线性空间和欧氏空间精品文稿.ppt

线性空间和欧氏空间第1页，本讲稿共34页第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 向量空间向量空间 Rn及其子空间及其子空间 一一.向量空间向量空间基和维数基和维数 1.n维实维实(列列)向量的全体向量的全体 Rn=x1,x2,xnT|R关于向量关于向量(即列矩阵即列矩阵)的加法和数乘运算的加法和数乘运算 满足如下满足如下8条基本性质条基本性质:关于加法关于加法关于加法关于加法:(1):(1)交换律交换律交换律交换律;(2);(2)结合律结合律结合律结合律;(3);(3);(4);(4)关于数乘关于数乘关于数乘关于数乘:(5)1:(5)1 =;(6);(6)k k(l l )=)=(klkl);(7)(7)(k k+l l)=k k +l l ;(8)(8)k k(+)=)=k k +k k .第2页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 2.设设V是是Rn的非空子集的非空子集,且对向量的加法及数且对向量的加法及数 乘封闭乘封闭,即即 ,V,k R,有有+V,k V 则称则称V是一个是一个(实实)向量空间向量空间.设设V是一个向量空间是一个向量空间,U V,若若U也构成一个也构成一个向量空间向量空间,则称则称U为为V是一个是一个子空间子空间.仅含有零向量仅含有零向量 的集合的集合 关于向量的线性运关于向量的线性运算也构成一个向量空间算也构成一个向量空间,我们称之为我们称之为零空间零空间.Rn和和 称为称为Rn的的平凡子空间平凡子空间.第3页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 3.设设V是一个向量空间是一个向量空间,1,2,r是是V中一中一 线性无关向量组线性无关向量组,并且并且V中任一向量都能由中任一向量都能由 1,2,r 线性表示线性表示,则称则称(有序有序)向量组向量组 1,2,r 是向量空间是向量空间V的一组的一组基基.r称为称为V的的维数维数.记为维记为维(V)或或dim(V).零空间没有基零空间没有基,规定规定dim =0.由定义由定义,对对 V,唯一唯一的一组有序实数的一组有序实数 k1,k2,kr使得使得 =k1 1+k2 2+kr r.我们把我们把r维向量维向量k1,k2,krT 称为称为 在在 1,2,r 这组基下的这组基下的坐标坐标.第4页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 例例1.Rn的基本向量组的基本向量组e1=1 10 00 00 0,e2=0 01 10 00 0,en=0 00 00 01 1构成构成Rn的一组基的一组基,Rn中的任一向量中的任一向量 都能都能 由这组基线性表示由这组基线性表示.且且 在这组基下的坐标就是在这组基下的坐标就是 本身本身.这组基称为这组基称为Rn的自然基的自然基.第5页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 例例2.设设A Rm n,b Rm,b ,r(A,b)=r(A)=r,KA=x|Ax=,x Rn,SB=x|Ax=b,x Rn.其中其中KA是向量空间是向量空间,称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 Ax=的的解空间解空间,Ax=的一个基础解系的一个基础解系就是就是KA的一组基的一组基,因此因此dim(KA)=n r.但但SB不是向量空间不是向量空间.事实上事实上,SB中不含中不含.在在R3中中,过原点的平面是过原点的平面是R3的的2维子空间维子空间,过原点的直线是过原点的直线是R3的的1维子空间维子空间,而不经而不经过原点的直线与平面都不是向量空间过原点的直线与平面都不是向量空间.第6页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 4.设设 1,2,s Rn,用用L(1,2,s)表示表示 1,2,s的一切线性组合所成的集合的一切线性组合所成的集合,即即 L(1,2,s)=k1 1+k2 2+ks s|k1,k2,ks R则则L(1,2,s)是是(包含包含 1,2,s的的 向量空间中最小的向量空间中最小的)一个向量空间一个向量空间,我们称我们称之为之为由由 1,2,s生成的子空间生成的子空间.而而 1,2,s称为称为L(1,2,s)生成元生成元.L(1,2,s)的基可以取为的基可以取为 1,2,s 的任一极大无关组的任一极大无关组.第7页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 特别地特别地,设矩阵设矩阵A Rn s,A1,A2,As依次为依次为A s个列向量个列向量.则称则称L(A1,A2,As)为为矩阵矩阵A的列的列空间空间.dim(L(A1,A2,As)=秩秩(A).因而因而dim(L(1,2,s)=秩秩 1,2,s.求求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数的一组基和维数.例例3.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,第8页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 解解:初等初等 行行变换变换 可见可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.