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第2章 控制系统的数学模型第1页，本讲稿共76页第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述物理模型物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。合理的物理模型。数学模型数学模型物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。数学建模数学建模从实际系统中抽象出系统数学模型的过从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。程。第2页，本讲稿共76页建立物理系统数学模型的方法机理分析法机理分析法 对系统各部分的运动机理进对系统各部分的运动机理进行分析，按行分析，按 照它们遵循的物理规律、化照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。建立起系统的数学模型。实验辩识法实验辩识法 对系统施加某种测试信号对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。算系统的传递函数。第3页，本讲稿共76页机理分析法建立系统数学模型的步骤机理分析法建立系统数学模型的步骤确定系统的输入量、输出量；确定系统的输入量、输出量；根据物理定律列写原始方程；根据物理定律列写原始方程；消去中间变量，写出表示系统输入、输消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。出关系的线性常微分方程。第4页，本讲稿共76页机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-1:2-1:图图2-1为为RC四端无源网络。试列写以四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。解：解：设回路电流设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列，根据克希霍夫定律，列写方程组如下写方程组如下U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络(1)(2)(3)(4)(5)第5页，本讲稿共76页机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例由由(4)、(5)得得由由(2)导出导出将将i1、i2代入代入(1)、(3)，则得，则得U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络第6页，本讲稿共76页 这就是这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例第7页，本讲稿共76页机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例例2-2 图图2-6 所示为电枢控制直所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电流电动机的微分方程，要求取电枢电压枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动）为输入量，电动机转速机转速 m（t）（）（rad/s）为输出量，列）为输出量，列写微分方程。图中写微分方程。图中Ra()、La(H)分分别是电枢电路的电阻和电感，别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。负载转矩。激磁磁通为常值。图图2 2-6 6 电电 枢枢 控控 制制 直直 流流 电电 动动 机机 原原 理理 图图SM负负载载-LaRaEamJmf mUaifia第8页，本讲稿共76页机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例解：列写电枢电路平衡方程解：列写电枢电路平衡方程图图2 2-6 6 电电枢枢控控制制直直流流电电动动机机原原理理图图SM负负载载-LaRaEamJmfmUaifiaEa电枢反电势，其表达式为电枢反电势，其表达式为Ea=Cem（t）Ce反电势系数（反电势系数（v/rad/s）第9页，本讲稿共76页由由、求出求出ia(t)ia(t)，代入，代入，同时，同时亦代入亦代入，得，得第10页，本讲稿共76页 在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽较小，通常忽略不计，故略不计，故可简化为可简化为其中 电动机机电时间常数（电动机机电时间常数（s）如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为第11页，本讲稿共76页电动机的转速电动机的转速 与电枢电压与电枢电压 成正比，于成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。