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电容器与电场的能量第1页，本讲稿共56页 例例 一无限大各向同性均匀介质平板，厚度为一无限大各向同性均匀介质平板，厚度为 d，相对介电常相对介电常数为数为 r，内部均匀分布体电荷密度为内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷。的自由电荷。求：介质板内、外的求：介质板内、外的 、。解：解：带电体有面对称，故带电体有面对称，故 S以以 x=0 处的面为对称，过场点作正柱形高处的面为对称，过场点作正柱形高斯面斯面 S，设底面积为设底面积为 S0S0=0=2DS0垂直于平板。垂直于平板。第2页，本讲稿共56页均匀场均匀场=0SS0第3页，本讲稿共56页B在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面：(A)高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。(B)高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。(C)由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。(D)即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。电介质q第4页，本讲稿共56页例例 带电金属球带电金属球(R，q)，浸在油中，浸在油中(r)，求球外的场强及，求球外的场强及金属球表面处油面上的束缚电荷金属球表面处油面上的束缚电荷 q。解：在介质内作高斯面解：在介质内作高斯面 S 由对称性由对称性(q 与与 q反号反号)+RrSq另一种另一种解法见下解法见下页页第5页，本讲稿共56页qqRr解：利用 的高斯定理高斯面例 一个带正电的金属球，半径为 R，电量为 q，浸在油中，油的相对介电常数为 r，求球外的电场分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷 q。可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空时的 倍。第6页，本讲稿共56页B一一导导体体球球外外充充满满相相对对介介电电常常数数为为 r 的的均均匀匀电电介介质质，若若测测得得导导体体表表面面附附近近场场强强为为 E，则则导导体体球球面面上上的的自自由由电电荷荷面面密密度度 为为 (A)0 E(B)0 r E(C)r E(D)(0 r-0)E C在在空空气气平平行行板板电电容容器器中中，平平行行地地插插上上一一块块各各向向同同性性均均匀匀电电介介质质板板，如如图图所所示示。当当电电容容器器充充电电后后，若若忽忽略略边边缘缘效效应应，则则电电介质中的场强介质中的场强 与空气中的场强与空气中的场强 相比较，应有相比较，应有(A)EE0，两者方向相同。两者方向相同。(B)EE0，两者方向相同。，两者方向相同。(C)EE0，两者方向相同。两者方向相同。(D)EE0，两者方向相反。，两者方向相反。第7页，本讲稿共56页例例 两平行放置的金属板间原为真空，分别带等量异号电荷两平行放置的金属板间原为真空，分别带等量异号电荷+s s0、-s s0，板间电压为，板间电压为 U0，保持板上电荷不变，将板间一半空间充，保持板上电荷不变，将板间一半空间充入介质入介质(r)，求：板间电压。，求：板间电压。解：作高斯面解：作高斯面=0=0DSd+s s0-s s0+s s1+s s2S+-+第9页，本讲稿共56页+s0+DSd-s0+s1+s2S-第10页，本讲稿共56页 例例 导体球导体球(Q)置于均匀各向同性介质中，如图示置于均匀各向同性介质中，如图示求：求：场的分布。场的分布。解：解：S1)1)作高斯面作高斯面 S由对称性由对称性R0R1R2r R0 导体内部导体内部E1=0P1=0R0 r R1，r1 内内第11页，本讲稿共56页R1 r R2P4=0第12页，本讲稿共56页 8.4.1 孤立导体的电容孤立导体的电容电容只与几何因素和介质有关电容只与几何因素和介质有关 固有的容电本领固有的容电本领3.