注注:此外此外A1,A3也也是是L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.还有还有A1,A4.1 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 事实上事实上,对于这个例子对于这个例子,除了除了A3,A4以外以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基的一组基.第9页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 二二.Rn上的坐标变换上的坐标变换 1.两组基之间的关系两组基之间的关系 设设 1,2,n及及 1,2,n都是都是Rn的的 基基,j在在 1,2,n下的坐标为下的坐标为 c1j,c2j,cnjT,j=1,2,n.j在在 1,2,n下的坐标为下的坐标为 d1j,d2j,dnjT,j=1,2,n.记记A=1,2,n,B=1,2,n,C=cij,D=dij,则则A,B可逆可逆,且且B=AC,A=BD.第10页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 A,B可逆可逆,且且B=AC,A=BD.由此可得由此可得A=BD=ACD,因而因而CD=I.我们称我们称C为从基为从基 1,2,n到基到基 1,2,n的的过渡矩阵过渡矩阵.易见易见C=A 1B,D=C 1=B 1A.特别地特别地,从自然基从自然基e1,e2,en到基到基 1,2,n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为I 1A=A.从基从基 1,2,n到自然基到自然基e1,e2,en的过渡的过渡 矩阵为矩阵为A 1I=A 1.第11页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 2.同一个向量在两组级下的坐标之间的关系同一个向量在两组级下的坐标之间的关系 设设 在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为x,在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为y,即即 =Ax=By,因此因此 y=Dx,x=Cy 上述公式称为上述公式称为坐标变换公式坐标变换公式.特别地特别地,向量向量 =x1,x2,xnT 在基在基 1,2,n的坐标为的坐标为A 1 .第12页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 三三.Rn上的线性变换上的线性变换 1.线性映射线性映射 设映射设映射f:RnRm保持线性运算保持线性运算,即满足即满足 ,Rn,k1,k2 R,f(k1 +k2)=k1 f()+k2 f()或者或者,与之等价地与之等价地,保持加法保持加法和和数乘数乘,即即 则称则称f为一个为一个线性映射线性映射.从从Rn到到Rn自身的自身的 线性变换称为线性变换称为Rn的线性变换的线性变换.,Rn,k R,f(+)=f()+f(),f(k)=kf()第13页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 2.线性映射的矩阵线性映射的矩阵 设设A Rm n,则可以定义则可以定义f:RnRm如下如下:f()=A,Rn.可以直接验证可以直接验证f为线性映射为线性映射.反之反之,给定线性映射给定线性映射f:RnRm,取取Rn的自然的自然基基e1,e2,en,Rm的自然基的自然基 1,2,m.设设f(e1),f(e2),f(en)在在 1,2,m下的矩阵下的矩阵 为为A,即即 f(e1),f(e2),f(en)=1,2,mA,则则A Rm n,且且f()=A,Rn.第14页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 这就是说每个矩阵这就是说每个矩阵A Rm n对应于一个线性映对应于一个线性映 射射 f:RnRm;反之反之,每个线性映射每个线性映射 f:RnRm都都对应于一个矩阵对应于一个矩阵A Rm n.特别地特别地,每个方阵每个方阵A Rn n对应于对应于Rn的的一一个线性变换个线性变换 f:RnRn;反之反之,Rn的的每个线性每个线性变换变换都都对应于一个对应于一个方方阵阵A Rn n.此时此时,线性变换线性变换f:RnRn(作为映射作为映射)可逆可逆 A可逆可逆.第15页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 3.设设f:RnRm为线性映射为线性映射,Imf=y=f(x)|x Rn,Kerf=x Rn|f(x)=.则则Imf和和Kerf分别为分别为Rn和和Rm的子空间的子空间,我们我们 称称Imf为为f的的值域值域,称称Kerf为为f的的核核.若若f()=A,Rn,其中其中A Rm n,A的列向的列向 量依次为量依次为A1,A2,An.则则Imf=Ax|x Rn=L(A1,A2,An),Kerf=x Rn|Ax=,即即Ax=的解空间的解空间.此时此时,也记也记Imf=R(A),Kerf=K(A).