第2章-结构的几何构造分析.ppt

20 五月 2023第第2章章 结构的几何构造结构的几何构造分析分析几何不变体系：几何不变体系：体系在任意体系在任意荷载作用下，若忽略杆件本荷载作用下，若忽略杆件本身的材料变形，而能保持其身的材料变形，而能保持其几何形状和位置不变的体系。几何形状和位置不变的体系。几何可变体系：几何可变体系：体系在任意体系在任意荷载作用下，即使忽略杆件荷载作用下，即使忽略杆件本身的材料变形，也不能保本身的材料变形，也不能保持其几何形状和位置不变，持其几何形状和位置不变，而发生机械运动的体系。而发生机械运动的体系。1.1.所谓所谓忽略杆件本身的材料变形忽略杆件本身的材料变形，即把体系中各杆件视，即把体系中各杆件视为不会发生变形的为不会发生变形的刚体刚体。2.2.建筑结构必须是建筑结构必须是几何不变体系几何不变体系。注意：注意：图2.1（1 1）研究几何不变体系的）研究几何不变体系的组成规律组成规律，判断某一体系是否，判断某一体系是否几何不变几何不变，从而判定该体系是否可作为结构使用；，从而判定该体系是否可作为结构使用；（2 2）明确结构各部分在几何组成上的）明确结构各部分在几何组成上的相互关系相互关系，从而选，从而选择简便合理的择简便合理的计算顺序计算顺序；（3 3）判定结构是）判定结构是静定静定结构还是结构还是超静定超静定结构，以便选择正结构，以便选择正确的计算方法。确的计算方法。n2 2研究体系几何组成的目的研究体系几何组成的目的平面内平面内平面内平面内的刚体称为刚片。的刚体称为刚片。的刚体称为刚片。的刚体称为刚片。一根杆件、地基基础一根杆件、地基基础（即（即地球地球）或体系中已经肯定为或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。1.1.1.1.刚片刚片刚片刚片 注意：注意：由于刚片中任意两点的距离保持不变，故刚片可以由刚片内由于刚片中任意两点的距离保持不变，故刚片可以由刚片内 的一条的一条直线直线来代替。来代替。n二、相关概念二、相关概念2.2.2.2.自由度自由度自由度自由度确定物体在平面内的位置所需要的独立坐标数。确定物体在平面内的位置所需要的独立坐标数。xyOAxyW=2W=3（1 1）平面内一点平面内一点（2 2）平面内一刚片平面内一刚片xyOxyABn注意：注意：凡体系凡体系W0，则是可以发生运动的，都是几何可变体系。，则是可以发生运动的，都是几何可变体系。3.3.3.3.约束（联系）约束（联系）约束（联系）约束（联系）又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接又称联系，是体系中构件之间或构件与基础之间的联接装置，装置，装置，装置，限制了体系的某些方向的运动，限制了体系的某些方向的运动，是使体系自由度减少是使体系自由度减少是使体系自由度减少是使体系自由度减少的因素。的因素。的因素。的因素。减少一个自由度的装置，称为减少一个自由度的装置，称为一个约束。一个约束。(1)(1)(1)(1)链杆：链杆：链杆：链杆：两端用两端用铰铰与其它物体相连的杆件与其它物体相连的杆件，可以是直杆、可以是直杆、折杆、曲杆。折杆、曲杆。n约束的类型：链杆、铰结点、刚结点、支座约束约束的类型：链杆、铰结点、刚结点、支座约束图2.2 增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。W=3（x、y、）W=2（1、2）xyBAA21BxyOxyO(2)(2)(2)(2)单铰结点：单铰结点：单铰结点：单铰结点：连接两个刚片的铰结点。连接两个刚片的铰结点。一个链杆提供一个约束，故一个单铰相当于两根链杆。一个链杆提供一个约束，故一个单铰相当于两根链杆。增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。W=4（x、y、1、2）W=6Axy 1 2xyO(3)(3)(3)(3)复铰结点：复铰结点：复铰结点：复铰结点：连接两个刚片以上的铰结点。连接两个刚片以上的铰结点。连接连接3个刚片的复铰，相当于个刚片的复铰，相当于2 2个单铰的作用，提供个单铰的作用，提供4 4个约束个约束。W=9W=5（x、y、1、2、3）xyOAxy 1 2 3xyOAxy 1 2 3 4 连接连接4个刚片的复铰，相当于个刚片的复铰，相当于3 3个单铰的作用，提供个单铰的作用，提供6 6个约束个约束。W=12W=6（x、y、1、2、3、4）结论：结论：连接连接n个刚片的复铰，相当于（个刚片的复铰，相当于（n-1-1）个单铰的作用，）个单铰的作用，提供提供2 2（n-1-1）个约束）个约束。(4)(4)(4)(4)单刚结点单刚结点单刚结点单刚结点：连接两个刚片的刚结点。连接两个刚片的刚结点。W=6W=3一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。(5)(5)(5)(5)复刚结点：复刚结点：复刚结点：复刚结点：连接两个刚片以上的刚结点。