控制系统根轨迹法分析与设计.ppt
2023年5月20日1南京农业大学工学院南京农业大学工学院第三讲第三讲 控制系统根轨迹法控制系统根轨迹法 分析与设计分析与设计2023年5月20日2常用的基本命令rlocus(sys),r,k=rlocus(sys)rlocus(sys,k),r,k=rlocus(sys,k)r,k=rlocfind(sys)k,poles=rlocfind(sys,p)2023年5月20日3例3-1 自动焊接头控制 自动焊接头需要进行精确定位控制，其控制系统结构图如图3-1所示。图中，K1为放大器增益，K2为微分反馈增益。G(s)H1(s)+-+-K2sR(s)C(s)图3-1 自动焊接头控制系统例例3-1 自动焊接头控制自动焊接头控制2023年5月20日4本例设计要求为用根轨迹法选择参数K1与K2，使系统满足如下性能指标：系统对斜坡输入响应的稳态误差 斜坡幅值的35%；系统主导极点的阻尼比 0.707；系统阶跃响应的调节时间 3s(=2%)。要求用根轨迹法选择参数K1与K2,使系统满足性能指标2023年5月20日5解：由图3-1知，系统开环传递函数显然，该系统为型系统，在斜坡输入作用下，存在稳态误差。系统的误差信号：G(s)H1(s)+-+-K2sR(s)C(s)要求用根轨迹法选择参数K1与K2,使系统满足性能指标2023年5月20日6令R(s)=R/s2，则稳态误差：根据系统对稳态误差的性能指标要求，K1与K2的选取，应满足如下要求：上式表明，为了获得较小的稳态误差，应该选择小的K2值。要求系统对斜坡输入响应的稳态误差 斜坡幅值的35%2023年5月20日7根据系统对主导极点的阻尼比要求，系统的闭环极点应位于s平面上=0.707的45o斜线之间；再由对系统的调节时间的指标要求可知，主导极点实部的绝对值应满足：因此有1.5。于是，满足设计指标要求的闭环极点，应全部位于图3-2所示的扇形区域内。要求用根轨迹法选择参数K1与K2,使系统主导极点的阻尼比 0.707线图3-2 闭环极点的可行区域2023年5月20日8设待定参数=K1，=K1K2，则闭环特征方程为D(s)=s2+(2+K1K2)s+K1 =s2+2s+s+=0首先考虑参数=K1的选择。令=0，则变化时的根轨迹方程为：要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)2023年5月20日9事实上事实上,对于闭环特征方程：对于闭环特征方程：s2+2s+s+=0可作可作以下表达：以下表达：此时，若要研究此时，若要研究对闭环根轨迹的影响，首先要对闭环根轨迹的影响，首先要研究研究的特征根的分布，也即研究的特征根的分布，也即研究2023年5月20日10令从0到，其根轨迹如图3-3(a)所示。相应的matlab文本为:变化时的根轨迹方程为：要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)num=1;den=1 2 0;G=tf(num,den);rlocus(G)grid on;2023年5月20日11利用模值条件，在图3-3(a)中试取K1=20，其对应的闭环极点为-1j4.36。于是参数=20K2。3-3(a)为可变参数要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)r,k=rlocus(G,20)r=-1.0000+4.3589i -1.0000-4.3589i2023年5月20日12当两参数一起变化时,成为一簇根轨迹2023年5月20日13即 其次，考虑参数的选择。在闭环特征方程D(s)=0中，代入=20，则变化时的根轨迹方程为 D(s)=s2+2s+s+要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)2023年5月20日14要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)令从0变化到，其根轨迹图如图3-3(b)所示，2023年5月20日153-3(b)为可变参数要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)当取模值条件=4.3=20K2，即K2=0.215时，就得到了满足阻尼比=0.707的闭环主导极 点 ，其实部绝对值=3.15，由其决定的调节时间：分离点坐标d=-4.47。2023年5月20日16相应的稳态误差值因而K1=20，K2=0.215的设计值，满足全部设计指标要求。系统的单位阶跃响应和单位斜坡响应分别如图3-4和图3-5所示。要求系统对斜坡输入响应的稳态误差 斜坡幅值的35%2023年5月20日17要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)系统单位阶跃响应的Matlab文本：2023年5月20日18要求用根轨迹法选择参数K1与K2,阶跃响应的调节时间 3s(=2%)图3-4 系统的单位阶跃响应2023年5月20日19要求系统对斜坡输入响应的稳态误差 斜坡幅值的35%系统单位斜坡响应的Matlab文本：2023年5月20日20要求系统对斜坡输入响应的稳态误差 斜坡幅值的35%图3-6 系统的单位斜坡响应设计要求：设计要求：当当r(t)=Rt时，要求时，要求e =0.2R,其它要求不变。其它要求不变。ss2023年5月20日21Automobile velocity control designAutomated Highway System2023年5月20日22Automobile velocity control designGc(S)controllerAutomobile system+_+y(S)R(S)D(S)系统结构框图为系统结构框图为:Zero steady-state error to a step inputSteady-state error due to a ramp input less than 25%of the input magnitudePercent overshoot less than 5%to a step inputSettling time less than 1.5 seconds to a step input(using a 2%criterion to establish settling time)The design specifications are:2023年5月20日23DS1:Zero steady-state error to a step inputWe find that we need a type one system to guarantee a zero steady-state error to a step input DS2:Steady-state error due to a ramp input less than 25%of the input magnitudeTo meet DS2 we need to have:DS3:Percent overshoot less than 5%to a step inputAllow us to define a target damping ratio:Automobile velocity control design2023年5月20日24DS4:Settling time less than 1.5 seconds to a step input (using a 2%criterion to establish settling time)From the settling time specification,we have:Automobile velocity control design2023年5月20日25Consider a PI controller:The closed-loop transfer function is:Consider the stability of the system,we should producethe Routh sheet:Automobile velocity control design2023年5月20日26s00s1 10s21s3Automobile velocity control designSo we yield:2023年5月20日27The open-loop transfer function as follow:Automobile velocity control designFrom the open-loop transfer function,we find that this system has three poles and one zero,so there aretwo branches of the loci to go to infinity along two asymptotes at and centered at:2023年5月20日28If we have ,then the two branches of the loci will bend into the desired regions,that is,Automobile velocity control designor It follows from DS2 that:Therefore,the integral gain must satisfy:2023年5月20日29Now we have the following equations:Suppose we choose:Thus,the closed-loop characteristic equation is:Automobile velocity control design2023年5月20日30Automobile velocity control designThen,we can draw the locus as varies.2023年5月20日31Automobile velocity control designThe closed-loop transfer function is:2023年5月20日32Automobile velocity control design
