吉林省长春市净月高新区2022-2023学年数学九年级第一学期期末复习检测模拟试题含解析.pdf

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题（每题4 分，共 48分）AE AD 11.如图，在aABC中，点 D,E 分 别 在 边 AB,AC上，且 一=-,则 SA ADE：S 四边形BCED的值为（）AB AC 3A.1：6 B.1：3 C.1：8 D.1：92.如图，路灯距离地面8 米，身 高 1.6米的小明站在距离灯的底部（点 0）20米的4 处，则小明的影长为（）米.3,已知关于x 的一元二次方程尤24x+c=0 有两个相等的实数根，则，=（）A.4 B.2 C.1 D.-44.如图2,四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.BA=BC B.AC、BD 互相平分 C.AC=BD D.AB/CD5.如图为二次函数丁=加+瓜+。（。0）的图象，则下列说法：a （）；2 a+b =Q；a+h+c 0t （）；4 a-2 h+c Q,其中正确的个数为（）6.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）.主 视 图 左 视 图A.三棱锥 B.三棱柱 C.长方体 D.圆柱体k7.如图，面积为1的矩形A B C。在第二象限，8 c 与 x 轴平行，反比例函数y=-一 次。0）经过B、。两点，直线B Ox所在直线），=履+人与X 轴、y 轴交于E、F 两 点,且 R D 为线段E 尸的三等分点，则A 的 值 为（）A.272 B.2百C.38 D.3后8.如图，所示的计算程序中，y 与 x 之间的函数关系对应的图象所在的象限是（）4人/_a 取倒数 X y 4 i 出y/A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第一、四象限9.如图，RtAABC,4=9 0。，N B=3 0。，分别以点A 和点8 为圆心，大 于 的 长 为 半 径 作 弧，两弧相交于M、2N 两点，作直线M N,交 B C 于点D,连接A O,则N C A O 的度数是（）AA.20B.30C.45D.6010.下列事件中，属于必然事件的是（)A.明天太阳从北边升起B.实心铅球投入水中会下沉C.篮球队员在罚球线投篮一次，投中D.抛出一枚硬币，落地后正面向上2的 相 反 数 是（）21B.-2C.2D.-212.如图，。的半径为6,点A、仄C在。上，且N 5C 4=45。，则 点。到弦A S的 距 离 为（C.372 D.672)二、填 空 题（每 题4分，共24分）13.在平面直角坐标系中，将抛物线），=（元+5）（冗-3）向左平移2个单位后顶点坐标为X,轴交于点C,连接A C,8 C.点 p 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为机.求此抛物线的表达式；（2）过点P作轴，垂足为点M,P M 交 B C 于点。.试探究点尸在运动过程中，是否存在这样的点。，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标，若不存在，请说明理由；过点P作PNL8C,垂足为点N.请用含?的代数式表示线段PN的长，并求出当，为何值时PN有最大值，最大值是多少？2 0 .（8分）如图，在梯形A 3 C。中，AD/BC,A C与3 0相交于点O,点E在线段0 3上，A E的延长线与B C相交于点尸，O D2=O B OE.(1)求证：四边形AFC。是平行四边形；(2)如果 BC=BD,A E A F=AD B F,求证：A ABES R ACD.21.(8 分)我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人,人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？22.(10分)先化简，再求值：L 2 x +_ 2与 其中*=1-0.x+2 x+223.(10分)如图所示，在矩形OABC中，OA=5,A B=4,点 D 为边AB上一点，将4B C D 沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC,OA所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.(1)求 OE的长.(2)求经过O,D,C 三点的抛物线的解析式.(3)一动点P 从 点 C 出发，沿 C B以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从 E 点出发，沿 E C 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当 t 为何值时，DP=DQ.(4)若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.24.