理论力学9-刚体的平面运动.ppt

此处有动画播放在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。此处有影片播放此处有影片播放9.1 刚体平面运动概述和运动分解MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动。A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。这就是平面图形的运动方程。SMOyxO9.1 刚体平面运动概述和运动分解j平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段OM的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点O的位置和线段OM与固定坐标轴Ox间的夹角j即可。点O的坐标和j角都是时间的函数，即平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点O的运动方程xO=f1(t),yO=f2(t)的平移，没有转动；另一部分是绕O点转角为j=f3(t)的转动。9.1 刚体平面运动概述和运动分解平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O为原点取动参考系Oxy，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子作平面运动时，可在轮心O处固连一个平动参考系Oxy，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。yxOyxO9.1 刚体平面运动概述和运动分解对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O，称为基点。在这一点假想地安上一个平移参考系Oxy；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和张基点转动这两部分运动的合成。yxOyxOOM 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。1.基点法已知O点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度。9.2 求平面图形内各点速度的基点法wvMvOvMOvO例1 椭 圆 规 机 构 如 图。已 知 连 杆AB 的 长 度l=20 cm，滑 块A的 速 度vA=10 cm/s，求 连 杆 与 水 平 方 向 夹 角 为30 时，滑 块B和连杆中点M 的速度。解:AB 作 平 面 运 动，以A 为 基 点，分析B 点的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。AvAvAvB vBABwAB30M30以A 为基点，则M 点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAvMABwAB30MvMxya例2 行 星 轮 系 机 构 如 图。大 齿 轮I 固 定，半 径 为r1；行 星 齿 轮II 沿轮I 只 滚 而 不 滑 动，半 径 为r2。系 杆OA 角 速 度 为wO。求 轮II 的 角 速度wII及其上B，C 两点的速度。解:行 星 齿 轮II 作 平 面 运 动，求 得A 点的速度为vAwOODACBvAvDAwIIIII以A 为 基 点，分 析 两 轮 接 触 点D 的速度。由 于 齿 轮I 固 定 不 动，接 触 点D 不滑 动，显 然vD0，因 而 有vDAvAwO(r1+r2)，方 向 与vA相 反，vDA为点D 相 对 基 点A 的 速 度，应 有vDA wIIDA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A 为基点，分析点B 的速度。vBA与vA垂直且相等，点B 的速度以A 为基点，分析点C 的速度。vCA与vA方向一致且相等，点C 的速度 同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此vBAAB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:9.2 求平面图形内各点速度的基点法ABwvBvAvBAvA例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法wS设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C(由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有如果取AC vA/w，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA图 形 内 各 点 速 度 的 大 小 与 该 点 到 速 度 瞬 心 的 距 离成 正 比。速 度 的 方 向 垂 直 于 该 点 到 速 度 瞬 心 的 连 线，指向图形转动的一方。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法vC(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法wABwOCvAABvB(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法wOvA ABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。确定瞬心的一般方法：例4 用速度瞬心法解例1。解：AB 作平面运动AvAvBB30CvMwM瞬心在C 点例 5 已 知 轮 子 在 地 面 上 作 纯 滚 动，轮 心 的 速 度 为v，半 径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很 显 然 速 度 瞬 心 在 轮 子 与 地面的接触点即A1各 点 的 速 度 方 向 分 别 为 各点 与A 点 连 线 的 垂 线 方 向，转 向与w 相 同，由 此 可 见 车 轮 顶 点 的速 度 最 快，最 下 面 点 的 速 度 为零。