单位单位:1.孤立导体的电势孤立导体的电势2.定义定义8.4 电容器、电容电容器、电容(Capacitors and Capacitance)法拉()微法()皮法()1 F=10-6F 1pF=10-12F 第13页，本讲稿共56页欲得到欲得到1F的电容，孤立导体球的半径的电容，孤立导体球的半径R为多少？为多少？例例求真空中孤立导体球的电容。求真空中孤立导体球的电容。设球带电为设球带电为Q解：解：导体球电势导体球电势导体球电容导体球电容介质几何由孤立导体球电容公式知由孤立导体球电容公式知R问题第14页，本讲稿共56页腔内导体的表面与壳的内表面的形状及相对位置8.4.2 电容器的电容电容器的电容1.电容器电容器：2.电容：电容：由由静静电电屏屏蔽蔽可可知知：导导体体壳壳内内部部的的场场只只由由腔腔内内的的电电量量Q和几何条件及介质决定和几何条件及介质决定(相当于孤立相当于孤立)内表面-QQ电介质由两块用电介质隔开的金属极板构成。它们彼此靠得很近，使两板间电场不受外部带电体的影响。电介质既起绝缘作用又起增大电容的作用。第15页，本讲稿共56页典型的电容器典型的电容器平行板平行板d球形球形柱形柱形3.电容器电容的计算电容器电容的计算设设Q电容的计算电容的计算R1R2R1R2U第16页，本讲稿共56页(1)平行板电容器平行板电容器(忽略边缘效应忽略边缘效应)+-dSS第17页，本讲稿共56页(2)圆柱形电容器圆柱形电容器设外筒内表面和内筒外表面分别带电设外筒内表面和内筒外表面分别带电-Q和和+Q，忽略边缘效应。，忽略边缘效应。R1R2第18页，本讲稿共56页(3)球形电容器球形电容器令OR1孤立导体球的电容孤立导体球的电容OR1R2第19页，本讲稿共56页串联：串联：C1C2各电容器所带电量相等，各电容器所带电量相等，总电压为各电容器电压之和总电压为各电容器电压之和并联：并联：C1C2各电容器电压相等，各电容器电压相等，总电量总电量 Q 为各电容器电量为各电容器电量之和之和UQ-Q-QQ8.4.3电容器的连接电容器的连接一、电容器的串、并联一、电容器的串、并联第20页，本讲稿共56页二、二、电容器的两个主要指标：电容器的两个主要指标：电容、耐压能力电容、耐压能力 电介质的击穿电介质的击穿在强电场作用下，电介质分子中的正负电荷变成可以自由移动在强电场作用下，电介质分子中的正负电荷变成可以自由移动的电荷，电介质变为导体。的电荷，电介质变为导体。击穿场强击穿场强：电介质材料所能承受的不被击穿的最大场强。：电介质材料所能承受的不被击穿的最大场强。也叫也叫介电强度介电强度。电容器是一种常用的电工和电子学元件。电容器是一种常用的电工和电子学元件。如：如：在交流电路中电流和电压的控制；在交流电路中电流和电压的控制；发射机中振荡电流产生；发射机中振荡电流产生；接收机中的调谐；接收机中的调谐；整流电路中的滤波等等。整流电路中的滤波等等。三、三、电容器的应用电容器的应用并并联联时时总总电电容容增增大大，但但电电容容器器组组的的耐耐压压能能力力取取决决于于耐耐压压能力最低的电容；能力最低的电容；串联时总电容减小，但电容器组的耐压能力提高了。串联时总电容减小，但电容器组的耐压能力提高了。第21页，本讲稿共56页 例例(习题习题8-178-17)求平行板电容器的电容。求平行板电容器的电容。解：解：1.设设 QQs-Q-s2.求求 E两极板间：两极板间：D=s s133.求求 U4.求求 CABSrldDS右底右底=s s S右底右底2第22页，本讲稿共56页讨论1.两极板间介质充满两极板间介质充满 l=d2.介质为空气介质为空气3.C 可视厚度为可视厚度为(d-l)的空气平行板电容器和厚度的空气平行板电容器和厚度为为 l 的介质平行板电容器的串联的介质平行板电容器的串联 第23页，本讲稿共56页若把电介质板换成金属板，在缝内若把电介质板换成金属板，在缝内在金属板内在金属板内两板电势差两板电势差电电介介质质板板换换成成金金属属板板后后，电电容容增增大大了了，但但为为了绝缘，仍需放电介质。