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工程力学平面力偶系第1页，本讲稿共73页B OF2d一、力矩 力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。点之矩。1、力对点之矩、力对点之矩 定义：定义：力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力F F对O O点的力矩。O转动的中心。称为力矩中转动的中心。称为力矩中心，简称心，简称矩心矩心d转动中心到力作用线之间的距转动中心到力作用线之间的距离称为力臂离称为力臂(注意单位注意单位)表达式：表达式：Mo(F)=Fd正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针转正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针转向转动力矩取正号向转动力矩取正号,反之取负号。反之取负号。F1F3F4问题：图示力F对O点的力矩应取什么符号？第2页，本讲稿共73页 力矩必须与矩心相对应，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须表明矩心。力矩在下列两种情况下等于零：力等于零或力的作用线通过矩心。力F F对任一点的矩，不因力F F沿其作用线的移动而改变。F2dO第3页，本讲稿共73页力矩计算 简支刚架如图所示，荷载简支刚架如图所示，荷载F=15kN，=45,尺寸如图。尺寸如图。试分别计算试分别计算F对对A、B两点之矩。两点之矩。dABF4m1m1m2mo解解:1、力、力F对对A点的力矩点的力矩。力臂力臂d=4m sin=4m sin45d=2m-15kN2MA(F)=-Fd=m=-30kNm2、力、力 F 对对B点的力矩点的力矩。力臂d=1m sin =1m sin45=mMB(F)=+F d=+15kN0.5m=7.5+kN m注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。第4页，本讲稿共73页2.合力矩定理合力矩定理 力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。设某力系为Fi（i=1,2,n），其合力为FR，根据以上理论，则有表达式：第5页，本讲稿共73页由合力投影定理有：证明：证明：od=ob+oc又第6页，本讲稿共73页ABF4m1m1m2mo 例例1 荷载荷载F=20kNF=20kN，=45,=45,尺寸如图。试分别计算尺寸如图。试分别计算F F对对A A、B B两点之矩。两点之矩。Fx=Fcos=20N0.7=14N解解:Fy=Fsin=20N0.7=14N1、力、力F对对A点的力矩点的力矩MA(Fx)=-Fxd=-14kN2=-28kNmMA(Fy)=-Fyd=14kN6=84kNmMA(F)=MA(Fy)+MA(Fx)=84kNm-28kNm=56kNmB点大家求一下点大家求一下第7页，本讲稿共73页例例 2 求图中荷载对求图中荷载对A、B两点之矩两点之矩(b)解：解：图（图（a a）：）：MA=-82=-16kNmMB=82=16kNm图（图（b）：）：MA=-4221 =-8 k-8 kN m m MB=421=8 kN m(a)第8页，本讲稿共73页例例3 已知：如图 F、Q、l,求：和解解：用力对点的矩法用力对点的矩法应用合力矩定理应用合力矩定理第9页，本讲稿共73页0.6m0.4mCBAF300例例4、已知：机构如图，、已知：机构如图，F=10kN，求：求：MA(F)=?dFxFy解解:方法一方法一:MA(F)=-Fd=-10 0.6 sin600方法二方法二:MA(F)=-Fcos3000.6+0=-10 0.6 cos300Fx=Fcos300MA(Fx)Fy=-Fsin300MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)第10页，本讲稿共73页例5.图示F=5kN,sin=0.8试求力F对A点的矩.AB2015F第11页，本讲稿共73页AB2015F解:(1)hCDCD=18.750.6=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75 0.8 =7mo(F)=hF =7 5=35第12页，本讲稿共73页AB2015F(2)FxFyFx=Fcos =5 0.6=3Fy=Fsin =5 0.8=4Dmo(Fx)=-BD Fx =-15 3=-45mo(Fy)=AD Fy =20 4=80mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)=-45+80=35第13页，本讲稿共73页 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,求 对A、B、C三点之矩。解：由定义由合力矩定理第14页，本讲稿共73页如图所示，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理解二：由定义第15页，本讲稿共73页 练习练习 图示胶带轮，已知图示胶带轮，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求求MB(T(T1 1)+)+MB B(T(T2 2)=?)=?B解：解：3.力矩的平衡条件内容：各力对转动中心O点之矩的代数和等于零，即合力矩为零。公式表达：第16页，本讲稿共73页二、二、力偶力偶 1、什么是力偶、什么是力偶力学中把一对等值、反向且不共线的平行力称为力学中把一对等值、反向且不共线的平行力称为力偶。（力偶。