一元二次方程重点难点习题.pdf

例1】20 1 0,西 城，一模已知：关于 x 的 方 程 机-3（，w-l）x+2?-3=0.m x2-3（?-l）x+2m-3 =0 求 证：机取任何实数时，方程总有实数根；解：（1）分两种情况：当?=0时，原 方程化为3x-3=0,解 得x=l,（不要遗漏）.当m=0,原方程有实数根.当ZH 0时，原方程为关于x的一元二次方程，,*A=-3（m-1）2-4，*（2w-3）=m2-6，w +9=（加-3,.0.二 原 方 程 有 两 个 实 数 根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再 来 次 根 的 判定，让 判 别 式 小 于。就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，俄取任何实数时，方程总有实数根.（2010年广东省广州市）已知 关 于x的一元二次 方 程a/+/+1 =0（./0）有两个相等的实数根，求ab2(2)2 +b2-4的值。【关键 词】分式化简，一元二次方程根的判别式【答 案】解：公2+以+1 =0（4。0）有两个相等的实数根,/=从-4 =0,即 从-4。=0.ah2 _ ab2 _ ab2 _ ah2(a-2)2+h2-4 a2-4 a+4+b2-4 a2-4 a+h2 a21.（2 0 1 0年 浙 江 省 绍 兴 市）某公司投资新建了一商场，共 有 商 铺3 0间.据预测，当每间的 年 租 金 定 为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少 租 出 商 铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交 各 种 费 用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租金定为1 3万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金一各种费用）为 2 7 5 万元？【答案】（1）；30 0 0 0 4-5 0 0 0=6,能租出2 4 间.（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则X X X（30-）X （1 0+x）（30-）X 1-X 0.5=2 7 5,0.5 0.5 0.52 X 2-1 1%+5=0,l=5 或 0.5,二 每间商铺的年租金定为1 0.5 万元或1 5 万元.2 0 1 0 年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3 月分的1 40 0 0元/相2 下降到5月份的1 2 6 0 0 元/用2 问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：709 0.95）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破1 0 0 0 0 元/机2?请说明理由。【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）解：设 4、5月份平均每月降价的百分率为x,根据题意得14000（1-%）2=12600化简得（1 一外2=0.9解得王=0.0 5,R L95（不 合 题 意，舍去）因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为12600（1 -x）2=12600 x 0.9=11340 10000由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破1 0 0 0 0 元/m?（2 0 1 0 年山东聊城）2 0 0 9 年我市实现国民生产总值为1 37 6 亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2 0 1 1 年全市国民生产总值要达到1 7 2 6 亿元.(1)求全市国民生产总值的年平均增第率(精确到现)(2)求 2 0 1 0 年至2 0 1 2 年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？(精确到1 亿元)【关键词】一元二次方程的应用【答案】(1)设全市国民生产总值的年平均增长率为X,根据题意,得:1 37 6(1+x)2=1 7 2 6(1 +x)2 1.2 5 ,1 +x 1.1,/.X)0.1 =1 0%,X *-2.1 (不合题意，舍去).答：全市国民生产总值的年平均增长率约为1 0%.