(10分)国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7 组：30 x40,40 x50,50 x60,60 x70,70 x80,80 x90,90 x100）；频 数（国家个数）986121 0 0 国家创新霜数得分b.国家创新指数得分在 60sx A M C O,.CO _0M即Q20+AMAM解得：A M=L故选：B.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出 M B A s a M C O 是解题关键.3、A【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论.【详解】解：方程4x+c=0有两个相等的实数根，(-4)2 4xlxc=16-4c=0,解得：c=4.故选A.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键.4、B【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形.已知对角线A C、B D 互相垂直,则需添加条件：A C、B D 互相平分故选：B5、D【分析】根据抛物线的开口向下可知a 0,故正确；抛物线与x 轴有两交点坐标，/.0,故正确；观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即 4a-2b+c 0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-2；抛物线与y 轴的交点坐标为(0,c)；当 b2-4ac0,抛物线与x 轴有两个交点；当 b2-4ac=0,2a抛物线与x 轴有一个交点；当 b2-4acV0,抛物线与x 轴没有交点.6、B【解析】试题解析：根据三视图的知识，主视图为三角形，左视图为一个矩形，俯视图为两个矩形，故这个几何体为三棱 柱.故 选 B.7、C【分析】延长AB交 x 轴于点G,延长BC交 y 轴于点H,根据矩形面积求出 BC D 的面积，通过平行可证明 B C D s H F,AFBH S AFEO,E B G /E F O,然 后 利 用 相 似 的 性 质 及 三 等 分 点 可 求 出、“F E O、EBG的面积，再求出四边形BGOH的面积，然后通过反比例函数比例系数的几何意义求出左值，再利用AREO的面积求出入值即可.【详解】延 长 AB交 x 轴于点G,延长BC交 y 轴于点H,如图：,矩形ABCD的面积为1,S.BCD=2 S矩形48 c 0=5 X 1=2，B、D 为线段EF的三等分点，.B D _ 1 FB 2 EB 1*B F-2 T 还一记 EF3r :DCHFH,:.ZBDC=ZBFH,ZBCD=ZBHF,:.ABCDS ABHF,q 9,ABHF-J，V BH/EO,：.4FBH=Z.FEO,ZFHB=/FO E,：.&FBH s FEO,二黑吟回，即工=百，S .FEO F E J S 4 FE0 13)s,MFEO-2，BG/FO,：.ZEBG=ZEFO,ZEGB=ZEOF,IAEBGSEFO,1 ,厂 y k A zS 曲。3 2 5%EBG-1-2，_ _ 9 1 _S四边形B GO/y =S.FEO-S/BH S E B G =-=2.四边形ABCD是矩形，：.ZABC=90,V ABH OF,BC/GO,:.ZBGO=ZABH=90,4BHO=ZABH=900,又,：N G O H =9（f,，四边形BGOH是矩形，根据反比例函数的比例系数的几何意义可知：S矩 形BGOH=1-口，.I-止 2,k +2又 k0,:k=2,：.直线EF的解析式为y=2x+h,令x=0,得y=，h令y=0,即0=2x+，解得x=-5，./-别，f W）,F点在工轴的上方，/.Z?0,0E =,O F =h,21 9 h 9:S.OEF=OE.OF=3,即 不 乂 此 于b=3/2 故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，一次函数与面积的结合，综合性较强，需熟练掌握各性质定理及做题技巧.8、C【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y=-，由其性质判断所在的象限.X【详解】解：X的倒数乘以-5为-2,即y=-,则函数过第二、四象限，故选C.X X【点睛】对于反比例函数y=&（导0）,（1）k 0,反比例函数图象在一、三象限；（2）k/2.又.,OOJ_A8 于点 Q,：.OD=AB=2yi.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，得到Q 45是等腰直角三角形是解答本题的关键.二、填 空 题(每 题4分，共24分)13、(-3,-16)【分 析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律.