是电动机可作为测速发电机使用。第12页，本讲稿共76页第二节线性系统的输入第二节线性系统的输入输出传递函数描述输出传递函数描述一、传递函数一、传递函数定义：线性定常系统的传递函数，定义为零定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当的拉氏变换之比。零初使条件是指当t0时时,系统系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。以及它们的各阶导数均为零。线性系统微分方程的一般形式为线性系统微分方程的一般形式为第13页，本讲稿共76页当初始条件均为当初始条件均为0时时,对上式两边求拉氏变换，得系统的对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数传递函数的根，也即线性微分方程的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。特征方程的特征值。零点零点传递函数分子传递函数分子s多项式多项式传递函数传递函数G(S)是复变函数，是是复变函数，是S的有理函数。且有的有理函数。且有mn。极点极点传递函数分母传递函数分母s多项式多项式的根。的根。第14页，本讲稿共76页传函是由微分方程传函是由微分方程在初始条件为零时在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。进行拉氏变换得到的。如果已知系统的传递函数和输入信号如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零时输则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应对其求拉氏反变换可得到系统的响应 c(t)，称，称为系统的零状态响应。为系统的零状态响应。系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。则由系统的结构与参数决定。传递函数的分母多项式即为微分方程的传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为特征多项式，为1+开环传递函开环传递函数。数。同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项特征多项式式唯一。唯一。在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分包括两部分 系统响应系统响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应在输入为零时，系统对零初始状态的响应；在输入为零时，系统对零初始状态的响应；零状态响应零状态响应在零初始条件下，系统对输入的响应。在零初始条件下，系统对输入的响应。第15页，本讲稿共76页传递函数的几点性质传递函数的几点性质传递函数传递函数G(s)(s)是复变量是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mn，且所有系数均为实数。，且所有系数均为实数。传递函数传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。无关。传递函数传递函数G(s)描述了系统输出与输入之间描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。似系统。第16页，本讲稿共76页传递函数的几点性质传递函数的几点性质如果系统的传递函数未知，给系统加上如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。函数。系统传递函数是系统单位脉冲响应系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的的拉氏变换拉氏变换LLg(t)。第17页，本讲稿共76页例例23 求例求例21系统的传递函数。系统的传递函数。已知其输入输出微分方程已知其输入输出微分方程U1 R1R2U2C1C2图图2-1 2-1 RC组成的四端网络组成的四端网络设初始状态为零，对设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，方程两边求拉氏变换，得得第18页，本讲稿共76页此即为RC四端网络的传递函数。第19页，本讲稿共76页第三节第三节 非线性数学模型的小范围线性化非线性数学模型的小范围线性化 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性非线性。对于非本质非线性数学模型数学模型，可，可采用采用小范围线性化方法。小范围线性化方法。设一非线性数学模设一非线性数学模型如图所示。型如图所示。