)(方法一)由题设 知 方=(3,5),次=(-L D，贝iJJ 5+J C =(2:6):J 5-J C=(4;4).所以 方+就|=2振：A B-A C =4y/1.故所求的两条对角线的长分别为48、2而.(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,贝I J：E为B、C的中点，E (0,1)又E (0,1)为A、D的中点，所 以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为8 C=4W、2=2而；(2)由题设知：O C=(.iB r(?C=(3+2 z.5+?).由L刀-r近)丽=。，得：(3+2?S5+0-(-25-1)=0,从而=-l L所以？=-?.或者：A B O C =t O C：,运=(3.5).f =9空=_ UO C|:5 2 009高考真题精选】1.(2 009广东理6)一 质 点 受 到 平 面 上 的 三 个 力 招(单位：牛顿)的作用而处于平衡 状 态.已 知 月，尸2成6 0角，且 耳，尸2的大小分别为2和4,则用的大小为A.6 B,2 C.2亚 D.2汨【答案】D【解析】1=叩+月 _2/。式1 80。-6 0)=2 8,所以尸3=2区 选 口2.(2 009浙江理7)设向量。，分满足：1 0=3,|=4,Z =0.以a ,b,a 8的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】对于半径为1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于扇的位置稍一右移或其他的变化,能实现4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现.3.(2 009浙江)已知向量”=(1，2),6 =(2,3).若向量c 满足(c+a)/b,c l(a+b)则,=()【答案】D【解析】不妨设乙=(也)，则a +c=(l +m，2 +)M+B =(3,T),对于(+)/不，则有一 3(1 +。=2(2 +)：又-L ,则有3?-=0,则有用-9-34 .(2 009山东理7;文.8)设 P是 A BC 所在平面内的一点，B C +BA=2 B P ,则()APA+PB=0 BPC+PA=0 CB+PC=Q DPA+PB+PC=0【答案】B【解析】：因 为 就+放=2 而，所以点P为线段A C的中点，所以应该选B。5 .(2 009宁夏海南理9)已知O,N,P在MBC所在平面内，且网=|西=|同丽+丽+觉=0,且 西 丽=方 京=定 西，则点o,N,P依次是A A B C 的(A)重 心 外 心 垂心(B)重 心 外 心 内心(C)外心 重心 垂心(D)外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)【答案】C【解析】叫 珂=西=|d c|知，。为A 4 8 c 的外心;由 丽+而+汨=0知，O为A 4 6 C 的重心5v P A P B =P B PC,(PA -P C)P B =0,C 4 =0,G 4 同 理，AP _L B C,.尸为AAB C 的垂 心,选 C.6.(2 009辽宁文理3)平面向量a 与 b 的夹角为6 0,a=(2,0),|b|=1,则|a+2 b|=(A)也(B)2G(C)4 (D)1 2【答案】B【解析】由已知间=2,|a+2 b|2=a2+4 a-b+4 b2=4+4 x2 xlxcos6（r+4=1 2.J a+24=2百7 .（2 009福建理9,文 1 2）设a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,-且满足a 与b 不共线，,I a I=I I,则 I 江|的值一定等于A.以 a,匕为邻边的平行四边形的面积B .以6,C为两边的三角形面积C.a,8为两边的三角形面积D.以匕，,为邻边的平行四边形的面积【答案】B 【解析】假设a 与匕的夹角为6,I b-c =b -c -cosvb,c|。|a I-I cos（90）I=I b I-I I”出6,即为以。，匕为邻边的平行四边形的面积，故选A。8.（2 009 江苏）已知向量a 和向量 的夹角为3 0,I M=Z l M=6,则向量。和向量3的数量积O【答案】33=2.百 必=3【解析】考查数量积的运算。29.（2 009安徽理1 4）给定两个长度为1 的平面向量0 A 和 0 8,它们的夹角为1 2 0”.,如图所示，点 C在以。