第16页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.1 4.1 向量空间向量空间向量空间向量空间 R Rn n及其子空间及其子空间及其子空间及其子空间 于是于是,dimR(A)=秩秩(A),dimK(A)=n 秩秩(A).由此可得由此可得,dimR(A)+dimK(A)=n.此时此时,也记也记Imf=R(A),Kerf=K(A).R(A)的基可以取为的基可以取为A1,A2,An的一个极大无的一个极大无 关组关组,K(A)的基可以取为的基可以取为Ax=的一个基础解的一个基础解系系.求求R(A)和和K(A)的基和维数的基和维数.例例4.设设A=A1,A2,A3,A4=1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1,第17页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 4.2 Rn中的度量与正交变换中的度量与正交变换 一一.Rn中向量的内积中向量的内积,长度和夹角长度和夹角 1.设 =a1,a2,anT,=b1,b2,bnT,记为记为 ,即即则称实数则称实数 aibi 为向量为向量 与与 的的内积内积,n n i i=1 =1 2.内积的基本性质内积的基本性质 ,=aibi=T n n i i=1 =1(1)(1)对称性对称性对称性对称性:,=,;(2)(2)线性性线性性线性性线性性:k k1 1 1 1+k k2 2 2 2,=k k1 1 1 1,+k k2 2 2 2,;(3)(3),0;0;且且且且 ,=0 =0 =.第18页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 5.长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量.3.对于对于n维实向量维实向量,称称 ,为为 的的长度长度或或 模模,记为记为|,即即 对于非零向量对于非零向量,|1 是一个单位向量是一个单位向量.用用|1乘乘 称为把称为把 单位化单位化或或标准化标准化.,|=ai2 n n i i=1 =1 4.长度的基本性质长度的基本性质(1)正定性正定性:|0;且且|=0 =;(2)齐次性齐次性:|k|=|k|(k R);(3)Cauchy不等式不等式:|,|.第19页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 6.设设,Rn,若若 ,则定义则定义,的的夹角夹角 若若 ,=0,即即 =/2,则称则称 与与 正交正交.为为 =arccos ,|,0 例例5.设设,Rn,且且 与与 线性无关线性无关,求常数求常数k使使 +k 与与 正交正交.第20页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 二二.标准正交基和施密特标准正交基和施密特(Schmidt)方法方法 1.一组两两正交的向量组称为一组两两正交的向量组称为正交向量组正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为由单位向量组成的正交向量组称为标准标准 正交向量组正交向量组.向量空间的一组基如果是正交向量组向量空间的一组基如果是正交向量组,就就 称之为称之为正交基正交基;如果是标准正交向量组如果是标准正交向量组,就称之为就称之为标准正交基标准正交基.定理定理4.1.设设 1,2,s是正交向量组是正交向量组,则则 1,2,s线性无关线性无关.第21页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 命题命题.设设 1,2,s是标准正交向量组是标准正交向量组,且且 =k1 1+k2 2+ks s,则则ki=,i,i=1,2,s.2.施密特施密特(Schmidt)方法方法 定理定理4.2.设设 1,2,s线性无关线性无关(s 2),则存则存 在一个正交向量组在一个正交向量组 1,2,s满足满足 1,2,t与与 1,2,t等价等价(1 t s).第22页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 1=1,正交化正交化过程如下过程如下:2=2 2,1 1,1 1,s=s s,1 1,1 1 s,s 1 s 1,s 1 s 1再将再将 1,2,s单位化得单位化得:1=1|1|,2=2|2|,s=s|s|.施施密密特特方方法法 第23页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 三三.正交矩阵和正交变换正交矩阵和正交变换 1.满足足QTQ=I(即即Q 1=QT)的的实方方阵Q称称 为为正交矩阵正交矩阵,简称为简称为正交阵正交阵.定理定理4.3.设设Q为为n阶实方阵阶实方阵,则则Q是正交矩阵是正交矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是Q的的列向量组构列向量组构 成成Rn的一组标准正交基的一组标准正交基.推论推论.设设Q为为n阶实方阵阶实方阵,则则Q是正交矩阵是正交矩阵 QT是正交矩阵是正交矩阵 Q的的行向量组转置行向量组转置 后构成成后构成成Rn的一组标准正交基的一组标准正交基.第24页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 2.若若Q为为n阶正交矩阵阶正交矩阵,则线性变换则线性变换y=Qx称为称为 Rn的的正交变换正交变换.