第20页，本讲稿共76页 设函函数数y=f（x）在在（x0，y0）点点附附近近连续可可微微(此此即即为非非线性性系系统数数学学模模型型线线性性化化的的条条件件）,则则可可将将函函数数f（x）在在（x0，y0）附附近近展展开开成成泰泰勒勒级数级数第21页，本讲稿共76页式中式中 比例系数比例系数,是随工作点是随工作点A（x0，y0)不同不同而不同的常数而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。似。求线性化微分方程的步骤求线性化微分方程的步骤按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。值。找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。性化处理。将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。出它的系数值。消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。差量来表示。第22页，本讲稿共76页注意：注意：（1 1）线性化方程中的常数与选择的）线性化方程中的常数与选择的静态工作点静态工作点的位置有的位置有关关,工作点不同时工作点不同时,相应的常数也不相同。相应的常数也不相同。（2 2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。只有当输入量变化较小时才能使用。（3 3）若非线性特性不满足）若非线性特性不满足连续可微的条件连续可微的条件,则不能采用前则不能采用前述处理方法述处理方法.（4 4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。第23页，本讲稿共76页 由微分方程直接得出的传递函数是由微分方程直接得出的传递函数是复变量复变量s的有理分式。的有理分式。对于实际对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的阶次不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶，分母多项式阶次为次为n的传递函数称为的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为阶传递函数，相应的系统称为n阶系统阶系统 。传递函数可表示成复变量传递函数可表示成复变量s的有理分式的有理分式:传递函数可表示成传递函数可表示成零、极点零、极点表示：表示：第四节第四节 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 第24页，本讲稿共76页系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有 个零值极点个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则则传递函数的后两种表示的一般形式为传递函数的后两种表示的一般形式为：可可见，系，系统传递函数是由一些常函数是由一些常见基本因子基本因子,如式如式上上中的中的(js+1)、1/(Tis+1)等等组成。即系成。即系统传递函数表示函数表示为上上式式时，系，系统传递函数是函数是这些些常常见基本因子的乘基本因子的乘积。这些常些常见基本因子代表的基本因子代表的环节称称为典型典型环节。任何复。任何复杂的系的系统都可以用若干典型都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子构成。具有相同基本因子传递函数的元件，函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。律。第25页，本讲稿共76页从从传递函数的表示式中可以看到，函数的表示式中可以看到，传递函数的基函数的基本因子本因子对应的典型的典型环节有比例有比例环节、积分分环节、微分、微分环节、惯性性环节、振、振荡环节和延和延迟环节等。等。l l比例环节比例环节 比比例例环节又又称称为放放大大环节，其其输出出量量与与输入入量量之之间的的关关系系为固固定定的的比比例例关关系系，即即它它的的输出出量量能能够无无失失真真、无无延延迟地地按按一一定的比例关系复定的比例关系复现输入量。入量。时域中的代数方程域中的代数方程为c(t)=Kr(t)t 0 式中式中K为比例系数或比例系数或传递系数，有系数，有时也称也称为放大系数放大系数 所以所以比例比例环节的的传递函数函数为：L-变换变换 C(S)=KR(S)完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。例环节是一种理想化的方法。第26页，本讲稿共76页2 2惯性环节惯性环节 惯性性环节又又称称为非非周周期期环节，其其输入入量量和和输出出量量之之间的的关关系系可可用下列微分方程来描述用下列微分方程来描述：式中式中 K比例系数比例系数。T惯性性环节的的时间常数常数，衡量输出量跟随输入量，衡量输出量跟随输入量 的变化的变化 L-变换变换 TSC(S)+C(S)=KR(S)传递函数传递函数 G(S)=C(s)/R(s)=第27页，本讲稿共76页3 3积分环节积分环节输出量与出量与输入量的入量的积分成比例，系数分成比例，系数为K。