2021年秋人教版九年级数学上册课件：第二十一章一元二次方程本章知识梳理.ppt
2023/5/182021年秋人教版九年级年秋人教版九年级数学上册课件：第二十数学上册课件：第二十一章一元二次方程本章一章一元二次方程本章知识梳理知识梳理考纲要求考纲要求1.理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个根之间是否相等和两个根之间是否相等.3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.知识梳理知识梳理元二次方程元二次方程一知识点一知识点定义定义只含有一个未知数，未知数的最高次数是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为，且二次项系数不为 0，这样的方程叫做一元二次方程，这样的方程叫做一元二次方程.一般形式一般形式a x2bx+c=0（a0），其中），其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项系数；是二次项系数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数项是常数项.知识梳理知识梳理解法解法使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根做一元二次方程的根.直接开平方直接开平方法法形如形如x2=p或（或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程适用）的一元二次方程适用.配方法配方法将将ax2bx+c=0（a0）配方，化为（）配方，化为（x+m）2=n的形式，再求的形式，再求解解.公式法公式法方程方程ax2bx+c=0（a0）的求根公式是）的求根公式是x=因式分解法因式分解法方程的左边可化成两个一次因式的乘积（方程的左边可化成两个一次因式的乘积（x+p）（）（x+q）,右边右边为为0.知识梳理知识梳理根根根的判别式根的判别式=b24ac0,方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即x1,2=0,方程有两个相等的实数根，即方程有两个相等的实数根，即x1=x2=0,方程没有实数根方程没有实数根.根与系数的关系根与系数的关系x1+x2=，x1x2=知识梳理知识梳理实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程常见的应用问题：常见的应用问题：（1）单（双）循环问题；）单（双）循环问题；（2）平均增长（下降）率问题；）平均增长（下降）率问题；（3）数字问题；）数字问题；（4）面积、体积问题）面积、体积问题;（5）利润问题）利润问题.考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念一、一元二次方程的定义一、一元二次方程的定义1.下列方程为一元二次方程的是（）下列方程为一元二次方程的是（）A.x=2y-3B.+1=3C.x2+3x-1=x2+1D.x2=02.若关于若关于x的方程的方程ax2-3x=2x2-2是一元二次方程，则是一元二次方程，则a的的值不能为（）值不能为（）A.2B.-2C.0D.3DA考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念二、一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的一般形式3.方程方程2x2-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）项分别为（）A.6,2,5B.2,-6,5C.2，-6,-5D.-2，6，54.方程（方程（m-2）x2+3mx+1=0是关于是关于x的一元二次方程，的一元二次方程，则（）则（）A.m2B.m=2C.m=-2D.m2DC考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念5.关于关于x的一元二次方程（的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-5m+4=0，常数项为，常数项为0，则，则m的值等于（）的值等于（）A.1B.4C.1或或4D.06.将一元二次方程将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式为（）化成一般形式为（）A.3x2-4x+2=0B.3x2-4x-2=0C.3x2+4x+2=0D.3x2+4x-2=0AB考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念7.方程方程x2-3x+1=0的二次项系数是的二次项系数是_；一次项；一次项系数是系数是_；常数项是；常数项是_.8.把方程把方程x（4-5x）+1=2化为一般形式，如果二次项系化为一般形式，如果二次项系数为数为5，则一次项系数为，则一次项系数为_.9.关于关于x的一元二次方程（的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为的常数项为0，求，求m的值的值.解：由题意，得解：由题意，得m2+3m+2=0，且，且m+10.解得解得m=-2.-41-31考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念三、一元二次方程的解三、一元二次方程的解10.（2017广东）如果广东）如果2是方程是方程x2-3x+k=0的一个根，的一个根，则常数则常数k的值为（）的值为（）A.1B.2C.-1D.-211.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx=6的一个根为的一个根为x=2，则代数式则代数式4a+2b的值是（）的值是（）A.3B.6C.10D.12BB考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念12.（2017菏泽）关于菏泽）关于x的一元二次方程（的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是的一个根是0，则，则k的值是的值是_.13.