连接两个刚片以上的刚结点。W=9W=3结论：结论：连接连接n个刚片的复刚结点，相当于（个刚片的复刚结点，相当于（n-1-1）个单刚结点的作用）个单刚结点的作用，提供提供3 3（n-1n-1）个约束。）个约束。勇于开始，才能找到成功的路(6)(6)(6)(6)支座约束：支座约束：支座约束：支座约束：(a)(a)(a)(a)可动铰支座可动铰支座 相当于相当于1 1个约束。个约束。(b)(b)(b)(b)固定固定固定固定铰支座铰支座 相当于相当于2 2个约束。个约束。(c)(c)(c)(c)固定支座固定支座 相当于相当于3 3个约束。个约束。(d)(d)(d)(d)定向支座定向支座 相当于相当于2 2个约束。个约束。构件与基础之间的联接装置。构件与基础之间的联接装置。构件与基础之间的联接装置。构件与基础之间的联接装置。4.4.4.4.必要约束与多余约束必要约束与多余约束必要约束与多余约束必要约束与多余约束(1)(1)(1)(1)必要约束：必要约束：能限制体系自由度的约束能限制体系自由度的约束能限制体系自由度的约束能限制体系自由度的约束，是是是是使体系自由度数减使体系自由度数减少为零所需的最少约束。少为零所需的最少约束。(2)(2)(2)(2)多余约束：多余约束：对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体对限制体系自由度不起作用的约束，即不能使体系自由度减少的约束系自由度减少的约束系自由度减少的约束系自由度减少的约束。5.5.实铰与虚铰实铰与虚铰(瞬铰）瞬铰）n(2)(2)虚铰：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。n 虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，n 或延长线交于一点。或延长线交于一点。n(1)(1)实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。实铰：由两根链杆相交于一点构成的铰成为实铰。A定轴转动定轴转动O绕瞬心转动绕瞬心转动瞬铰瞬铰实铰实铰联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰。联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰。能形成虚铰的是链杆能形成虚铰的是链杆()1 2 3 4 2，3n注意注意：无论是实铰还是虚铰，都是单铰，都提供：无论是实铰还是虚铰，都是单铰，都提供2 2个约束。个约束。虚铰的虚铰的特点特点：如下图（：如下图（a a）所示刚片）所示刚片不动，刚片不动，刚片以以点点C C为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过一为瞬时转动中心进行转动，只有一个自由度。经过一微小位移后，两杆延长线的交点微小位移后，两杆延长线的交点C C的位置也发生了改变，的位置也发生了改变，C C点起到一个铰的作用。点起到一个铰的作用。n无穷远虚无穷远虚铰铰6.6.瞬变体系瞬变体系n注意注意：.瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足 n 规则的体系，是特殊的几何可变体系规则的体系，是特殊的几何可变体系,往往往往具有多余约束具有多余约束。n .瞬变体系是严禁作为结构使用的。瞬变体系是严禁作为结构使用的。n(1)(1)概念概念：原本是几何可变，：原本是几何可变，在微小荷载作用下发生瞬间在微小荷载作用下发生瞬间的微小刚体位移后成为几何的微小刚体位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。不变的体系称为瞬变体系。n(2)(2)静力特性静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。P图图(a)(a)是有一个多余约束的几何不变体系是有一个多余约束的几何不变体系图图(b)(b)是瞬变体系是瞬变体系2.2 平面杆件体系的基本组成规律平面杆件体系的基本组成规律铰结三角形规律铰结三角形规律n1.1.规律一：规律一：一个点与一个刚片之间用两根一个点与一个刚片之间用两根不在同一条直线上不在同一条直线上n 的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。n2.2.推论：推论：二元体规则二元体规则n(1)(1)二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结二元体：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点点n 的装置，如的装置，如图图2.3(a)2.3(a)所示。所示。n(2)(2)二元体规律：在一已知体系中依次二元体规律：在一已知体系中依次增加增加或或拆除拆除二元体，二元体，n 不改变原体系的几何性质。