定理定理4.4.Rn的正交变换的正交变换y=Qx不改变向量的不改变向量的 内积内积,因而也不改变向量的长度和因而也不改变向量的长度和夹角夹角.3.由定由定义可可见正交矩正交矩阵Q的行列式的行列式|Q|=1或或 1,若若|Q|=1,则对应的正交变换称为则对应的正交变换称为第一类第一类的的;若若|Q|=1,则对应的正交变换称为则对应的正交变换称为第二类第二类的的.当当Q为为3阶正交矩阵时阶正交矩阵时,注意到注意到Qi,Qj,Qk依依然正交然正交,且它们的混合积且它们的混合积(Qi,Qj,Qk)=|Q|,因此因此|Q|=1(1)时时,Qi,Qj,Qk成右成右(左左)手系手系.第25页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 例例6.验证验证Q=解解:QTQ=cos sin 是正交矩阵是正交矩阵,并并 sin cos 计算非零向量计算非零向量 =a,bT与与Q 的夹角的夹角,其中其中0 2.cos sin sin cos 因此因此Q是正交矩阵是正交矩阵.cos sin sin cos =cos2 +sin2 0 0 sin2 +cos2 =I.第26页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 例例6.验证验证Q=解解:Q =cos sin 是正交矩阵是正交矩阵,并并 sin cos 计算非零向量计算非零向量 =a,bT与与Q 的夹角的夹角,其中其中0 2.cos =,Q /(|Q|)=cos.cos sin sin cos a b acos bsin asin +bcos =,Q =(a2+b2)cos,|Q|=|=a2+b2,因而因而 =.第27页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 Q O y x O y x cos sin sin cos Q=对应的正交变换对应的正交变换 1 0 0 1 Q=对应的正交变换对应的正交变换 1 0 0 1 Q=对应的正交变换对应的正交变换 Q O y x Q 第28页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.3 4.3 线性空间和线性变换线性空间和线性变换线性空间和线性变换线性空间和线性变换 4.3 线性空间和线性变换线性空间和线性变换 第29页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.3 4.3 线性空间和线性变换线性空间和线性变换线性空间和线性变换线性空间和线性变换 第30页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.4 4.4 欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换 4.4 欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换 第31页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.4 4.4 欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换欧氏空间和正交变换 第32页，本讲稿共34页第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 4.2 R4.2 Rn n中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换中的度量与正交变换 第33页，本讲稿共34页教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求教学内容和基本要求1.1.知道知道知道知道向量空向量空向量空向量空间间,子空子空子空子空间间的概念的概念的概念的概念,会会会会判断向量空判断向量空判断向量空判断向量空间间的子集的子集的子集的子集是否构成子空是否构成子空是否构成子空是否构成子空间间;2.2.知道知道知道知道向量空向量空向量空向量空间间的基及的基及的基及的基及维维数的概念数的概念数的概念数的概念,会会会会求由一求由一求由一求由一组组向量向量向量向量组组生成的子空生成的子空生成的子空生成的子空间间及一及一及一及一齐齐次次次次线线性方程性方程性方程性方程组组的解空的解空的解空的解空间间的基及的基及的基及的基及它它它它们们的的的的维维数数数数;3.3.知道知道知道知道坐坐坐坐标变换标变换公式公式公式公式,会会会会求两求两求两求两组组基之基之基之基之间间的的的的过过渡矩渡矩渡矩渡矩阵阵;4.4.理解理解理解理解向量的内向量的内向量的内向量的内积积,长长度及正交性的概念度及正交性的概念度及正交性的概念度及正交性的概念,了解了解了解了解向量内向量内向量内向量内积积的基本性的基本性的基本性的基本性质质;5.5.理解理解理解理解向量空向量空向量空向量空间间的的的的标标准正交基的概念准正交基的概念准正交基的概念准正交基的概念,熟熟熟熟练练掌握掌握掌握掌握SchimidtSchimidt正交化方法正交化方法正交化方法正交化方法;6.6.理解理解理解理解正交矩正交矩正交矩正交矩阵阵的概念的概念的概念的概念,了解了解了解了解正交矩正交矩正交矩正交矩阵阵的性的性的性的性质质.第四章第四章第四章第四章 线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间线性空间和欧氏空间 第34页，本讲稿共34页