已知关于已知关于x的一元二次方程（的一元二次方程（a+1）x2-x+a2-2a-2=0有一个根是有一个根是1，求，求a的值的值.解：将解：将x=1代入原方程，得（代入原方程，得（a+1）-1+a2-2a-2=0.解得解得a1=-1，a2=2.a+10，a-1.a=2.0考点考点1一元二次方程及其相关概念一元二次方程及其相关概念14.已知实数已知实数a是方程是方程x2+4x+1=0的根的根.（1）计算）计算2a2+8a+2 017的值；的值；（2）计算）计算1-a-的值的值.解：（解：（1）实数实数a是方程是方程x2+4x+1=0的根，的根，a2+4a+1=0.2a2+8a+2=0，即，即 2a2+8a=-2.2a2+8a+2 017=2 015.（2）1-a-=1-a2+4a+1=0，a2+1=-4a.1-a-=1-=5.考点考点2一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、直接开平方法一、直接开平方法1.方程（方程（x+2）2=1的根是的根是_.二、配方法二、配方法2.（2017泰安）一元二次方程泰安）一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为配方后化为（）（）A.（x-3）2=15B.（x-3）2=3C.（x+3）2=15D.（x+3）2=33.把把x2+6x+5=0化成（化成（x+m）2=k的形式为的形式为_.x1=-1，x2=-3（x+3）2=4A考点考点2一元二次方程的解一元二次方程的解4.用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1）x2-2x-4=0；（2）9y2-18y-4=0.解：（解：（1）移项，得）移项，得x2-2x=4.配方，得（配方，得（x-1）2=5.x=1.x1=1+，x2=1.（2）方程变形，得）方程变形，得y2-2y=配方，得配方，得y2-2y+1=,即（即（y-1）2=.开方，得开方，得y-1=.y1=1+,y2=1-.考点考点2一元二次方程的解一元二次方程的解三、公式法三、公式法5.用公式法解方程用公式法解方程x2-x=2时，求根公式中的时，求根公式中的a，b，c的的值分别是（）值分别是（）A.a=1，b=1，c=2B.a=1，b=-1，c=-2C.a=1，b=1，c=-2D.a=1，b=-1，c=2B考点考点2一元二次方程的解一元二次方程的解6.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）x2-3x-1=0；（2）x2+4x-2=0.解：（解：（1）a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=9+4=13.x=x1=，x2=（2）a=1,b=4,c=-2,b2-4ac=16+8=24.x=x1=-2+,x2=-2-.考点考点2一元二次方程的解一元二次方程的解四、因式分解法四、因式分解法7.方程方程x2-8x=0的根是（）的根是（）A.x1=x2=0B.x1=x2=8C.x1=0，x2=8D.x1=0，x2=-88.（2017德州）方程德州）方程3x（x-1）=2（x-1）的根为）的根为_.x1=1,x2=C考点考点2一元二次方程的解一元二次方程的解五、解法综合五、解法综合9.用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）2x（x-3）=x-3.解：（解：（1）（公式法）（公式法）a=1,b=-2,c=-8,b2-4ac=4+32=36.x=x1=4,x2=-2.（2）（因式分解法）（因式分解法）原方程变形为（原方程变形为（2x-1）（）（x-3）=0.由此可得（由此可得（2x-1）=0,或或x-3=0.解得解得x1=,x2=3.考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系一、一元二次方程根的判别式一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程一元二次方程3x2+4x-2=0的根的情况是（）的根的情况是（）A.有两个相等的实数根有两个相等的实数根B.只有一个实数根只有一个实数根C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D.没有实数根没有实数根C2.一元二次方程一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是（）的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根C.方程的根一定是正数方程的根一定是正数D.方程没有实数根方程没有实数根考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系D3.（2017锦州）关于锦州）关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+4kx-1=0根根的情况是（）的情况是（）A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.没有实数根没有实数根D.无法判断无法判断考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系A考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系4.若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程kx2-4x+1=0有实数根，则有实数根，则k的取值范围是（）的取值范围是（）A.k=4B.k4C.k4且且k0D.k45.（2017攀枝花）关于攀枝花）关于x的一元二次方程（的一元二次方程（m-1）x2-2x-1=0有两个实数根，则实数有两个实数根，则实数m的取值范围是（）的取值范围是（）A.m0B.m0C.m0且且m1D.m0且且m1CC6.（2017怀化）若怀化）若x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x2-2x-3=0的的两个根，则两个根，则x1x2的值是（）的值是（）A.2B.