积分分环节的的传递函数函数为：积分分环节的的动态方程方程为：积分分环节具有一个零具有一个零值极点，即极点位于极点，即极点位于S平面上的坐平面上的坐标原点原点处。T称称为积分分时间常数。从常数。从传递函数表达式易求得在函数表达式易求得在单位位阶跃输入入时的的输出出为：C（t）=Kt 上式上式说明，只要有一个恒定的明，只要有一个恒定的输入量作用于入量作用于积分分环节，其，其输出量出量就与就与时间成比例地无限增加。成比例地无限增加。第28页，本讲稿共76页4 4振荡环节振荡环节 振振荡环节的微分方程是的微分方程是：相相应的的传递函数函数为：式中式中 T时间常数；常数；阻尼系数（阻尼比），且阻尼系数（阻尼比），且0 1。振振荡环节的的传递函数具有一函数具有一对共共轭复复数极点数极点,在复平面在复平面S上的位置上的位置见图2-8所示所示,传递函数可改写函数可改写为：n=1/T无阻尼自然振无阻尼自然振荡频率。共率。共轭复数极点复数极点为：第29页，本讲稿共76页5微分环节微分环节 微分是积分的逆运算微分是积分的逆运算,按传递函数的不同按传递函数的不同,微分环节可分为三种：微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为分环节。相应的微分方程为：相相应的的传递函数函数为：第30页，本讲稿共76页6 6延迟环节延迟环节 延延迟环节又称又称为纯滞后滞后环节、时滞滞环节。其。其输出信号出信号比比输入信号入信号迟后一定的后一定的时间。就是。就是说，延，延迟环节的的输出出是一个延是一个延迟时间 后，完全复后，完全复现输入入 信号，即信号，即 式中式中 纯延延迟时间。单位位阶跃输入入时，延，延迟环节的的输出出响响应如如右右图示示 根据拉氏根据拉氏变换的延的延迟定理，定理，可得延可得延迟环节的的传递函数函数为：第31页，本讲稿共76页典型环节数学模型注意三点：典型环节数学模型注意三点：（1）系统的典型环节是按数学模型的共性去建立）系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。（2）分析或设计控制系统必先建立系统或被控对象的）分析或设计控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。将有助于系统动态特性的其由什么样的典型环节组成。将有助于系统动态特性的研究和分析。研究和分析。（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。数学模型描述的系统。第32页，本讲稿共76页 框框图图与与信信号号流流图图方方法法是是自自动动控控制制系系统统的的两两种种图图形形研研究究方方法法，是是分分析析系统的有力工具。系统的有力工具。一框图的基本概念一框图的基本概念 控制系统的方框图又称为方块图或结构图，是系统各元件特性、控制系统的方框图又称为方块图或结构图，是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。系统结构和信号流向的图解表示法。它它用用一一个个方方框框表表示示系系统统或或环环节节，如如上上图图所所示示。框框图图的的一一端端为为输输入入信信号号r(t)，另另一一端端 是是 经经 过过 系系统统或或环环节节后后的的输输出出信信号号c（t），图图中中箭箭头头指指向向表表示示信信号号传传递递的的方方向向。方方框框中中用用文文字字表表示示系系统统或或环环节节，也也可可以以填填入入表表示示环环节节或或系系统统输输出出和和输输入入信信号号的的拉拉氏氏变变换换之之比比-传传递递函函数数，这这是是更更为为常常用用的框图。的框图。第五节第五节 框图及其化简方法框图及其化简方法第33页，本讲稿共76页六六种典型种典型环节的框的框图如如下：下：第34页，本讲稿共76页（1）方块（）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间表示输入到输出单向传输间 的函的函数关系。数关系。G(s)R(s)C(s)图图2-122-12 方块图中的方块方块图中的方块信号线信号线方块方块r(t)c(t)二二 框图元素框图元素第35页，本讲稿共76页（2）比较点（合成点、综合点）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写。号可省略不写。+11+22+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sR11-2+32-3注意：进行相加减注意：进行相加减的量，必须具有相的量，必须具有相同的量纲。同的量纲。图 2-13 第36页，本讲稿共76页(3)分支点（引出点、测量点）分支点（引出点、测量点）Branch Point表示信号测量或引出的位置表示信号测量或引出的位置（4）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。直线旁标记信号的时间函数或象函数。第37页，本讲稿共76页前向通路传递函数前向通路传递函数假设假设N(s)=0,打开反馈后，输出打开反馈后，输出C(s)与与R(s)之比。之比。