不改变原体系的几何性质。n注意：注意：利用二元体规则可以简化体系，使构造分析更简单。利用二元体规则可以简化体系，使构造分析更简单。n一、一点一刚片一、一点一刚片图2.3二、两刚片规律二、两刚片规律n1.1.规律二：规律二：两个刚片用一个两个刚片用一个单铰单铰和杆轴不过该铰铰心的和杆轴不过该铰铰心的n 一根一根链杆链杆相连，组成无多余约束的几何不变相连，组成无多余约束的几何不变n 体系。如体系。如图图2.3(b2.3(b)所示。所示。n2.2.推论：推论：两个刚片用两个刚片用不全交于一点不全交于一点也也不全平行不全平行的三根链的三根链n 杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如 n 图图2.4(a)2.4(a)所示。所示。图2.4图图(d)(d)是几何常变体系是几何常变体系图图(b)(c)(b)(c)是几何瞬变体系是几何瞬变体系图图(a)(a)是无多余约束的几何不变体系是无多余约束的几何不变体系三、三刚片规律三、三刚片规律n注意：注意：以上三个规律可互相变换。之所以用三种不同的以上三个规律可互相变换。之所以用三种不同的表表n 达方式，是为了在具体的构造分析中灵活运用。达方式，是为了在具体的构造分析中灵活运用。n1.1.规律三：规律三：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰(可可n 以是虚铰以是虚铰)两两相连，组成无多余约束的几两两相连，组成无多余约束的几n 何不变体系。如何不变体系。如图图2.3(c2.3(c)所示。所示。n2.2.铰接三角形规律：铰接三角形规律：平面内一个铰接三角形是无多余约束平面内一个铰接三角形是无多余约束n 的几何不变体系。的几何不变体系。B（b）AC（a）ABCB（c）AC（d）BAAB（e）Cn三角形规律：三角形规律：三个规则之间的相互变三个规则之间的相互变换换四、分析举例四、分析举例n1.1.分析的一般要领分析的一般要领：先将能直接观察出的几何不变部分先将能直接观察出的几何不变部分当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，当作刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系的组成，揭示出分析的重点，便于运用组成规则考察这些刚片间的揭示出分析的重点，便于运用组成规则考察这些刚片间的联结情况，作出结论。联结情况，作出结论。n3.3.常用的分析途径：常用的分析途径：n(1)(1)当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上的二元n 体，再对余下的部分进行分析。如体，再对余下的部分进行分析。如图图2.52.5所示体系。所示体系。n2.2.分析步骤：分析步骤：选择刚片选择刚片确定约束确定约束运用规则运用规则得出结论得出结论图2.5(2)(2)当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按当体系的基础以上部分与基础间以三根支承链杆按 规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只对上部体规则二相联结时，可先拆除这些支杆，只对上部体 系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成系本身进行分析，所得结果即代表整个体系的组成 性质。如性质。如图图2.62.6所示体系。所示体系。n(3)(3)凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状如凡是只以两个铰与外界相连的刚片，不论其形状如n 何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰何，从几何组成分析的角度看，都可看作为通过铰心心n 的链杆。如的链杆。如图图2.72.7所示体系。所示体系。图2.6 图2.7【例【例2.12.1】试对试对图图2.82.8所示体系进行几何组成分析。所示体系进行几何组成分析。图2.8 n【解】【解】ABAB杆与基础之间用铰杆与基础之间用铰A A和链杆和链杆1 1相连，组成几何不变相连，组成几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将体系，可看作一扩大了的刚片。将BCBC杆看作链杆，则杆看作链杆，则CDCD杆用杆用不交于一点的三根链杆不交于一点的三根链杆BCBC、2 2、3 3和扩大刚片相连，组成无多和扩大刚片相连，组成无多余约束的几何不变体系。余约束的几何不变体系。【例【例2.22.2】试对试对图图2.92.9所示体系进行几何组成分析。所示体系进行几何组成分析。