行列式按行列展开精品文稿.ppt

行列式按行列展开第1页，本讲稿共19页例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，留下来的列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 .结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第2页，本讲稿共19页引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 例如例如 第3页，本讲稿共19页即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）第4页，本讲稿共19页我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.第5页，本讲稿共19页 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列第6页，本讲稿共19页二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即第7页，本讲稿共19页同理可得同理可得第8页，本讲稿共19页例例（P.12例例7续）续）第9页，本讲稿共19页 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.第10页，本讲稿共19页假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有第11页，本讲稿共19页 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第12页，本讲稿共19页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 第13页，本讲稿共19页定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得第14页，本讲稿共19页例例 计算行列式计算行列式解解第15页，本讲稿共19页第16页，本讲稿共19页例例 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及第17页，本讲稿共19页解解第18页，本讲稿共19页第19页，本讲稿共19页