等价于等价于C(s)与误差与误差E(s)之比之比 反馈回路传递函数反馈回路传递函数 假设假设N(s)=0，主反馈信号主反馈信号B(s)与输出信号与输出信号C(s)之比。之比。+H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打打开开反反馈馈)(1sG)(2sGC(s)图图2-15 反馈控制系统框图反馈控制系统框图三三 几个基本概念及术语几个基本概念及术语第38页，本讲稿共76页开环传递函数开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设假设N(s)=0，主反馈信号主反馈信号B(s)与误差信号与误差信号E(s)之比。之比。从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。第39页，本讲稿共76页闭环传递函数闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设假设N(s)=0=0，输输出信号出信号C(s)与输入信号与输入信号R(s)之比。之比。推导：因为 右边移过来整理得 即*第40页，本讲稿共76页误差传递函数误差传递函数 假设假设N(s)=0，误差信号误差信号E(s)与输入信号与输入信号R(s)之比之比 。代入上式，消去代入上式，消去G(s)即得：即得：将将*第41页，本讲稿共76页-N(s)C(s)H(s)(2sG)(1sG图2-16 输出对扰动的结构利用公式*，直接可得：输出对扰动的传递函数输出对扰动的传递函数 假设假设R(s)=0)=0*+H(s)-R(s)E(s)B(s)N(s)打打开开反反馈馈)(1sGC(s)+G2（s）第42页，本讲稿共76页误差对扰动的传递函数误差对扰动的传递函数 假设假设R(s)=0 H(s)N(s)E(s)(1sG)(2sG-1图2-17 误差对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：*第43页，本讲稿共76页 线性系统满足叠加原理，当控制输入线性系统满足叠加原理，当控制输入（）与扰动）与扰动()同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消产生的误差可抵消R(s)产生的误差。产生的误差。第44页，本讲稿共76页（1 1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。或传递函数，并将它们用方框表示。（2 2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的框图。连接起来，便可得到系统的框图。系统框图也是系统数学模型的一种表示。系统框图也是系统数学模型的一种表示。四框图的绘制第45页，本讲稿共76页RCi（a）iuou图2-18 一阶RC网络 解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得得对其进行拉氏变换得对其进行拉氏变换得 例：画出下列例：画出下列RC电路的方块图。电路的方块图。第46页，本讲稿共76页 将图（将图（b b）和）和(c)(c)组合起来即得到图组合起来即得到图(d)(d)，图，图(d)(d)为该一为该一阶阶RCRC网络的框图。网络的框图。（b）I(s)(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图 2-19（d）I(s)(sUo)(sUo)(sUi图 2-201/R1/SC-第47页，本讲稿共76页例：画出下列例：画出下列R-C网络的方块图网络的方块图 分析：分析：由图由图2-212-21清楚地看到，后一级清楚地看到，后一级R R2 2-C-C2 2网络作为前级网络作为前级R R1 1-C-C1 1网网络的负载，对前级络的负载，对前级R R1 1-C-C1 1网络的输出电压产生影响，网络的输出电压产生影响，这就是这就是负载效应负载效应。第48页，本讲稿共76页解：（解：（1 1）根据电路定理列出方程，写出对应）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图路图如图(b)(b)；（；（2 2）根据列出的）根据列出的4 4个式子作出个式子作出对应的框图；（对应的框图；（3 3）根据信号的流向将各方框）根据信号的流向将各方框依次连接起来。依次连接起来。例第49页，本讲稿共76页第50页，本讲稿共76页 如果在这两极如果在这两极R-C网络之间接入一个输入网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图小的隔离放大器，如图2-2-2222所示。则此电路的方块所示。则此电路的方块图如图图如图(b b)所示。所示。第51页，本讲稿共76页 框框图的的等等效效变换相相当当于于在在框框图上上进行行数数学学方方程程的的运运算算。常常用用的的方方框框图等等效效变换方方法法可可归纳为两两类。环节的合并的合并;信号分支点或相加点的等效移信号分支点或相加点的等效移动。