n【解】【解】体系中折杆体系中折杆DHGDHG和和FKGFKG可分别看作链杆可分别看作链杆DGDG、FGFG（图中虚线所示），（图中虚线所示），依次去掉二元体（依次去掉二元体（DGDG、FGFG）、（）、（EFEF、CFCF），对余下部分，将折杆），对余下部分，将折杆ADEADE、杆杆BEBE和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰和基础分别看作刚片，它们通过不共线的三个铰A A、E E、B B两两相连，两两相连，故为无多余约束的几何不变体系。故为无多余约束的几何不变体系。【例【例2.32.3】试对试对图图2.102.10所示体系进行几何组成分析。所示体系进行几何组成分析。n【解】【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不体系基础以上部分与基础用三根不交于一点且不完全平行的链杆完全平行的链杆1 1、2 2、3 3相连，符合两刚片规则，只分析上相连，符合两刚片规则，只分析上部体系。将部体系。将ABAB看作刚片看作刚片，用链杆，用链杆ACAC、ECEC固定固定C C，链杆，链杆BDBD、FDFD固定固定D D，则链杆，则链杆CDCD是多余约束，故此体系是有一多余约束是多余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体系。在本例中链杆的几何不变体系。在本例中链杆ACAC、ECEC、CDCD、FDFD及及BDBD其中其中之一均可视为多余约束。之一均可视为多余约束。【例【例2.42.4】分析分析图图2.112.11所示体系的几何构造。所示体系的几何构造。n【解】【解】（1 1）分析图分析图(a)(a)中的体系中的体系n首先，三角形首先，三角形ADEADE和和AFGAFG是两个无多余约束的几何不变是两个无多余约束的几何不变体系，分别以体系，分别以和和表示。表示。与地基与地基间的链杆间的链杆1 1、2 2相当相当于瞬铰于瞬铰B B，与地基与地基间的链杆间的链杆3 3、4 4相当于铰相当于铰C C。如。如A A、B B、C C三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。n（2 2）分析图（分析图（b)b)中的体系中的体系n先把折杆先把折杆ACAC和和BDBD用虚线表示的链杆用虚线表示的链杆2 2与与3 3来替换，于来替换，于是是T T形刚片形刚片CDECDE由三个链杆由三个链杆1 1、2 2、3 3与基础相连。如三链杆延与基础相连。如三链杆延长交与一点，则体系是瞬变的。长交与一点，则体系是瞬变的。（1 1）当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与构）当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与构成该无穷远虚铰的链杆方向不平行，则体系几何不变；若平成该无穷远虚铰的链杆方向不平行，则体系几何不变；若平行，体系瞬变。行，体系瞬变。（2 2）当有两个无穷远虚铰时，若构成两个无穷远虚铰的）当有两个无穷远虚铰时，若构成两个无穷远虚铰的链杆方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。链杆方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。（3 3）当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变。）当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变。注意：注意：三个刚片的三个单铰中有无穷远虚铰的情况三个刚片的三个单铰中有无穷远虚铰的情况 三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论。当三个单容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论。当三个单铰中铰中有或者全部为无穷远虚铰有或者全部为无穷远虚铰时，可由分析得出以下结论：时，可由分析得出以下结论：图（图（a a）为无多余约束的几何）为无多余约束的几何不变体系；不变体系；图（图（b b）为几何瞬变体系；）为几何瞬变体系；图（图（c c）为几何瞬变体系。）为几何瞬变体系。【例【例2.52.5】对下列图示体系作几何组成分析。对下列图示体系作几何组成分析。几何瞬变体系几何瞬变体系几何瞬变体系几何瞬变体系无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系几何瞬变体系几何瞬变体系【例【例2.6】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。ABCDE瞬变体系瞬变体系ABCDE无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系ABCD无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系无多余约束几何不变体系无多余约束几何不变体系【例【例2.72.7】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。