线性代数行列式的展开定理精品文稿.ppt

第1页，本讲稿共45页例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的阶数。列式的阶数。第2页，本讲稿共45页 【定义】在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式例如例如第3页，本讲稿共45页第4页，本讲稿共45页 【定理定理】行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：其对应的代数余子式乘积之和，即：二、基于行列式某一行（列）的展开定理二、基于行列式某一行（列）的展开定理显然这些项都是 D 的 个展开项中的某一项，第5页，本讲稿共45页 因此只需证明在两端的展开式中，这些项前面的符号也相同即可。右端 中的项：其中：是 的一个排列。在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：第6页，本讲稿共45页该符号正好是在该符号正好是在D的完全展开式中的完全展开式中前面所带的符号。前面所带的符号。证毕证毕第7页，本讲稿共45页例1按第三行展开第8页，本讲稿共45页第9页，本讲稿共45页例例2 2 计算计算解：解：第10页，本讲稿共45页例例3计算范德蒙计算范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第11页，本讲稿共45页按第按第1列展开，提取公因式得：列展开，提取公因式得：第12页，本讲稿共45页依次下去：依次下去：第13页，本讲稿共45页例例4 计算计算解：解：第14页，本讲稿共45页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式，故有：阶范德蒙行列式，故有：第15页，本讲稿共45页例例5 5 计算计算第16页，本讲稿共45页第17页，本讲稿共45页第18页，本讲稿共45页例例7 7 证明证明 证证：第19页，本讲稿共45页由以上递推公式可得：由以上递推公式可得：逐个代入可得：逐个代入可得：第20页，本讲稿共45页解：解：按第按第1行展开：行展开：第21页，本讲稿共45页整理：整理：由此：由此：（请关注本题解决问题的思想！）（请关注本题解决问题的思想！）第22页，本讲稿共45页按第n列展开第23页，本讲稿共45页第24页，本讲稿共45页 解：利用加边法，有：解：利用加边法，有：第25页，本讲稿共45页（请关注本题解决问题的思想！）（请关注本题解决问题的思想！）第26页，本讲稿共45页 【定理】行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证第27页，本讲稿共45页同理同理相同第28页，本讲稿共45页关于代数余子式的重要性质：第29页，本讲稿共45页 2.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结1、余子式，代数余子式的概念、余子式，代数余子式的概念重要结论：重要结论：按第i行展开按第j列展开第30页，本讲稿共45页习题求第一行各元素的代数余子式之和第31页，本讲稿共45页第32页，本讲稿共45页第33页，本讲稿共45页信息系 刘康泽 1-3 1-3 拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理(2)(2)第34页，本讲稿共45页第35页，本讲稿共45页第36页，本讲稿共45页第37页，本讲稿共45页第38页，本讲稿共45页第39页，本讲稿共45页第40页，本讲稿共45页第41页，本讲稿共45页第42页，本讲稿共45页第43页，本讲稿共45页第44页，本讲稿共45页第45页，本讲稿共45页