框框图变换必必须遵循的原遵循的原则是：是：变换前、后的数学关系前、后的数学关系保持不保持不变，因此框，因此框图变换是一种等效是一种等效变换，同，同时由于由于传递函数和函数和变量的方程是代数方程，所以框量的方程是代数方程，所以框图变换是一些是一些简单的的代数运算代数运算。（）（）环节的合并的合并 环环节节之之间间互互相相连连接接有有三三种种基基本本形形式式：串串联、并并联和和反反馈连接连接。五五.框图的等效变换框图的等效变换第52页，本讲稿共76页1 1环节的串联环节的串联 特特点点:前前一一个个环节的的输出出信信号号就就是是后后一一环节的的输入入信信号号，下下图所所示示为三个三个环节串串联的例子。的例子。图中，每个中，每个环节的方框的方框图为：要求出第三个要求出第三个环节的的输出与第一个出与第一个环节的的输入之入之间的的传递函数函数时第53页，本讲稿共76页 上上式式表表明明，三三个个环节的的串串联可可以以用用一一个个等等效效环节来来代代替替。这种种情情况况可可以以推推广广到到有有限限个个环节串串联（各各环节之之间无无负载效效应）的的情情况况，等等效效环节的的传递函函数数等等于于各各个个串串联环节的的传递函函数数的的乘乘积，如如有有n个个环节串串联则等效等效传递函数可表示函数可表示为：第54页，本讲稿共76页2.2.环节的并联环节的并联 环节并并联的的特特点点是是各各环节的的输入入信信号号相相同同，输出出信信号号相相加加（或或相相减减），下下图所示所示为三个三个环节的并的并联，图中含有信号相加点。从中含有信号相加点。从图中可中可见:等效等效传递函数函数为：第55页，本讲稿共76页 以以上上结论可可推推广广到到一一般般情情况况，当当有有n个个环节并并联时，其其输出出信号相加信号相加则有等效有等效传递函数函数第56页，本讲稿共76页3反反馈连接接 将系将系统或或环节的的输出信号反出信号反馈到到输入端，并与原入端，并与原输入信号入信号进行比行比较后再作后再作为输入信号，即入信号，即为反反馈连接，如接，如下下图所示。所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。第57页，本讲稿共76页 上述三种基本上述三种基本变换是是进行方框行方框图等效等效变换的基的基础。对于于较复的系复的系统,例如当系例如当系统具有信号交叉或反具有信号交叉或反馈环交叉交叉时,仅靠靠这三种方法是不三种方法是不够的。的。（二）信号相加点和信号分支点的等效（二）信号相加点和信号分支点的等效变换 对于于一一般般系系统的的方方框框图，系系统中中常常常常出出现信信号号或或反反馈环相相互互交交叉叉的的现象象，此此时可可将将信信号号相相加加点点（汇合合点点）或或信信号号分分支支点点（引引出出点点）作适当的等效移作适当的等效移动，先，先消除消除各种形式的交叉，再各种形式的交叉，再进行等效行等效变换即可。即可。将信号引出点及将信号引出点及汇合点前后移合点前后移动的的规则：1.变换前与前与变换后前向通道中后前向通道中传递函数的乘函数的乘积必必须保持不保持不变;2.变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。第58页，本讲稿共76页 信信号号相相加加点点的的移移动分分两两种种情情况况：前前移移和和后后移移。为使使信信号号相相加加点点移移动前前后后输出出量量与与输入入量量之之间的的关关系系不不变,必必须在在移移动相相加加信信号号的的传递通通道道上上增增加加一一个个环节，它它的的传递函函数数分分别为 1G（S）（前前移移）和和 G（S）（后移）。）（后移）。信信号号分分支支点点（取取出出点点）的的移移动也也分分前前移移和和后后移移两两种种情情况况。但但分分支支点点前前移移时应在在取取出出通通路路上上增增加加一一个个传递函函数数为G（S）的的环节，后移后移时则增加一个增加一个传递函数函数为1G（S）的）的环节。此此外外，两两个个相相邻的的信信号号相相加加点点和和两两个个相相邻的的信信号号分分支支点点可可以以互互换位位置置。但但必必须注注意意，相相邻的的相相加加点点与与分分支支点点的的位位置置不不能能简单互互换。第59页，本讲稿共76页下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。第60页，本讲稿共76页例例：求传递函数求传递函数EiEEo+R1C2s+R1C2S+-EiEo图2-27（a)图2-27（b)第61页，本讲稿共76页EoR1C2S+-EiR1C2S+-EiEo图2-27（c)图2-27（d)EiEo图2-27（e)第62页，本讲稿共76页第六节第六节 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式 信信号号流流图图和和框框图类似似，都都可可用用来来表表示示系系统结构构和和信信号号传送送过程程中中的的数学关系。因而数学关系。因而信号流图也是数学模型一种表示。信号流图也是数学模型一种表示。框框图及及其其等等效效变换虽然然对分分析析系系统很很有有效效，但但是是对于于比比较复复杂的的系系统，方方框框图的的变换和和化化简过程程往往往往显得得繁繁琐、费时，并并易易于于出出错。如如采采用用信信号号流流图，则可可利利用用梅梅逊逊公公式式，不不需需作作变换而而直直接接得得出出系系统中任何两个中任何两个变量之量之间的数学关系。