（F，F）无法再简化的简单力系之一无法再简化的简单力系之一力偶作用面力偶作用面：两力作用线所决定的平面；：两力作用线所决定的平面；力偶臂力偶臂：两力作用线之间的垂直距离，用：两力作用线之间的垂直距离，用d 表示；表示；力偶的三要素：力偶的三要素：1）力偶中力的大小）力偶中力的大小2）力偶的转向）力偶的转向3）力偶臂的大小）力偶臂的大小第17页，本讲稿共73页力力 偶偶 实实 例例力力偶偶实实例例F1F2第18页，本讲稿共73页第19页，本讲稿共73页力偶矩：力学中，用力偶的任一力的大小F与力偶臂d的乘积在冠以相应的正、负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，用M表示。M=Fd注：力偶逆时针转动时取正，反之取负。F=Fd：力偶臂：力偶臂力偶矩的单位：力偶矩的单位：Nm、kNmF Fd+第20页，本讲稿共73页2.2.力偶的特性力偶的特性力偶的特性力偶的特性性质性质性质性质1 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。FF/a b c d a bF第21页，本讲稿共73页性质性质2 2 力偶对其所在平面内任一点的矩恒力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。矩度量。FFdOxAB第22页，本讲稿共73页性质性质性质性质3 3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。第23页，本讲稿共73页只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。由上述证明可得下列两个推论两个推论：力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。3.力偶的表示方法 用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。第24页，本讲稿共73页 关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。内任意移动，其对刚体的作用效果不变。内任意移动，其对刚体的作用效果不变。内任意移动，其对刚体的作用效果不变。FF FF 第25页，本讲稿共73页 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。意移动，其对刚体的作用效果不变。意移动，其对刚体的作用效果不变。意移动，其对刚体的作用效果不变。关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论FF FF 第26页，本讲稿共73页 保持力偶矩矢量不变，分别改变力和保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。力偶臂大小，其作用效果不变。力偶臂大小，其作用效果不变。力偶臂大小，其作用效果不变。关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论FF F/2F/2第27页，本讲稿共73页 只要保持力偶矩矢量大小和方向不变只要保持力偶矩矢量大小和方向不变只要保持力偶矩矢量大小和方向不变只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力偶可在与其作用面平行的平面内移动力偶可在与其作用面平行的平面内移动力偶可在与其作用面平行的平面内移动力偶可在与其作用面平行的平面内移动。关于力偶性质的推论关于力偶性质的推论M=Fdk第28页，本讲稿共73页1.1.平面力偶系的简化平面力偶系的简化作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。m m1 1F F1 1d d1 1，m m2 2F F2 2d d2 2，m m3 3F F3 3d d3 3，P P1 1d=Fd=F 1 1d d1 1，P P2 2d dF F2 2d d2 2，P P3 3d d F F3 3d d3 3F FR RP P1 1P P2 2p p3 3F FR RP P1 1P P2 2P P3 3 三、平面力偶系的简化与平衡三、平面力偶系的简化与平衡 第29页，本讲稿共73页MF FR R d d（P P1 1P P2 2P P3 3）d d=P P1 1d d+P P2 2d dP P3 3d d=F=F 1 1d d1 1+F F2 2d d2 2F F3 3d d3 3所以所以 Mm m1 1m m2 2m m3 3第30页，本讲稿共73页 若若作作用用在在同同一一平平面面内内有有个个力力偶偶，则则上上式式可可以推广为以推广为由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。第31页，本讲稿共73页 平平面面力力偶偶系系中中可可以以用用它它的的合合力力偶偶等等效效代代替替，因因此此，若若合合力力偶偶矩矩等等于于零零，则则原原力力系系必必定定平平衡衡；反反之之若若原原力力偶偶系系平平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到 平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系平衡的必要与充分条件：2.2.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件即即M M 0 0注：平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。注：平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。第32页，本讲稿共73页 图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。