【详 解】解：y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-1 6,顶 点 坐 标 是(-1,-16).所 以，抛 物 线y=(x+5)(x-3)向 左 平 移2个 单 位 长 度 后 的 顶 点 坐 标 为(-1-2,-1 6),即(3,16),故答案为：(-3,-16)【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.214、3X,4+1【分 析】根 据 关 于X的不等式组 7 有 解，得 出 根 据 题 意 列 出 树 状 图 得 出 所 有 等 情 况 数 和 关 于X的X.D工，。+1不等式组，有解的情况数，再根据概率公式即可得出答案.x.b【详 解】解：关 于x的不等式组 7 有 解，X.D根据题意画图如下:共 有12种等情况数，其 中 关 于x的 不 等 式 组毛，有a+解 1 的 情 况 分 别 是日=一2，5I 一=-1C l=lb=-2a=l/?=-1a 1 a=2 a=2 a=2C=180-NE-N D C E,想办法求出NE,NOCE即可.【详解】由题意可知：CA=CE,NACE=90。，：.Z E=Z C A E=45,VZACD=70,：.ZDCE=20,:.ZEDC=180-NE-ZDCE=180-45-20=115,故答案为115。.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型.16、百【分析】连接 A E,由旋转性质知 AD=AB，=3、NBAB，=30。、ZB,A D=6 0,证 RtA ADEgRtA ABE 得NDAE=-Z B,A D=3 0,由 DE=ADtanNDAE 可得答案.2【详解】解：如图，连接AE,.将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30。得到正方形ABCD。.AD=AB=3,NBAB=30,ZDAB=90.NBAD=60,在 RtA ADE 和 RtA ABT 中，AD=ABAE=A E，/.RtA ADERtA ABT(HL),:.NDAE=NBAE=-NBAD=30,2.,.DE=ADtanZDAE=3x2Ll=73，3故答案为百.【点睛】此题主要考查全等、旋转、三角函数的应用，解题的关键是熟知旋转的性质及全等三角形的判定定理.17、-1【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a-l+2=0,b-l+l=0,再解方程即可求得a、b 的值，再代入计算即可.【详解】.点四（。-1,1）和 2（21）关于原点对称，a-l+2=0,b-l+l=0,Aa=-l,b=O,:.a+b=-l.故答案是：-1.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是运用了两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.18、1【分析】连接A C,证明A D C gZiBD E,则 AC=B E,在 RtABC中，利用勾股定理可求解问题.【详解】连接A C,根据等边三角形的性质可知AD=BD,ED=CD,ZADB=ZEDC=60.,.ZADC=ZBDE.ADCABDE（SAS）.*.AC=BE.V ZABC=ZABD+ZDBC=60+30=90，.在R t a A B C中，利用勾股定理可得AC=7AB2+5C2=1-故答案为：1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.三、解 答 题(共7 8分)1 9、(1)y =-x 2+卜+4；存在，0(1,3)或 芈,3 3 ：&；(3)当勿=2时，PN的最大值为：巫.1 2 2 3【解析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；(2)分A C =A Q、A C =C。、C Q =AQ三种情况，分别求解即可；(3)由 村=2 0 5山/尸0可=*(；力2+3旭+4 +加 4)即可求解.【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y =a(x +3)(%-4)=a(x2-x-1 2),即：一1 2。=4,解得：a=93则抛物线的表达式为y =-$2+4；(2)存在，理由：点 A、B、C 的坐标分别为(一3,0)、(4,0)、(0,4),则 A C=5,A 8 =7,B C=4 7 2,Z O A B =Z O B A=4 5 ,将点8、。的坐标代入一次函数表达式：y =H+b并解得：y =-x+4，4同理可得直线A C的表达式为：)，=%+4,3 3设直线A C的中点为,过点M与C 4垂直直线的表达式中的值为-:，2 43 7同理可得过点用与直线AC垂直直线的表达式为：y =-x+，-4 8当A C =AQ时，如 图1,则 AC=AQ=5,设：QM=M B-n,则 AM=7-，由勾股定理得：(7-)2+/=2 5,解得：=3或4(舍去4),故点。