【例【例2.8】试对图示体系作几何组成分析。试对图示体系作几何组成分析。几何可变体系几何可变体系（少一个约束的常变体系）（少一个约束的常变体系）无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系ABCDFEn（a）图图n（b）图图【例【例2.9】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。ABCDFEGH 无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系ABCDFEGABCDFEG 无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系n（a）图图n（b）图图【例【例2.10】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。BCDAE无多余约束的无多余约束的几何不变体系几何不变体系BCDAE无多余约束的无多余约束的几何不变体系几何不变体系BCDAE有一个多余约束的有一个多余约束的几何不变体系几何不变体系【例【例2.11】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。ABC1324DE 无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系O12O23O13【例【例2.12】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系ABDEnFnCBFDnEnAnC 抛开基础，分析上部，去掉抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根二元体后，剩下两个刚片用两根链杆相连。故：该体系为链杆相连。故：该体系为有一个有一个自由度（少一个约束）的几何可自由度（少一个约束）的几何可变体系。变体系。【例【例2.13】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。【例【例2.14】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。(2,3)(1,2)(1,3)三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系【例【例2.15】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。有一个多余约束的几何不变体系有一个多余约束的几何不变体系【例【例2.16】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。【例【例2.17】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)瞬变体系瞬变体系有一个多余约束的有一个多余约束的几何不变体系几何不变体系【例【例2.18】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。无多余约束的无多余约束的几何不变体系几何不变体系【例【例2.19】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。结论：结论：铰铰O O2 2、O O3 3的连线与杆的连线与杆1 1、2 2平行，因此体系是平行，因此体系是瞬变瞬变体系体系。结论：结论：杆杆1 1、2 2与杆与杆3 3、4 4不平行不平行,因此该体系是因此该体系是无多余约无多余约束的几何不变体系束的几何不变体系。120134025603123456一组一组平行平行两组两组平行平行【例【例2.20】分析图示体系的几何组成。分析图示体系的几何组成。结论：结论：杆杆1 1、杆、杆2 2、杆、杆3 3不交与不交与一点，因此该体系是一点，因此该体系是无无多余约束的不变体系。多余约束的不变体系。结论：结论：杆杆1 1、杆、杆2 2、杆、杆3 3不交于不交于 一点，该体系是一点，该体系是无多余无多余约束的几何不变体系。约束的几何不变体系。123123 结论：结论：两刚片由两刚片由3 3根不交于一点的根不交于一点的链杆连接，因此该体系是链杆连接，因此该体系是无无多余约束的几何不变体系。多余约束的几何不变体系。结论：结论：由于三个铰不在一条线上，由于三个铰不在一条线上，该体系是该体系是无多余约束的几何无多余约束的几何不变体系不变体系。二元体二元体123O1O2O3五、注意的问题五、注意的问题n1 1恰当灵活地确定体系中的恰当灵活地确定体系中的刚片刚片和和约束约束n 体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系均可视为刚片。