O459090 O1 OBAD例6 已 知 四 连 杆 机 构 中O1B l，AB 3l/2，AD DB，OA 以w 绕O 轴转动。求：(1)AB 杆的角速度；(2)B 和D 点的速度。w 解：AB 作 平 面 运 动，OA 和O1B都 作 定 轴 转 动，C 点 是AB 杆 作 平面运动的速度瞬心。vAvBvDCwAB例7 直 杆AB 与 圆 柱O 相 切 于D 点，杆 的A 端 以 匀 速 向 前 滑动，圆 柱 半 径，圆 柱 与 地面、圆 柱 与 直 杆 之 间 均 无 滑 动，如图，求 时圆柱的角速度。解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为。AB 圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则即亦即故例8 图 示 机 构，已 知 曲 柄OA 的 角 速 度 为w，OA AB BO1O1Cr，角a=b=60，求滑块C 的速度。解：AB 和BC 作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB 作平面运动，瞬心在C1点，则例9 曲 柄 肘 杆 式 压 床 如 图。已 知 曲 柄OA 长r 以 匀 角 速 度w 转 动，AB=BC=BD=l，当 曲 柄 与 水 平 线 成30 角 时，连 杆AB 处 于 水 平 位 置，而 肘 杆DB 与 铅 垂 线也成30 角。试求图示位置时，杆AB、BC 的角速度以及冲头C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC连杆BC 作平面运动，瞬心在C2点，则例10 曲 柄 连 杆 机 构 中，在 连 杆AB 上 固 连 一 块 三 角 板ABD，如 图 所示。机 构 由 曲 柄O1A 带 动。已 知 曲 柄 的 角 速 度 为w 2rad/s，曲 柄O1A=0.1m，水 平 距 离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A O1O2时，AB O1O2，且AD 与AO1在 同 一 直 线 上，j=30。试 求 三 角 板ABD的角速度和点D 的速度。解、运 动 分 析：O1A 和O2B 作 定 轴 转 动；ABD 作平面运动，其速度瞬心在点C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB例11 图 示 蒸 汽 机 传 动 机 构 中，已 知：活 塞 的 速 度 为v，O1A1=a1,O2A2=a2,CB1=b1,CB2=b2;齿 轮 半 径 分 别 为r1和r2；且 有a1b2r2a2b1r1。当 杆EC 水 平，杆B1B2铅直，A1，A2和O1，O2都在一条铅直线上时，求齿轮O1的角速度。vA1vA2w1w2解：设 齿 轮O1转 动 方 向 为 逆 时 针，则 齿 轮O2的 转 动 方 向 为 顺 时 针。因A1，A2和O1，O2在一条铅直线上，所以A1，A2点的速度均为水平方向，如图所示。因B1B2作 平 面 运 动，vCB1B2，由 速 度 投 影 定 理 知vB1，vB1也 应 垂 直 于B1B2而沿水平方向。A1B1作 平 面 运 动，vA1和vB1都 沿 水 平 方向，所 以A1B1作 瞬 时 平 动，同 理A2B2也 作 瞬时平动，所以vB1vB2vCvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2杆的速度分布如图所示，速度瞬心在O 点。设OC 长度为x，则Ow因齿轮O1，O2相互啮合，w1r1w2r2，所以当a1b2r2a2b1r1时，齿 轮O1的 角速度为逆时针方向。例12 图 示 放 大 机 构 中，杆I 和II 分 别 以 速 度v1和v2沿 箭 头 方 向 运 动，其 位 移 分 别 以x 和y 表 示。如 杆II 与 杆III 平 行，其 间 距 离 为a，求 杆III 的速度和滑道的角速度。IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III 杆 作 平 动，IV 杆 作 平 面 运 动。滑 块B 和 滑 块C 与 滑道 之 间 有 相 对 运 动，如 果 取 滑 道IV 作 为 动 参 考 体 分 析 滑 块B 和 滑块C 的运动，则牵连运动均为平面运动。ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1ahIIIIIIIVBCyv1axAv2B 点 的 运 动 分 析：取 滑 块B 为 动 点，滑道 作 为 动 参 考 体，绝 对 运 动 是 滑 块B 随I 杆的运动，速度为va1=v1；相 对 运 动 是 滑 块B 在 杆 滑 道 中 的 运 动，速度为vr1；牵 连 运 动 是 杆 的 平 面 运 动，其 速 度 可用 基 点 法 分 析 得 到：取A 为 基 点，分 析 杆上B 点 的 速 度，随 基 点 平 动 的 速 度 是 杆 的运 动 速 度v2，相 对 于 基 点 转 动 的 速 度 方 向 垂直 于 杆，大 小 未 知，由 这 两 个 速 度 合 成 得到 杆 上B 点 的 速 度vB，此 速 度 即 是 前 面 复合运动中的牵连速度ve1，如图所示。vB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVah向h 方向投影得:ACvC(ve2)vAvAvCAva2vr2aIIIIIIBCyv1axAv2C 点 运 动 分 析：取 滑 块C 为 动 点，滑 道 作 为动 参 考 体，绝 对 运 动 是 滑 块C 随 杆 的 运 动，速 度为va2vIII,大小待求；相 对 运 动 是 滑 块C 在 杆 滑 道 中 的 运 动，速度为vr2；牵 连 运 动 是 杆 的 平 面 运 动，其 速 度 可 用 基点 法 分 析 得 到：取A 为 基 点，分 析 杆 上C 点 的 速度，随 基 点 平 动 的 速 度 是 杆 的 运 动 速 度v2，相对 于 基 点 转 动 的 速 度vCA方 向 垂 直 于 杆，大 小 为vCA=wAC，由 这 两 个 速 度 合 成 得 到 杆 上C 点的 速 度vC，此 速 度 即 是 前 面 复 合 运 动 中 的 牵 连 速度ve2，如图所示。hvC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2Ca向h 方向投影得:因为所以h