矩阵与行列式基础知识.ppt

矩阵与行列式基础知识介 绍我们常常会碰到一些求解方程的问题：能否如一元一次方程一样求解?矩阵概念的引入把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为把方程组系数抽取出来，形成一个数字方块，取名为系数矩阵，记为A在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为在系数矩阵最后一列添加方程右端的常数列，称之为增广矩阵，记为B矩阵的概念 一.矩阵的定义：由矩阵的定义：由 个数排成的个数排成的m行行n列数表，列数表，称为称为m行行n列矩阵。表示矩阵列矩阵。表示矩阵A的第的第i行第行第j列的元列的元素。矩阵表示如下：素。矩阵表示如下：A=矩阵矩阵A也记作也记作m=n时，称A为n阶矩阵（n阶方阵）.矩阵概念的引入引入矩阵形式：类比怎样求解矩阵方程？因此，有必要了解和学习矩阵和行列式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。相等矩阵相等矩阵记为记为A=B.特殊矩阵特殊矩阵 零矩阵零矩阵:如如行矩阵行矩阵、列矩阵列矩阵：行矩阵、列矩阵也称为向量向量矩阵的相关概念对角矩阵对角矩阵：aii 称为称为对角元对角元.单位矩阵单位矩阵：方程组的矩阵和向量表示形式方程组的矩阵和向量表示形式 m个方程个方程n个未知量的线性方程组：个未知量的线性方程组：向量形式向量形式 矩阵形式矩阵形式 若右端向量若右端向量矩阵的运算 1.矩阵的加法运算矩阵的加法运算 加法定义：有加法定义：有 矩阵矩阵 ，那么那么 矩阵矩阵 为为A和和B的和。的和。C=记作：记作：C=A+B注意：注意：(1)同型矩阵才能相加、减；同型矩阵才能相加、减；(2)相加、减结果为同型矩阵相加、减结果为同型矩阵;负矩阵负矩阵：减法减法：2.减法运算减法运算 设有一个矩阵 ，是一个数，那么矩阵 称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 3.矩阵的数乘 矩阵的矩阵的线性运算律线性运算律：加法、数乘：加法、数乘.1.乘法的定义：和 ，如果 则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。即我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 4.矩阵的乘法注：矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，矩阵乘法的运算规律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA4.矩阵的转置 1.定义（转置）定义（转置）例例2.运算律运算律(AT)T=A (A+B)T=AT+BT (kA)T=kAT (AB)T=BTAT (A1A2Ak)T=ATk ATk-1AT1 例 已知 ，求求解解 因为因为 所以所以 另解另解 行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本节主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。一阶行列式：一阶行列式：二阶行列式：二阶行列式：三阶行列式：三阶行列式：n阶行列式的定义阶行列式的定义所有位于不同行不同列的所有位于不同行不同列的n个数乘积之个数乘积之“和和”行列式的性质行列式的性质性质性质1.1.设 是n阶矩阵，是A的转置矩阵，则即行列式经过转置后其值不变.那么那么D等于下列两行列式的和，即等于下列两行列式的和，即 ，其中，其中性质性质2.如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如行列式例如行列式D的第的第i行的元素都是两数之和行的元素都是两数之和 性质性质3（行列式的初等变换）（行列式的初等变换）设设A为为n阶矩阵，阶矩阵，（1）交换）交换A第第i,j行（列）的位置得到行（列）的位置得到A1，则，则 ;（2）把）把A的第的第j行（列）乘以数行（列）乘以数 得到得到 A2，则，则 ；（3）把把的的第第j行行（第第i列列）的的k倍倍加加到到第第i行行（第第j列列）上上得得到到 A3，则，则 推论推论 设设A是任意的是任意的n阶矩阵，则对阶矩阵，则对n阶初等矩阵阶初等矩阵E都有都有 推论推论 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列式为式为 零零 克拉默克拉默(Cramer)法则法则例例 求解方程组求解方程组 解解