但若刚片只用两个体系均可视为刚片。但若刚片只用两个铰铰与体系的其它部与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根链杆的作用。链杆的作用。n2 2如果上部体系与大地的连接符合两刚片的规则，则可如果上部体系与大地的连接符合两刚片的规则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系。去掉与大地的约束，只分析上部体系。n3 3通过依次从通过依次从外部拆除外部拆除二元体或从二元体或从内部内部（基础、基本三（基础、基本三角形）角形）增加增加二元体的方法，简化体系后再作分析。二元体的方法，简化体系后再作分析。n4 4杆件和约束杆件和约束不能重复不能重复利用。利用。W=3m-(3g+2j+r)一、平面一般体系计算自由度的表达式一、平面一般体系计算自由度的表达式平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度W:刚片数刚片数m支座链杆数支座链杆数r自由度数自由度数3m单刚结点数单刚结点数g 约束数约束数3g单铰结点数单铰结点数j 约束数约束数2j约束数约束数rn2.3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度注意：注意：支座链杆数是把所有的支座约束全部支座链杆数是把所有的支座约束全部转化转化为链杆约束所得到的。为链杆约束所得到的。W=2j-(m+r)二、链杆体系计算自由度的表达式二、链杆体系计算自由度的表达式铰结点个数铰结点个数j链杆数链杆数m 自由度数自由度数2j约束数约束数m支座链杆数支座链杆数r约束数约束数r链杆体系的计算自由度链杆体系的计算自由度W:例例1.1.求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。(a a)(b b)图图(a)(a)中：中：m=1=1，r=3=3，W=3=3m-(3-(3g+2+2j+r)=31-3=0 )=31-3=0 体系自由度为体系自由度为0 0。图图(b)(b)中：中：m=1=1，r=3=3，W=3=3m-(3-(3g+2+2j+r)=31-3=0 )=31-3=0 从计算结果看，体系计算自由度为从计算结果看，体系计算自由度为0 0。但是，从图中可以。但是，从图中可以看出，体系在水平方向没有约束力，有看出，体系在水平方向没有约束力，有1 1个运动自由度。个运动自由度。勇于开始，才能找到成功的路例例2.2.求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。n解：解：m=3，j=2，r=4，W=3m-(3g+2j+r)=33-22-4=10 n 体系自由度大于体系自由度大于0 0，是几何可变的。是几何可变的。例例3.3.计算图示体系的计算自由度。计算图示体系的计算自由度。(a a)(b b)(c c)(d d)图图(a)(a)中：中：W=2=2j-(-(m+r)=26-8-3=1)=26-8-3=10 0，体系有体系有1 1个自由度，体系几何可变。个自由度，体系几何可变。图图(b)(b)中：中：W=2=2j-(-(m+r)=26-9-3=0)=26-9-3=0，体系自由度为体系自由度为0 0，体系几何不变。，体系几何不变。图图(c)(c)中：中：W=2=2j-(-(m+r)=26-9-3=0)=26-9-3=0，体系计算自由体系计算自由度为度为0 0，但从图中可以看出，体系下部分有，但从图中可以看出，体系下部分有1 1个多余约束，个多余约束，上部分缺少上部分缺少1 1个必要约束，体系几何可变。个必要约束，体系几何可变。图图(d)(d)中：中：W=2=2j-(-(m+r)=26-9-4=-1)=26-9-4=-10 0，体系存在体系存在多余约束，从图中可以看出，体系下部分有多余约束，从图中可以看出，体系下部分有2 2个多余约个多余约束，上部分缺少束，上部分缺少1 1个必要约束，体系仍为几何可变。个必要约束，体系仍为几何可变。体系不与基础相连，则支座约束体系不与基础相连，则支座约束 r=0，体系对基础，体系对基础有有3 3个自由度，仅研究体系本身的内部计算自由度（可变个自由度，仅研究体系本身的内部计算自由度（可变度）度）V，可得体系自由度的计算公式为：，可得体系自由度的计算公式为：三、体系不与基础相连时的自由度计算公式三、体系不与基础相连时的自由度计算公式W=V+3V=W-3=3m-(3g+2j+r)-3勇于开始，才能找到成功的路例例4.4.求图示不与基础相连体系的计算自由度。求图示不与基础相连体系的计算自由度。n解：由于体系不与基础相连接，相对于地基有解：由于体系不与基础相连接，相对于地基有3 3个自由个自由n 度，故体系的内部计算自由度度，故体系的内部计算自由度n公式公式（1）V=W-3=3m-2j-3=37293=0n公式公式（2）V=W-3=2j m-3=27113=0