了绝缘，仍需放电介质。ldSS第24页，本讲稿共56页讨论dSrr1r2 S d1d2极板电介质x思考第25页，本讲稿共56页(2)圆柱形电容器设外筒内表面和内筒外表面分别带电设外筒内表面和内筒外表面分别带电 Q 和和+Q，忽略边缘效应。，忽略边缘效应。R1R2第26页，本讲稿共56页例例 圆柱形电容器。半径为圆柱形电容器。半径为 R1、R2，长为，长为 l 的圆筒形导体的圆筒形导体(l R1、R2)，其间充有半径为，其间充有半径为 a、b、长为、长为 l 的同轴的同轴圆柱形电介质圆柱形电介质()，求：，求：C。123+Q-Q解：设解：设 Q，R1R2ab123由 的高斯定理：第27页，本讲稿共56页讨论(1)充满介质充满介质 a=R1，b=R2(2)空气空气(3)C 相当于三个电容的串联相当于三个电容的串联第28页，本讲稿共56页例 神经细胞可以传递电信号。如图所示神经细胞由带树突的细胞体和轴突组成，它连接着人大脚趾的压力感觉细胞和脊髓中的神经，信号由树突进入细胞体，再从轴突传递出去。这种神经细胞的轴突像一个由薄膜构成的细长管子，半径为 5 mm，长度为 1 m，膜的厚度为 8.0 nm，膜的相对介电常数为 7。已知轴突膜内外侧具有 90 mV 电势差。求：轴突膜内外侧所带电荷电量是多少？第29页，本讲稿共56页轴突树突细胞体解解：膜的厚度与轴突半径相比非常小，所以膜的任一小部：膜的厚度与轴突半径相比非常小，所以膜的任一小部分都可看成平面，因此可以把轴突等效成平行板电容器。分都可看成平面，因此可以把轴突等效成平行板电容器。利用柱形电容器及利用柱形电容器及 的高斯定理计算答案相同。的高斯定理计算答案相同。第30页，本讲稿共56页电容法在非电量电测法中的应用电容法在非电量电测法中的应用 电容法测液面高度电容法测液面高度 在在被被测测液液体体介介质质中中放放入入两两个个同同轴轴圆圆筒筒形形极极板板。大大圆圆筒筒内内半半径径为为 R，小小圆圆筒筒外外半半径径为为 r，圆圆筒筒的的高高度度为为 H，该该圆圆柱柱形形电电容容器器的的电电容容量量随随筒筒内内液液面面高高度度 h 的的变变化化而而改改变变。试试写写出出电电容容量量 C 与与液面高度液面高度 h 的关系式。的关系式。0hH2R2rr第31页，本讲稿共56页(3)球形电容器令OR1孤立导体球的电容OR1R2第32页，本讲稿共56页球形电容器R1abR2(1)充满介质充满介质 a=R1，b=R2(2)充满空气充满空气=rC0讨论第33页，本讲稿共56页解解：(1)由高斯定理由高斯定理例 半径为 R1 的金属球电量为 q，外面同心地放置一内外半径分别为 R3 和 R4 的金属球壳，它本身带电为 Q。两者之间有一层内外半径分别为R2 和 R3 的电介质，相对介电常数为 r。求：(1)内球电势；(2)内外球电势差；(3)把外球壳接地，求该电容器电容。R1R2R3R4第34页，本讲稿共56页内球电势：内球电势：R1R2R3R4第35页，本讲稿共56页(2)(3)外球接地，外球内表面带电外球接地，外球内表面带电-qR1R2R3R4第36页，本讲稿共56页例例 计算两根无限长平行导线间单位长度的电容。导线计算两根无限长平行导线间单位长度的电容。导线半径为半径为 a，两导线轴间距为，两导线轴间距为 d，且，且 d a。+l l -l la d-a xxO解解：设无限长导线各带线电荷密：设无限长导线各带线电荷密度为度为 l l 的电荷，取坐标如图。的电荷，取坐标如图。由叠加原理求出导线间由叠加原理求出导线间 x 点场强点场强所以单位长度电容所以单位长度电容第37页，本讲稿共56页例例 铜球的一半浸在相对介电常数为铜球的一半浸在相对介电常数为 r 的油中，球上带电的油中，球上带电 q，问上下半球各带电多少？，问上下半球各带电多少？铜球q油r空气R解解：上半球是空气中孤立导体，：上半球是空气中孤立导体，其电容其电容 C1=2p p 0R，下半球是油中孤立导体，其电容下半球是油中孤立导体，其电容 C2=2p p 0 rR，铜球本身是等势体，有铜球本身是等势体，有 U1=U2=U，因此可看成两个电容器并联因此可看成两个电容器并联 C=C1+C2，所以，所以第38页，本讲稿共56页例例 铜球的一半浸在相对介电常数为铜球的一半浸在相对介电常数为 r 的油中，球上带电的油中，球上带电 q，问上下半球各带电多少？