(1,3)；当AC=CQ时，如 图1,CQ=5,则 8Q=BC-CQ =4 后-5,则QM=例3=无箸，田上#5&8-5逝)故点Q 当CQ=AQ时，25联立并解得：x=?(舍去)；2故点。的坐标为：。(1,3)或半，二；7(3)设点尸。,一；加 +；/+4),则点 Q O,-?+4),：OB=OC,：.ZABC=ZOCB=45=ZPQN,PN=PQsinZPQN=f-rrr+-m+4+m-4 =-m2+-m ,2(33)6 3一4。，.P N有最大值,当 机=2时，P N的最大值为：2也3【点 睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分 析】（1）由题意，得 到 竺=孚，然 后 由ADB C,得 到 第=空，则空=，即可得至！jAF C D,即可OD OB OC OB OC OD得到结论;AE AD(2)先 证 明NAED=NBCD,得至Ij/AEB=N ADC,然后证明得到=,即可得到ABEsADC.BE DC【详 解】证 明：（1）VOD2=OE OB,.OE OD.AD/BC,.OA OD,OCOB.OA OEOCOD,AF/CD.,四 边 形AFCD是平行四边形.(2)VAF/CD,BE BF,.ZAED=ZBDC,=.BD BC.*BC=BD,*.BE=BF,ZBDC=ZBCD ZAED=ZBCD.,ZAEB=180o-ZA ED,ZADC=180-ZBCD,.ZAEB=ZADC.,AE-AF=ADBF,.AE AD*BF-AF:四 边 形AFCD是平行四边形，.AF=CD.AE AD/.ABEAADC.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.21、共有30名员工去旅游.【分析】利用总价=单价x数量求出人数时25时的总费用，由该费用小于21000可得出去旅游的人数多于25人，设该单位去旅游人数为x 人，则人均费用为800-20(x-25)元，根据总价=单价x数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再代入人均费用中去验证，取使人均费用大于650的值即可得出结论.【详解】解：V800 x25=20000650,当 x=35 时，800-20 x(35-25)=600/2)=V2;【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的顺序和法则是解题的关键.23、(1)3；(2)y=-X2+x；(3)t=；(1)存在，M 点的坐标为(2,1 6)或(-6,16)或(一2,一3)3 3 3 3【分析】(1)由矩形的性质以及折叠的性质可求得CE、CO的长，在 RtZCOE中，由勾股定理可求得OE的长；(2)设 A D=m,在 RtZADE中，由勾股定理列方程可求得m 的值，从而得出D 点坐标，结合C、O 两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)用含t 的式子表示出BP、EQ的长，可证明DBPgZkDEQ,可得至(j BP=EQ,可求得t 的值；(1)由(2)可知C(-1,0),E(0,-3),设 N(-2,n),M(m,y),分以下三种情况：以 EN为对角线，根据对角线互相平分，可 得 CM的中点与EN的中点重合，根据中点坐标公式，可 得 m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；当 EM为对角线，根据对角线互相平分，可 得 CN的中点与EM 的中点重合，根据中点坐标公式,可 得 m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；当 CE为对角线，根据对角线互相平分，可得CE的中点与M N的中点重合，根据中点坐标公式，可得m 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.【详解】解：(1)TOABC 为矩形，.;BC=AO=5,CO=AB=1.又由折叠可知，CE=CB=5,:.O E =yJCE2-C O2=正4=3 ；(2)设 A D=m,贝!J DE=BD=Lm,VOE=3,.*.AE=5-3=2,在 RtZkADE 中，AD2+AE2=DE2,3 3m2+22=(l-m)2,m=一，.D(5),2 2该抛物线经过C(-l,0)、O(0,0),.设该抛物线解析式为y=办(工+4),3 3 3把 点 D(-,-5)代入上式得一 5=-彳。x(-彳+4),2 2 2,4 a=93(3)如图所示，连接DP、D Q.由题意可得，CP=2t,E Q=t,则 BP=5-2t.当 DP=DQ 时，在 RtADBP 和 RtADEQ 中，DP=DQBD=ED/.RtADBPRtADEQ(HL),/.BP=EQ,5/.5-2t=t,t=-.3故当 t=g 时，DP=DQ；(1)抛物线，=3 炉+3的对称轴为直线*=一2=一 2,3 3 2a.