第33页，本讲稿共73页 例例例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔在工件上同时钻四个等直径的孔,每每个钻头的力偶矩为个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A A 、B B端水平反力端水平反力?解解:合力偶距平面力偶系平衡第34页，本讲稿共73页 车间内有一矩形钢板，要使钢板转动，加力F,F F,F 如图示。试问应如何加才能使所要的力最小？ababFF 当力偶一定时，只有力偶臂最长所用的力才最小。第35页，本讲稿共73页 图中梁AB处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？lM1M2ABM1M2ABFAFB 力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力 应构成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。即A点的水平分力为零，可以不画。第36页，本讲稿共73页 图中所示的拉力实验机上的摆锤重 G G，悬挂点到摆锤重心C C的距离为l,摆锤在图示三个位置时，求重力G G对O O点之矩各为多少？CGl123o解解:MO(F)=Fd位置位置1:MO(F)=Gd=0位置位置2:MO(F)=G GGd=lsinGlsin位置位置3:MO(F)=Gl 第37页，本讲稿共73页刚架上作用着力刚架上作用着力F F,分别计算力分别计算力F F对对A A点和点和B B点的力矩。点的力矩。F F、a a、b b为已知。为已知。AFBab Fx Fy解：解：用定义计算，力臂不易确用定义计算，力臂不易确定，所以，用合力矩定理。定，所以，用合力矩定理。MA(F)=Fxb=bFcosFx=FcosFy=FsinMB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=bFcos+aFsin第38页，本讲稿共73页 例例 图示结构，求图示结构，求A A、B B处反力。处反力。解：解：1、取研究对象、取研究对象整体整体整体整体2、受力分析、受力分析特点：力偶系特点：力偶系特点：力偶系特点：力偶系3、平衡条件、平衡条件mi=P 2aYA l=0思考思考思考思考m i=0P 2aRB cos l=0第39页，本讲稿共73页 求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：第40页，本讲稿共73页例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.45oABlm第41页，本讲稿共73页解:取梁AB为研究对象45oABlmRARB45o45oRA=RB=Rm(RA,RB)=Rlcos 45o mi=0Rlcos 45o-m=0R=RA=RB=第42页，本讲稿共73页例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.OABO1m2m130o第43页，本讲稿共73页解:AB为二力杆OABO1m2m130oSA=SB=SSSSS 取OA杆为研究对象.mi=0m2 0.6 S=0(1)取O1B杆为研究对象.mi=00.4sin30o S-m1=0(2)联立(1)(2)两式得:S=5m2=3第44页，本讲稿共73页例题.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?60o60oABCDm1m2第45页，本讲稿共73页解:取杆AB为研究对象画受力图.杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.ABCm1RARC mi=0RA=RC=RAC=aa R-m1=0m1=a R (1)第46页，本讲稿共73页 取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方位亦可确定.画受力图.60o60oDm2BCARDR CRD=RC=RCD=a mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5 aR (2)联立(1)(2)两式得:第47页，本讲稿共73页例题例题 图示刚架，其上作用三个力偶，其中图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F1=F1=5KN，m2=20KN.m,m3=9KN.m,试求支座试求支座A、B处的反力。处的反力。AB m2m130oF1F1m3 m2m330o30oFAFB1m1m1mABm1=F1 1=5KN.m第48页，本讲稿共73页m1m1-m2+m3+FB d=0 m2m330o30oFAFBABd解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，则则A、B处的约束反力一定形成力偶。处的约束反力一定形成力偶。根据平面力偶系的平衡方程：根据平面力偶系的平衡方程：mi=05-20+9+FB ABsin300=0解得：解得：FA=FB=2.31kN第49页，本讲稿共73页例例已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为已知，为已知，求：支座求：支座A、B的约束反力及主动力偶的约束反力及主动力偶M。ABCDEMM1450a解：解：“BD”BDEM1FEFB M=0M1-FE a=0FB=FE =M1/aFBFA“系统系统”系统受力偶作用，又只在系统受力偶作用，又只在A、B两点受力，则该两点的力必形成两点受力，则该两点的力必形成一力偶。一力偶。