-2C.4D.-3考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系D二、根与系数的关系二、根与系数的关系7.（2017济南）关于济南）关于x的方程的方程x2+5x+m=0的一个根为的一个根为-2，则另一个根是（），则另一个根是（）A.-6B.-3C.3D.68.（2017呼和浩特）关于呼和浩特）关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则的两个实数根互为相反数，则a的值为的值为（）（）A.2B.0C.1D.2或或0考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系BB9.（2017江西）已知一元二次方程江西）已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两个的两个根为根为x1，x2，下列结论正确的是（），下列结论正确的是（）A.x1+x2=B.x1x2=1 C.x1，x2都是有理数都是有理数D.x1，x2都是正数都是正数考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系D考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系10.设设x1，x2是方程是方程2x2-6x+3=0的两个根，不解方程，的两个根，不解方程，求下列各式的值：求下列各式的值：（1）（）（x1-3）（）（x2-3）；（）；（2）解：解：x1，x2是方程是方程2x2-6x+3=0的两个根，的两个根，x1+x2=3，x1x2=（1）（）（x1-3）（）（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9=-9+9=（2）11.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+2=0.（1）若方程有实数根，求实数）若方程有实数根，求实数m的取值范围；的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为）若方程的两实数根分别为x1,x2，且满足，且满足=10，求实数，求实数m的值的值.考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系解：（解：（1）方程方程x2-2（m+1）x+m2+2=0有实数根，有实数根，=-2（m+1）2-4（m2+2）=8m-40.解得解得m考点考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的一元二次方程根的判别式及根与系数的关系关系（2）方程方程x2-2（m+1）x+m2+2=0的两实数根分别为的两实数根分别为x1,x2，x1+x2=2（m+1），），x1x2=m2+2.=（x1+x2）2-2x1x2=2（m+1）2-2（m2+2）=2m2+8m=10.解得解得m1=-5（不符题意，舍去），（不符题意，舍去），m2=1.实数实数m的值为的值为1.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程一、平均变化率问题一、平均变化率问题1.（2017宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的由原来的50元降到元降到32元，设该药品平均每次降价的百元，设该药品平均每次降价的百分率为分率为x，据题意可列方程为，据题意可列方程为_.2.（2017桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入年该市投入基础教育经费基础教育经费5 000万元，万元，2017年投入基础教育经费年投入基础教育经费7 200万元万元.50（1-x）2=32考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共购买电脑和实物投影仪共1 500台，调配给农村学校，台，调配给农村学校，若购买一台电脑需若购买一台电脑需3 500元，购买一台实物投影需元，购买一台实物投影需2 000元，则最多可购买电脑多少台？元，则最多可购买电脑多少台？考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程解：（解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为长率为x.根据题意根据题意,得得5 000（1+x）2=7 200.解得解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符题意，舍去）（不符题意，舍去）.答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（2）2018年投入基础教育经费为年投入基础教育经费为7 200（1+20%）=8 640（万元）（万元）.设购买电脑设购买电脑m台，则购买实物投影仪（台，则购买实物投影仪（1 500-m）台）台.根据题意根据题意,得得3 500m+2 000（1 500-m）86 400 0005%.解得解得m880.答：答：2018年最多可购买电脑年最多可购买电脑880台台.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程二、面积问题二、面积问题3.用用10 m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6 m2.若设它的一条边长为若设它的一条边长为x m，则根据题意可列出关，则根据题意可列出关于于x的方程为的方程为_.4.如图如图M21-1，用长为，用长为80 m的竹篱笆围一个面积为的竹篱笆围一个面积为750 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45 m），另），另三边用竹篱笆围成三边用竹篱笆围成.x（5-x）=6考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（1）求鸡场的长与宽各为多少米）求鸡场的长与宽各为多少米;（2）能否围成一个面积为）能否围成一个面积为900 m2的长方形养鸡场？