(2)1 37 6 (1+1 0%)+1 7 2 6+1 7 2 6 (1+1 0%)=1 5 1 3.6+1 7 2 6+1 8 9 8.6 2 5 1 38(亿)答：2 0 1 0 年至2 0 1 2 年全市三年可实现国民生产总值约为5 1 38 亿元【例 2】为、是方程2 3 x 5 =0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：(1)x,2+x22(2)|X j-x2|(3)X|2+3 x 2?-32略解：(1)X=(X +2)2 -2/2 =7；(2)|x 1 -x2|-yl(xl+x2)2-4 x 2 =3 g(3)原式=(x；+X22)+(2X22-3X2)=7；+5 =1 2；【例 3】已知关于x的方程/+2(机+2 +机2-5 =0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大1 6,求？的值。分析：有实数根，则()，且 X：+x 2 2 =玉 +1 6,联立解得机的值。略解：依题意有：x+x2=-2(m +2)xx2=m2-5,2 2x+x2=xx2+1 6 =4(m+2)2-4(m 2 5)NO9由解得：加=1 或 机=1 5,又由可知机一二4,加=-1 5 舍去，故加=1探索与创新:【问题一】已知修、%是关于x的一元二次方程4 x 2+4(m-1)+加2 =0的两个非零实数根，问：再 与 能 否 同 号？若能同号请求出相应的Z的取值范围：若不能同号，请说明理由。1 1 9略解：由 =-3 2 m+1 6 2 0得加 0(1)若 七 0,x9 0,则 ,解得mVI且 加W 0 -/0.？W 且 m W 02X.+0 1(2)若X V 0,x2 1与 加 W 相矛盾xx2 0 2综上所述：当z 且 加 0时，方程的两根同号。2【问题二】已知王、X 2是一元二次方程4依2 -4依+R+1 =0的两个实数根。_3(1)是否存在实数上,使(2七/)(占一2/)=1成立？若存在，求出女的值；若不存在，请说明理由。(2)求 使 土+&-2的值为整数的实数%的 整 数值。x2 X 略解：(1)由4#0和V 0.女 +1.x,+x2=1,xtx2-4k(2x,-x2)区 一 2X2)=2(X j+x2)2-9.x2k+9 3 4k 29:.k=一，而 Z V O5.不存在。(2)土+工 一2 =任 土 叱-4=一一,要使一一匕的值为整数，而后x2 X xtx2 k+1 k+1为整数，出+1只能取1、2、4,又k 0存在整数人的值为一2、一3、-51 2.（2 0 1 1 南充市中考）1 8.关于的一元二次方程/+入+忆+1=0 的实数解是勺和立（1）求 k的取值范围；（2）如果为+关2%工 2 2.（6分）又 由（1）kWO-2kW0.（7 分）,/k为整数 的值为-1 和 0.（8 分）1 4.（2 0 1 1 义乌市中考）1 9.商场某种商品平均每天可销售3 0 件，每件盈利5 0 元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 10 0 元？14.解：5 0 x （每 空 I 分）.2分（2）由 题 意 得:（5 0-x）（3 0+2 r）=2 10 0 .4 分化简得：x23 5 x+3 0 0=0解得：X|=15,X2=20.5 分 该商场为了尽快减少库存，则 x=15 不合题意，舍 去.；.x=2 0答:每件商品降价2 0 元,商场日盈利可达2 10 0 元.6分22.（满分10分）已知关于x 的方程-2（4-l）x+*2=0 有两个实数根再,X.（1）求 t 的取值范围；（4 分）（2）若卜+&|=占 礼-1，求左的值.（6 分）2 2.锦(1)依题意用ANO即-2信-l)F -4&：2 0 .2分.4 分2(2)依鹿.短天+0=2(4-1),毛.0 =%.5分以卜分两种怙况讨论：当片一02 0时则有芍+三=x,x:-1.即2伏-I)=4 -I解得尢=A r；=1,:k J2:k,=k2=1小;二题意.舍去.7分,+4 0时,则 行$+0=_(XRI).即2(4-1)=一伏：I)解得勺=1卜=-3：.k=-3.9 分2综合、可知A=-3.10分说明：第(2)问另外解法：依鹿意可知毛+a=2(4-1).由(I)可知4 4 122(*-1).即.+啊-3)解法2：设x1+歹一开7-6=+崩)-x+7jr-fi=伊 一/+0+2+冷=3 +歹-犷+-砌 1y+EV 2M-M=7比 较 对 应 项 系 数 =-6./+-21yl-x+7 y-$=(x-)r+2)(x+2)r-J)解法3：整理为关于x的二次三项式x1 布 -x+7/-6=/2V+7y-6令+G-D x-a +Zr-6=0 则-0,解 得 k ,即实数A的取值范围是k 0,即A 0,方程2/+履一 1 =0有两个不相等的实数根.(2)设2/+乙一 1 =0的另一个根为工,则 工一1 二 一K,(-1)%=-,2 2解得：x=,&=1,2 .2 f +依 1 =0的另一个根为_ L,女的值为1.23.解：方程41+。=0有两个相等的实数根 二(-4)2-46=0 b二4.Vc=4.b=c=4.ABC为等腰三角形.(x-a)?=。=/-4ac