设 N(-2,n),又 由(2)可知 C(-1,0),E(0,-3),设 M(m,y),当 EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如 图 1,则线段EN的中点横坐标为0 +,2)=,线 段C M的中点横坐标为 竺 紧 2,2 2VEN,CM互相平分，tn+(1 4).:.-=-1,解得 m=2,2又 M 点在抛物线上，4,16.e.y=-X22+X2=16,3 3AM(2,16)；当 EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2,则线段EM的 中 点 横 坐 标 为&=-m,线段CN中 点 横 坐 标 为 巨 士 亡 父=-3,2 2 2VEM,CN互相平分,，一 m=-3,解 得 m=-6,2又M 点在抛物线上，y-x(-6)2+x(6)16,AM(-6,16)；当 CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，如图3,线 段 CE的中点的横坐标为 *(-4)2TCE与 MN互相平分，A W +(-2)2=-2,线段M N的中点的横坐标为竺2=-2,解 得 m=-2,当 m=-2 时，y=g x(-2)2+g x(-2)=一4即M1-2,一号综上可知，存在满足条件的点M,其坐标为(2,1 6)或(-6,1 6)或-2,一 华【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，第（1）小题注意分类讨论思想的应用.24、（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2.8；（4）.【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以 上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线h的上方，中国的创新指数得分为6 9.5,找出该点即可；（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断的合理性.【详解】解：（D 国家创新指数得分为69.5以 上（含69.5）的国家有17个，二国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17,故答案为17；（2）如图所示：3 0 _ i.i I I J0123456789 10 11（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；相比于点B,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为.【点睛】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键.25、1x-1【解析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可.【详解】原式=(二2一 2 十 区1D-I x-2 x-2 j x-2x-1 x-2x-2 (x-1)21=-,x-1由x2W0且(xl)2W0可得xW2且x#L 所以x=0,当x=0时，原式=一1.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键.26、(1)88；(2)详见解析；(3)V 6-V 2【分析】(D CO是AABC的完美分割线，且AD=C D,得NACD=44。，ZBCD=44,进而即可求解；(2)由 NA=40,ZB=60,得 NACB=80,由 CO平分 NAC8,ZACD=ZBCD=40.得 AACD为等腰三角形，结合ABC。M A C,即可得到结论；(3)由CD是AA6C的完美分割线，得ABCD ABAC,从 而 得 见=处,设 即=x,列出方程，求出x的值，BA BC再 根 据 乌=丝，即可得到答.AC BC【详解】(1)C。是AABC的完美分割线，且A=CD,/.AABC-ACBD,NA=NACD=44,.ZA=ZBCD=44,二 ZACB=88.故答案是：88。；.ZA=40,4=60,.ZAC8=80,.AABC不是等腰三角形，.CD平分 NACB,ZACD=ZBCD=-ZACB=40,2ZAC。=ZA=40，.A4CD为等腰三角形.NOC8=ZA=4(r,/CBD=ZABC,：.M3CDBAC,.CD是AABC的完美分割线.(3)V AACD是以CO为底边的等腰三角形，:.AC-AD-2 V CD是AABC的完美分割线，：.ABCDABAC,BC BD,正 一 拓 设 B=x,贝！1(夜 y=x(x+2),v x 0,x /3-1,CD B D，-1 _-夜 A C-B C-/2 2:.CD=m一 立 x2=V6-V2.2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的性质定理，是解题的关键.