，问上下半球各带电多少？(另解另解)铜球q油r空气解：在铜球外紧贴球面取同心高斯球面 S，通过 S 的 的通量利用 的高斯定律得由于铜球上下为等势体，故由对称性分析知 E1=E2，即得在表面小柱体上利用高斯定律在表面小柱体上利用高斯定律 D1S=s s1S，得，得 D1=s s1所以同理DS第39页，本讲稿共56页K+-ab电源C8.5.1 电容器的能量电容器的能量(Energy Stored in Capacitors)电容器可以储存能量电容器可以储存能量设电容器的电压为设电容器的电压为 U，带电量为，带电量为 Q，具有的能量为，具有的能量为 W-dqW 为放电过程中电场力所作的功为放电过程中电场力所作的功 A电容器具有的能量8.5 静电场的能量(Electric field energy)第40页，本讲稿共56页CQ?能量的载体是谁能量的载体是谁电能是定域在电场中的！电能是定域在电场中的！8.5.2 静电场的能量、能量密度静电场的能量、能量密度以平行板电容器为例：以平行板电容器为例：单位体积内的电能单位体积内的电能普遍普遍 电能密度电能密度各项同性各项同性第41页，本讲稿共56页电场的能量 We例例 导体球导体球(R、Q)的电场能。的电场能。第42页，本讲稿共56页例 真空中的均匀带电的球体，半径为 R，电荷的体密度为 r，用电场的能量公式求此体系的静电能。解：解：利用高斯定理，可得利用高斯定理，可得R第43页，本讲稿共56页核裂变能的估算核裂变能的估算 已知铀核带电量为已知铀核带电量为 92 e，可以近似地认为它均匀分布在一，可以近似地认为它均匀分布在一个半径为个半径为 7.4 10-15m 的球体内。的球体内。(1)试求出试求出铀核的静电势能。铀核的静电势能。(2)当当铀核对称裂变后，产生两个相同的钯核，各带电铀核对称裂变后，产生两个相同的钯核，各带电 46 e，总体积和原来一样。设这两个钯核也可以看成球体，当它们分总体积和原来一样。设这两个钯核也可以看成球体，当它们分离很远时，它们的总静电势能又是多少？这一裂变释放出的静离很远时，它们的总静电势能又是多少？这一裂变释放出的静电能是多少？电能是多少？(裂变时释放的裂变时释放的“核能核能”基本上就是静电能。基本上就是静电能。)(3)每个每个铀核都这样对称裂变计算，铀核都这样对称裂变计算，1 kg 铀裂变后释放出的静铀裂变后释放出的静电能是多少？电能是多少？解：解：(1)(2)(3)第44页，本讲稿共56页解解：两极面间的电场大小为：两极面间的电场大小为：在电场中取体积元：在电场中取体积元：则在则在 dV 中的电场能量为：中的电场能量为：例 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为 R1 和R2，两极面间充满相对介电常数为 r 的电介质。求此电容器带有电量 Q 时所储存的电能。R1R2第46页，本讲稿共56页与前面计算与前面计算结果同结果同R1R2第47页，本讲稿共56页例例 两个同心金属球壳，内球壳半径为两个同心金属球壳，内球壳半径为 R1，外球壳半径为，外球壳半径为 R2，中间充满相对介电常数为中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个球形电的均匀介质，构成一个球形电容器。容器。(1)求该电容器的电容；求该电容器的电容；(2)设内外球壳上分别带有设内外球壳上分别带有电荷电荷+Q 和和-Q，求电容器储存的能量。，求电容器储存的能量。解解：(1)已知内球壳上带正电荷已知内球壳上带正电荷 Q，则，则 两球壳中间的场强大小为两球壳中间的场强大小为：两球壳间电势差两球壳间电势差 电容电容(2)电场能量电场能量：OR1R2第48页，本讲稿共56页例例 求空气中平行板电容器两板间相互作用力。求空气中平行板电容器两板间相互作用力。解解：设极板电荷面密度为：设极板电荷面密度为 s s，极板面积为，极板面积为 S，两板间，两板间距离为距离为 d。把两板间的距离由。