FA=FB =M1/a第50页，本讲稿共73页 M=0M1-FB 0-M=0 M =M1ABCDEMM1450aFBFA第51页，本讲稿共73页 系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力。解：先以AB杆为研究对象，受力如图。由几何关系：所以：第52页，本讲稿共73页 再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。其中：解之得：讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：第53页，本讲稿共73页例例已知：a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。解解:分别以AB杆(二力杆)和BC为研究对象求解.由由 M=0,m NC d=0及 NC=NB=NB 解得解得:AB杆：BC杆：第54页，本讲稿共73页第55页，本讲稿共73页例例 M1=2kNm，OA=r=0.5m，a=30，求作用于摇杆上力偶矩的大小及铰链O、B处的约束力。解：解：1.先先以圆轮为研究对象.由由 M=0,解得解得:（平面力偶系）（平面力偶系）第56页，本讲稿共73页2.再以摇杆为研究对象再以摇杆为研究对象（平面力偶系）（平面力偶系）由由 M=0,FA=FA=M1/rsin30解得解得:FO、FB的方向如图所示。第57页，本讲稿共73页ABOABO（A）（B）例：例：结构如图所示，已知主动力偶结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约束力小哪种情况铰链的约束力小,并确定并确定 约束力的方向（不计构件自重）约束力的方向（不计构件自重）1 1、研究、研究OAOA杆杆2 2、研究、研究ABAB杆杆第58页，本讲稿共73页例例:已知已知已知已知 ABAB=2a2a BDBD=a a,不计摩擦。求当不计摩擦。求当不计摩擦。求当不计摩擦。求当系统系统系统系统 平衡时平衡时平衡时平衡时,力偶力偶力偶力偶M1,M2 应满足的关系应满足的关系应满足的关系应满足的关系。C CA AD DB BND DND DD DNB BNA A 研究研究BD研究研究ACC CA AB BD D 第59页，本讲稿共73页 例例 图示杆系，已知图示杆系，已知m,l,求求A、B处约束力。处约束力。解：解：1、研究对象、研究对象二力杆：二力杆：二力杆：二力杆：ADAD2、研究对象：、研究对象：整体整体思考：思考：思考：思考：CBCB杆受力情况如何？杆受力情况如何？杆受力情况如何？杆受力情况如何？m练习：练习：练习：练习：第60页，本讲稿共73页解：解：1、研究对象、研究对象二力杆：二力杆：二力杆：二力杆：BCBC2、研究对象：、研究对象：整体整体mADAD杆杆杆杆第61页，本讲稿共73页例题.图示物体系统中AC=CD=BE=EF=a 且CF=DE.物体重量不计.求支座A 和B 的约束反力.ABCDEFm 第62页，本讲稿共73页解:取整体为研究 对象画受力图。ABCDEFm RARBdRA=RB=R mi=0RA=RB=R=第63页，本讲稿共73页BAm所以所以所以所以 练习练习 下图中，求下图中，求A、C 两点处的支座反力。两点处的支座反力。第64页，本讲稿共73页OA 练习练习 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中AO=d,AB=l。B曲柄曲柄ACDAOBM解：解：1、研究对象：、研究对象：滑块滑块BM2、研究曲柄、研究曲柄ACD第65页，本讲稿共73页思考题：思考题：1、m可否又可否又BC上移至上移至AC上？上？a am结结结结构构构构视视视视为为为为一一一一体体体体时时时时，mm可可可可移移移移动动动动，若若若若分分分分开开开开考考考考虑虑虑虑，则则则则mm不不不不能能能能从从从从一体移至另一体。一体移至另一体。一体移至另一体。一体移至另一体。2.2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？第66页，本讲稿共73页力偶不能和一个力平衡，为什么图中的轮子又能平衡？力偶不能和一个力平衡，为什么图中的轮子又能平衡？OPrM=PrOPM=PrP 力偶只能和力偶平衡，P、O两点的力应构成力偶，所以，这个力偶与M平衡。第67页，本讲稿共73页2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？、图示机构平衡时两力偶之间的关系？m1杆BC分析整体答案：答案：第68页，本讲稿共73页力沿作用线移动：力沿作用线移动：AAFFBB力是滑动矢量。只适用于刚力是滑动矢量。只适用于刚体，不适用于变形体及刚体系体，不适用于变形体及刚体系统。统。反例为：绳子，反例为：绳子，ABCPABCP?AFBAFBMB力线平移力线平移第69页，本讲稿共73页力偶等效力偶等效ABMABMABMABCMABC?M思考题：思考题：1、图示两结构、图示两结构是否等效？是否等效？2、力矩与力偶矩的异同？（平时作业）、力矩与力偶矩的异同？（平时作业）第70页，本讲稿共73页 如图所示杆件结构中，EF/AB，AE=EC，EF杆E端与AC铰接，F端光滑搁置在BC上，杆重不计，求A、B处的反力。第71页，本讲稿共73页小结力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩；力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩；力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡；能与一个力等效，也不能与一个力平衡；力偶对刚体的转动效应决定于其三要素；力偶对刚体的转动效应决定于其三要素；力偶等效条件，合力（偶）矩定理；力偶等效条件，合力（偶）矩定理；力偶系平衡的充要条件是：力偶系平衡的充要条件是：S M i=0。第72页，本讲稿共73页第73页，本讲稿共73页