为圆心的圆弧而上变动。若 =xO 4 +y 8,其中则x+y的最大值是.B【答案】2【解析】设“=0OC OA xOAOA+yOB OA,OCOB=xOAOB+yOBOB,即1cos a-x y2cos(1 2 00-a)=-g x +yx+y-2 cos a+cos(l 2 00-a)=cos a+百 si n a=2 si n(a+)又由2 5 2 5-5A B-A C=3,得be cos A=3./.be=5 9 .1=gbesin A=2（II）对于6c=5,又6+c=6,.=5：c=l或6=l：c=5,由余弦定理得q-=b*+L 2bc cos=20,/.a=13.（2009广东理16）（本小题满分12分）TT一 一 e 6（0-）已知向量a=ne,-2）与匕=（Leos。）互相垂直，其中，万（1）求sin。和cos。的值;5山（6 _夕）=，0 e 工 若 10 2,求cos夕的值.t解析】解:（1）;a与b互相垂直,则a/=血1-2cos6=0,即 血=2cos6,代入sin 2 8+cos二 8=1得 sin 8=,co s8 =，又 6 w （0：）,A sin=.cos=A A0（p 03 -.0-（p o,则 人【答案】3【解析】由题意.=（4,1-X,X）=16+（/1-1）2+22=2 9（/1 0）=九=34.（2008 江苏2）,石 的 夹角为120,同 j 何=3,则卜”可=.。【答案】7【解析】本小题考查向量的线形运算。_13|2a-b=1 x 3 x（-）=-l5d-bj=（5 a-b）2=25a2+b2-10a-b因为 2 2,所以I I 7=49 o5a-b=因此 1 7。【最新模拟】1.（2013北京四中模拟）如图K 17-1,一直线E F与平行四边形A B C D的两边A B,A D分别交于E、F两点，且交其对角线于K,其中=扣6,#=为&,承=入R，则入的值为（）图 K 17-11 J-I 、1A.g B.C.-j D，2【答案】A【解析】本题主要考查向量的线性运算.属于基础知识、基本运算的蓄查.1过点尸作F G C D交N C于G,则G是/C的中点，且 整=2|,所 以 京=占 涔=3乂。=?C，贝IJ*的值为22.（2013南京模拟）已知向量a=（小，1）,b=（0,1）,c=（k,呵.若a 2b与c共线，则 k=.【答案】1【解析】因为a 2b与c共线，向量a=N,1）,b=（0,1）,c=（k,小）.所以 3 3k=0,k=l.3.（201 3石家庄质检）已知平面向量a,b,c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|=2,|b|=2,|c|=l,则 a+b+c 与 a 的夹角是.【答案】60。【解析】c o sa+b+c,a）=:言夹角为60。.|a+b+c|a|24.（2013深圳中学模拟）给出下列命题中向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30。；“a-b 0”是“a、b的夹角为锐角”的充要条件；将函数y=|x-l|的图象按向量a=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|；若（翘+戏）（魂 衣）=0,则4 A B C为等腰三角形.以 上 命 题 正 确 的 是.（把你认为正确的命题的序号都填上）【答案】【解析】时于取特值零向量错误，若前提为非零向量，由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；对取特值夹角为零角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为a 匕 0,是a、9的夹角为锐角的必要条件；对于，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确；对于，向量的数量积满足分配率，结诒正确.5.（2 0 1 3,郑州一中模拟）已知力F与水平方向的夹角为3 0。（斜向上）,F的大小为5 0 N,F拉着一个重8 0 N的木块在摩擦系数H=0.0 2的水平平面上运动了 2 0 m,问 F 和摩擦力f 所做的功分别是多少？(g=1 0 N/k g).