把两板间的距离由 d 缓慢拉大到缓慢拉大到 d+D Dd，外力所做的功为：，外力所做的功为：根据功能原理，外力所做的功等于电容器储存电能的根据功能原理，外力所做的功等于电容器储存电能的增量：增量：第49页，本讲稿共56页外力等于两极板间的吸引力，所以两极板间相互作用力外力等于两极板间的吸引力，所以两极板间相互作用力为：为：既不是既不是 ，也不是，也不是 。第50页，本讲稿共56页例例(习题p61：8-29)平行板电容器平行板电容器 S，d，充电至带电，充电至带电 Q 后与电后与电源断开，然后用外力缓慢地把两极板间距离拉开到源断开，然后用外力缓慢地把两极板间距离拉开到 2d。求：。求：(1)电容器能量的改变；电容器能量的改变；(2)外力所做的功。外力所做的功。解解：极板拉开过程中电量：极板拉开过程中电量 Q 不变。不变。(1)极板间距为极板间距为 d 时，时，极板间距为极板间距为 2d 时，时，电容器能量增量电容器能量增量增加增加(2)电容器极板吸力电容器极板吸力拉开过程中吸力为恒力，外力也为恒力，做正功拉开过程中吸力为恒力，外力也为恒力，做正功能量守恒能量守恒第51页，本讲稿共56页练习题1.一均匀带电长直导线，电荷线密度为 l，则通过如图所示球面的电位移通量为 ，电场强度通量为 。3.A、B 为两块无限大均匀带电平行薄平板，两板间和两板的左右两侧充满相对介电常数为 er 的各向同性均匀电介质。已知两板间的场强大小为 E0，两板外的场强均为 E0/3，方向如图所示，则 A、B 两板所带电荷面密度分别为 sA=，sB=。lR2.如图所示，在边长为 a 的正方形平面的中垂线上、距中心 O 点 a/2 处，有一电量为+q 的点电荷。如取平面的正法线方向 如图所示，则通过该平面的电场强度通量 FE=，电位移通量为 FD=。qa/2OABE0E0/3E0/3第52页，本讲稿共56页4.半径为半径为 R1 和和 R2 的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为常数为 r 的均匀介质，设两筒上单位长度的带电量分别为的均匀介质，设两筒上单位长度的带电量分别为+l l 和和 l l。则介质中的电位移矢量的大小。则介质中的电位移矢量的大小 D=，电场，电场强度的大小强度的大小 E=。5.如图所示，如图所示，半径为半径为 R0 的导体的导体 A，带电，带电 Q，球外套一内外半径，球外套一内外半径 为为 R1 和和 R2的同心球壳的同心球壳 B，设，设 r1、r2、r3、r4 分别代表分别代表图中图中，区域内任一点至球心区域内任一点至球心 O 的距离，则的距离，则 (1)若球壳为导体时，各点若球壳为导体时，各点电位移矢量的大小分别为电位移矢量的大小分别为 D1=；D2=；D3=；D4=；(2)若球壳为介质壳，若球壳为介质壳，相对介电常数为相对介电常数为 r，各点各点电场强度的大小分别为电场强度的大小分别为 E1=；E2=；E3=；E4=；此时以无穷远点为电势零点，此时以无穷远点为电势零点，则则 A 球的电势为球的电势为 U=。ABR0R1R2OQ第53页，本讲稿共56页例(习题8.30)平行板电容器 S，d。(1)充电后保持电量 Q 不变，将厚为 b 的金属板平行插入，电容器储能变化多少？(2)导体板进入时，外力(非电力)对它做功多少？是被吸入还是需要推入？(3)如果充电后保持电压 U 不变，则(1)(2)两问结果如何？解：(1)电容器的电容由 C0 变为 C，储能增量为(2)W外=DWe 0，外力做负功，电场力做正功，因而导体板被吸入，这是边缘电场对插入导体板上的感应电荷作用的结果。第54页，本讲稿共56页(3)电压电压 U 保持不变，则电容器电量就要改变，其增保持不变，则电容器电量就要改变，其增量为量为 D DQ=CU C0U=(C C0)U，此电量是由电源供，此电量是由电源供给的，随同的能量供给为给的，随同的能量供给为 WS=D DQU=(C C0)U 2，电容器储存的能量增量为电容器储存的能量增量为根据能量守恒得到外力做功第55页，本讲稿共56页 作业：第8章：11，12，13，14 18，19，20，24 第56页，本讲稿共56页