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线性空间的基本概念湘潭大学数学与计算科学学院 王文强1第1页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广抽象的概念，它是向量空间概念的推广线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题问题一、线性空间的定义第2页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强3数域的定义数域的定义 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的数的代数性质代数性质 定义定义1 设设P是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括0与与1如果如果P中任意两个数中任意两个数(这两个数也可以相同这两个数也可以相同)的和、差、积、商的和、差、积、商(除数不为零除数不为零)仍然是仍然是P中的数，中的数，那么那么P就称为一个就称为一个数域数域第3页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强4 如果数的集合如果数的集合P中任意两个数作某一运算的中任意两个数作某一运算的结果都仍在结果都仍在P中，我们就说数集中，我们就说数集P对这个运算是对这个运算是封封闭的闭的。因此，数域的定义也可以说成，如果一个包因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含含0、1在内的数集在内的数集P对于加法、减法、乘法与除数对于加法、减法、乘法与除数(除数不为除数不为0)是封闭的，那么是封闭的，那么P就称为一个就称为一个数域数域第4页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强5若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的积，的积，记作记作定义定义1.1.设设 是一个非空集合，是一个非空集合，为一数域如果为一数域如果对于任意两个元素对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元，总有唯一的一个元素素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的和，记作的和，记作上述两种运算分别称为：上述两种运算分别称为：加法加法与与数量乘法数量乘法.第5页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强6如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或上的向量空间（或线性空间线性空间）第6页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强7第7页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强82 向量空间中的向量不一定是有序数组向量空间中的向量不一定是有序数组3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 说明说明1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算线性运算第8页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强9（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 线性空间的判定方法线性空间的判定方法第9页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强10通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律足线性运算规律第10页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强11第11页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强12第12页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强13例例 正弦函数的集合正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间第13页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强14是一个线性空间是一个线性空间.例例 在区间在区间 上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间空间一般地一般地第14页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强15例例 正实数的全体，记作正实数的全体，记作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律否满足八条线性运算规律证明证明所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭第15页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强16下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：第16页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强17所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间第17页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强18不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例 个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体第18页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强191 1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，由于由于所以所以则对任何则对任何 ，有有二、线性空间的性质第19页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强202 2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ，那么那么则有则有向量向量 的负元素记为的负元素记为第20页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强21证明证明第21页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强224如果如果 ，则则 或或 .证明证明假设假设那么那么又又同理可证：若同理可证：若 则有则有第22页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强23三、线性空间的子空间定义定义1.21.2设设V是一个线性空间，是一个线性空间，L是是V的一个非空子集，的一个非空子集，如果如果L对于对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称线性空间，则称L为为V的的子空间子空间定理定理1.11.1线性空间线性空间V的非空子集的非空子集L构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭第23页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强24解解(1)不构成子空间不构成子空间.因为对因为对例例8 8有有第24页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强25满足满足且且第25页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强26即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意对任意有有于是于是第26页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强27四、线性空间的基与维数已知已知：在中，线性无关的向量组最多由：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的问题问题：线性空间的一个重要特征：线性空间的一个重要特征在线性空在线性空间间 中，最多能有多少线性无关的向量？中，最多能有多少线性无关的向量？第27页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强28定义定义1.31.3 在线性空间在线性空间 中，如果存在中，如果存在 个元素个元素满足：满足：第28页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强29当一个线性空间当一个线性空间 中存在任意多个线性无关中存在任意多个线性无关的向量时，就称的向量时，就称 是无限维的是无限维的第29页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强30五、元素在给定基下的坐标五、元素在给定基下的坐标第30页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强31第31页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强32注意注意线性空间线性空间 的任一元素在不同的基下所对的的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的唯一的第32页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强33例例所有二阶实矩阵组成的集合所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性上的一个线性空间对于空间对于 中的矩阵中的矩阵第33页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强34第34页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强35第35页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强36第36页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强37六、基变换公式与过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？标如何改变呢？问题问题：在：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的第37页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强38称此公式为称此公式为基变换公式基变换公式第38页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强39由于由于第39页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强40基变换公式基变换公式基变换公式基变换公式 矩阵矩阵 称为由基称为由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵 是可逆的是可逆的第40页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强41若两个基满足关系式若两个基满足关系式七、坐标变换公式七、坐标变换公式第41页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强42则有坐标变换公式则有坐标变换公式或或第42页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强43证明证明第43页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强44第44页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强45第45页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强46第46页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强47第47页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强48第48页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强49第49页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强50第50页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强51线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线线性性空空间间是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算八、小结线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.第51页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强52思考题第52页，本讲稿共53页湘潭大学数学与计算科学学院 王文强53思考题解答第53页，本讲稿共53页