图 G 5-2【答案】解：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力F,/和位移的夹角，然后应用数量积公式求解.S r设木块的位移为5,则 F-s=F r c o s 3 Q；=5 0 x 2 0 x 牛=5 0 0 色(J),尸在铅垂万向上分力大小为F:=F s i n 3 0:=5 0 x 1=2 5(N).G =8 0(N),二摩擦力.f 的大小为F=(S Q 7)X0 Q=.m：.f-s=f-s c o s l 8 05=l.l x 2 0 x(1)=2 2(J).二.尸、f 所做的功分别是加讣 J、-2 2 J.6.【云南省昆明一中2 0 1 3 届高三新课程第一次摸底测试理】已知点M(5,-6)和向量a =(1,-2),若MN=-3 a ,则点N的坐标为A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(2,0)【答案】A【解析】砺=-3 =-3(1,-2)=(-3,6),设 N(x,y),则 痂=*-5,y -(-6)=(-3,6),x-5 =-3 x=2所 以 匕+6 =6 ,即 产 0 ,选 人.1 AN=-NC7.【云南省玉溪一中2 0 1 3 届高三第四次月考理1如右图，在 A 8 C 中，3 ，尸是BN 2 AP=mAB+-AC上的一点，若 9 ，则实数机的值为()C1A.9 B 3 C.1 D.3【答案】AAN=-NC AN=-AC-【解析】因为 3 ,所以 4 设B P C B N ,贝 I 淳=蒜+即=4 豆+4 丽=而+而 一而)一-A,一 -o (4 +1)A B 入A N=(4 +V)AB-A C AP m AB-AC4 ,又 9,所以有3*1m =9，选A._ 2 _ 2 4 94+1 =叫即8.【云南省玉溪一中201 3届高三第四次月考理】定义行列式运算“3 “4 =%。4 一 2%.将/U)函数()s i n 2xco s 2x百1兀的图象向左平移不个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是A.71八一,oBY)C.pOD.【答案】B/(x)=【解析】由行列式的定义可知s i n lxco s 2x 1=s i n 2x-/3 co s 2x=2 s i n(2x )3 ,函 g(x)=2 s i n 2(x+)-=2s i n 2x数的图象向左平移6个单位，得到的函数为 6 3 ,所以有g()=2s i n(2x)=2s i n -=0(,0)/、2 2，所 以2 是函数g“)的个零点，选B.9.【天津市天津一中201 3届高三上学期一月考理】已知向量凡加,中任意两个都不共线，且与。共线，各+，与。共线,则向量Z +B +1A.a B.b C.c D.O【答案】D【解析】因为a+石 与c共 绻 所 以 有a+5=m e,又b+c与共线:所以寻5+c=,_ _ _ _ fM S Pb=m c-a S.b=-c +n a,因 为a Ec中任意两个都不共线，则 有 彳 ,所以i n=-1b=mc-a=-c-a,即a+%+c=0,选 D.1 0.【天津市新华中学201 2届高三上学期第二次月考理】已知a=(-3,2),b=7,0),向量九(+书与人2分垂直，则实数几的值为J _ _ _A.-7 B.7 c.-6 D.6【答案】A【解析】z a+i=(-3 z-L 2 z)Ja-2 i=(-L 2),因为向量无一石与-2各垂直，所以(笳+3)工-2 母=0,即 3 2+1 +42=0,解得/=一 2,选A.1 1.【山东省烟台市201 3 届高三上学期期中考试理】已知向量。、g其中同=、份，例=2,月(一则向量a 和6 的夹角是717C3 冗A.4 B.2 C.4 D.万【答案】A 解 析 由题意知(_ b a =a _。仍=2 _入。=0,.。仍=2.设6(与6 的夹角为生八 a b yfl n 7Tco s 0=_ =,0=.则,叫2 4故选A,.1 2.【山东省烟台市201 3 届高三上学期期中考试理】在中，尸是5 c 边中点，角A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c A C +a P A +P 8 =(A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.【答案】AA。l 解析】如图，C”由 c泉c(PC-R T)+QPA b P C (-c)PA+(c 6)量，.a-c=c-5=0,二=6=0 故选 A.),则AA8C的形状为7 +a P A +bPB=0 知PC=6,而 两 与 定 为 不 共线向1 3 .【山东省泰安市201 3 届高三上学期期中考试数学理】已知1、3均为单位向量，它们的T a+3b