数学建模(动态模型).ppt

动态模型动态模型描述对象特征随时间（空间）的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分方程建模微分方程建模根据函数及其变化率之间的关系，确定根据函数及其变化率之间的关系，确定函数本身函数本身根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程传染病模型传染病模型问题问题描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型分析方法建立模型模型模型1（SI模型）模型）模型假设：模型假设：健康人和病人在健康人和病人在时刻时刻t t这两类人在总人数这两类人在总人数中所占的比例分别记作和中所占的比例分别记作和 s(t)和和i(t).每个病人每天有效接触（足以使人致病）每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为人数为 ，称日接触率。称日接触率。模型建立模型建立 (1)(2)若记初始时刻（若记初始时刻（t=0)病人的比例为病人的比例为 ，则，则 模型求解模型求解解得：解得：(3)模型分析模型分析但但必须修改模型。必须修改模型。模型模型2传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（可再次被感染（SISSIS模型）模型）模型假设模型假设1)1)、2)2)条与模型条与模型1 1相同，增加的条件为相同，增加的条件为3 3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为）病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为日称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。模型建立模型建立(4)(5)模型模型求解求解(5)的解为的解为（6）模型分析模型分析定义定义 ，是一个传染期内每个是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接病人有效接触的平均人数，称为接触数。易知，当触数。易知，当 时，时，（7）模型模型3传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出者（者（SIRSIR模型）。模型）。模型假设：模型假设：1 1）人数人数N N不变，健康人、病人和移出者比例分别为不变，健康人、病人和移出者比例分别为 2 2）模型建立：模型建立：和和病人的日接触率为病人的日接触率为，日治愈率为，日治愈率为，传染期接触，传染期接触数为数为（8）（9）方程（方程（9 9）无法求出）无法求出 和和 的解析解，在相平面的解析解，在相平面 上研究解的性质。上研究解的性质。相轨线的定义域为相轨线的定义域为在方程（在方程（9 9）中消去）中消去 dt dt并注意到并注意到 的定的定义义，可得，可得 （10）（11）容易求得（容易求得（1111）的解为）的解为（1212）即为相轨线。）即为相轨线。模型分析模型分析 在在D D内作相内作相轨线轨线 的的图图形，形，（12）相轨线及其分析相轨线及其分析故故 是阈值。是阈值。从而得预防传染病蔓延的手段从而得预防传染病蔓延的手段：习题：习题：在在SIRSIR模型中，证明：模型中，证明：(1)(1)若若 ，则，则 先增加，在先增加，在 处达处达到最大，然后减小并趋于到最大，然后减小并趋于0 0；单调减单调减少至少至 .(2)(2)若若 ，则，则 单调单调减少并减少并趋趋于于0 0，单调减少至单调减少至 .