的数学关系。（）基本概念）基本概念 信信号号流流图是是一一种种将将线性性代代数数方方程程组用用图形形来来表表示示的的方方法法。例例如：如：一一.信号流图及其等效变换信号流图及其等效变换第63页，本讲稿共76页 信号流信号流图中，用小中，用小圆圈圈“O”表示表示变量，并称其量，并称其为节点节点。节点之点之间用用加权加权的有向的有向线段段连接，称接，称为支路支路。通常在支路上。通常在支路上标明前后两个明前后两个变量量之之间的数学关系，因此支路的的数学关系，因此支路的权又称又称为传输传输。第64页，本讲稿共76页（二）常用术语（二）常用术语 信号流信号流图中除有中除有节点和支路外，点和支路外，还常用到下述常用到下述术语。1.1.出支路：出支路：离开离开节点的支路。点的支路。2.入支路：进入节点的支路。入支路：进入节点的支路。3.源源节节点点：只只有有出出支支路路的的节节点点，对对应应于于自自变变量量或或外外部部输输人人，因因此此也也称称为为输输入入节点。节点。4.汇节点汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。5.混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。6.通通道道：又又称称为为路路径径，是是指指从从一一个个节节点点出出发发，沿沿着着支支路路的的箭箭号号方方向向相相继继经经过过多多个节个节 点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。7.开开通通道道：如如果果通通道道从从某某个个节节点点出出发发，终终止止于于另另一一个个节节点点上上，并并且且通通道道中中每每个个节节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。点只经过一次，则称这样的通道为开通道。第65页，本讲稿共76页8.闭闭通通道道：如如果果通通道道的的终点点就就是是通通道道的的起起始始点点，并并且且通通道道中中每每个个节点点只只经过一一次次，则该通通道道称称为闭通通道道或或回回路路、回回环等等。如如果果一一个个通通道道从从一一个个节点点开开始始，只只经过一一个个支支路路又又回回到到该节点点，则称称这样的通道的通道为自回自回环。9.前前向向通通道道：从从源源节节点点出出发发到到汇汇节节点点终终止止，而而且且每每个个节节点点只只通通过过一一次的通道称为前向通道。次的通道称为前向通道。10.互互不不接接触触回回环环：如如果果一一些些回回路路没没有有任任何何公公共共节节点点和和回回路路，就就称称它它们为互不接触回环。们为互不接触回环。11.通道传输通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。12.回环传输回环传输：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。第一张第66页，本讲稿共76页 例如例如下下图中，中，x。为源源节点，点，x6为汇节点。点。x1、x2、x3、x4和和x5为混合混合节点。通道点。通道abcdej是一条前向通道，而是一条前向通道，而abcde和和fghi是普通的是普通的通道，通道，ai不是通道不是通道,因为两条支路的方向不一致。因为两条支路的方向不一致。bbi也不是通道，因为也不是通道，因为两次经过节点两次经过节点x1。bi是一个是一个闭通道通道（回环）（回环），而而bchi不是一个不是一个闭通道，通道，因因为有两次有两次经过节点点x2。图中共有四个回中共有四个回环，即，即bi,ch,dg和和ef。两个互。两个互不接触的回不接触的回环有三种有三种组合，即合，即bief,bidg和和chef。本系。本系统没有三个及三没有三个及三个以上互不接触的回个以上互不接触的回环。第67页，本讲稿共76页（三）信号流图的基本性质（三）信号流图的基本性质 （四）信号流图的简化（四）信号流图的简化 （l）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。（2）并联支路的总传输等于各支路传输之和。）并联支路的总传输等于各支路传输之和。（3）混合节点可以用移动支路的方法消去。）混合节点可以用移动支路的方法消去。（4）回环可以用框图中反馈连接的规则化为）回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路。等效支路。（1）用）用节点节点表示表示变量变量，源节点源节点代表代表输入量输入量，汇节点汇节点代表代表输出量输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点混合节点处，所有处，所有出支路出支路的信号（即的信号（即混合节点对应的变量）等于各混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和支路引入信号的代数和。（2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。用方框表示的环节。（3）增加一个具有单位传输的支路，可把）增加