高三数学竞赛专题——三角形中的两类不等式问题.docx

三角形中的两类不等式问题探究三角形中的余弦值与不等式结合有较好的结构特点，本文列举了两类问题，都是余弦值相乘的放大型问题，并提出了一个问题猜想。证明这类问题首先是化为边长之间的比较，再齐次化不等式，展开不等式为正项和的形式，证明即可。 问题1 在中，证明：. 证明 根据3元均值不等式，欲证原不等式，只要证明，不等式两边同时乘以，化简得，.（这是一个齐7次不等式）不妨设则上述不等式显然成立，故.同理可证：（1）在中，证明：.证明：根据3元均值不等式，欲证原不等式，只要证明，不等式两边同时乘以，化简得，.不妨设则上述不等式显然成立，故.（2）在中，证明：.证明：观察该不等式的结构知证明与（1）类似.问题2：在中，证明：. 证明：由知只要证明 .（这是一个齐5次不等式）不妨设则上述不等式显然成立，故.类似的，有如下不等式：在中，证明：.).我们提出一个猜想不等式，证明或者否定如下不等式：在中，证明：5