如的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由果能，说明围法；如果不能，请说明理由.解：（解：（1）设垂直于墙的一边为）设垂直于墙的一边为x m，则另一边为（，则另一边为（80-2x）m.根据题意根据题意,得得x（80-2x）=750.整理整理,得得x2-40 x+375=0.解得解得x1=25，x2=15.由于墙长由于墙长45 m，而而80-215=5045，x2=15不合题意不合题意,舍去舍去.答：鸡场的长是答：鸡场的长是30 m，宽是，宽是25 m.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（2）设垂直于墙的一边长为）设垂直于墙的一边长为x m.依题意，得依题意，得x（80-2x）=900.整理整理,得得x2-40 x+450=0.b2-4ac=402-41450=-2000，此方程无解此方程无解.不能围成一个面积为不能围成一个面积为900 m2的长方形养鸡场的长方形养鸡场.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程三、利润问题三、利润问题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利利10元，每天可售出元，每天可售出500 kg.经市场调查发现，在进货经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少元，日销售量将减少20 kg.现该商场要保证每天赢利现该商场要保证每天赢利6 000元，设每千克应元，设每千克应涨价涨价x元，则可列方程为元，则可列方程为_.（10+x）（）（500-20 x）=6 000考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程6.（2017眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件，每件利润件利润10元元.调查表明：每生产提高一个档次的蛋糕产调查表明：每生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加品，该产品每件利润增加2元元.（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次元，则此批次蛋糕属第几档次产品；蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少一天产量会减少4件件.若生产的某档次产品一天的总利润若生产的某档次产品一天的总利润为为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程解：（解：（1）（）（14-10）2+1=3（档次）（档次）.答：此批次蛋糕属第三档次产品答：此批次蛋糕属第三档次产品.（2）设烘焙店生产的是第）设烘焙店生产的是第x档次的产品档次的产品.根据题意根据题意,得得10+2（x-1）（76+4-4x）=1 080.整理整理,得得x2-16x+55=0.解得解得x1=5，x2=11（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）.答：该烘焙店生产的是第五档次的产品答：该烘焙店生产的是第五档次的产品.考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程四、其他问题四、其他问题7.有有x支球队参加篮球比赛，共比赛了支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之场，每两队之间都比赛一场，则下列方程符合题意的是（）间都比赛一场，则下列方程符合题意的是（）A.x（x-1）=45B.x（x+1）=45C.x（x-1）=45D.x（x+1）=45A考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程8.某农机厂四月份生产零件某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产万个，第二季度共生产零件零件182万个万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么，那么x满足的方程是（）满足的方程是（）A.50（1+x）2=182B.50+50（1+x）+50（1+x）2=182C.50（1+2x）=182D.50+50（1+x）+50（1+2x）2=182B考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程9.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了有人统计一共握了36次手，设到会的人数为次手，设到会的人数为x人，则根人，则根据题意列方程为据题意列方程为_.10.如图如图M21-2，在长方形，在长方形ABCD中，中，AB=5 cm，BC=6 cm，点，点P从点从点A开始沿边开始沿边AB向终点向终点B以以1 cm/s的的速度移动，与此同时，点速度移动，与此同时，点Q从点从点B开始沿边开始沿边BC向终点向终点C以以2 cm/s的速度移动的速度移动.如果如果P，Q分别从分别从A，B同时出发，同时出发，当点当点Q运动到点运动到点C时，两点停止运动时，两点停止运动.设运动时间为设运动时间为t s.x（x-1）=362考点考点4实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（1）填空：）填空：BQ=_cm，PB=_cm（用含（用含t的代数式表示）；的代数式表示）；（2）当）当t为何值时，为何值时，PQ的长度等于的长度等于5 cm？（3）是否存在）是否存在t的值，使得五边形的值，使得五边形APQCD的面积等于的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说的值；若不存在，请说明理由明理由.2t（5-t）
