上海大学机自学院信号与系统(第二章).pptx

信号与系统分析基础信号与系统分析基础信号与系统分析基础信号与系统分析基础上海大学机自学院上海大学机自学院第二章第二章 第二章 线性时不变系统的时域分析2.1 概述系统研究的两个问题：系统研究的两个问题：系统分析系统分析 对已知的系统做各种特性的分析；系统综合系统综合 系统的设计或实现，它是指根据需 要去设计构成满足性能要求的系统。系统时域分析全部在时间域内进行，这种方法直观，物理概念清晰，是学习各种变换域分析方法的基础。2.2 SISO连续系统的时域分析1 1、系统的微分方程经典解法系统的微分方程经典解法 考察下列n阶常系数线性微分方程（LTI系统）（2.1）式中，e(t)为系统激励，r(t)为响应。方程(2.1)的完全解完全解r(t)由以下两部分组成：齐次解齐次解rn(t)(自由响应)特解特解rf(t)(强迫响应)齐次解齐次解rn(t):是方程(2.1)右端中激励e(t)及其各阶导数都为零时的解。特解特解rf(t):仅与右端项有关。完全解完全解:r(t)=rn(t)+rf(t)齐次方程 （2.2）令 ，代入齐次方程(2.2)中，并经化简后，有 （2.3）式(2.3)为微分方程(2.1)的特征方程。这是一个n次代数方程，于是可解得n个根（特征根）LTI连续系统时域分析解的结构：u齐次解rn(t)（自由响应）1）特征根互不相同（无重根）时，齐次解为2）特征根有重根时，设 为 重根，其余特征 根为单根，齐次解为u 特解rf(t)（强迫响应）特解的设立依赖于激励e(t)的形式，见表2-1。C1,C2,Cn为待定系数 表2-1 几种典型激励函数所对应的特解 将特解代入方程(2.1)中，由等式两端同幂次系数相等关系，可求的特解中的待定系数 Ai，Bi。u完全解（全响应）将齐次解加上特解后，得到非齐次方程的通解，依据初始条件，求得待定系数，由此得到微分方程的全解，即 （2.4）2 2、零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应零输入响应rzi(t)输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。零状态响应rzs(t)系统的初始状态为零，仅由激励所引起的系统响应。系统全响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)考察方程：（2.5）初始条件：（2.6）l零输入响应所对应的微分方程 （2.7）l零状态响应所对应的微分方程 （2.8）2.3 SISO离散系统的时域分析1 1、系统的差分方程建立系统的差分方程建立预备知识：设f(t)为一连续信号，对f(t)均匀抽样(等间距抽样)，抽样周期(抽样间隔)为Ts,得离散序列f(n)，称 1f(n)=f(n)-f(n-1)(2.9)1f(n)=f(n)-f(n+1)(2.10)分别为一阶后向和一阶前向差分。2f(n)=1f(n)-1f(n-1)=f(n)-f(n-1)-(f(n-1)-f(n-2)=f(n)-2f(n-1)+f(n-2)(2.11)2f(n)=1f(n)-1f(n+1)=f(n)-f(n+1)-(f(n+1)-f(n+2)=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)(2.12)分别为二阶后向和二阶前向差分。以此类推，可定义更高阶差分以此类推，可定义更高阶差分。为描述方便，设抽样间隔Ts=1，则连续信号f(t)在t=nTs处的一阶导数可近似的表述为 进 一步 （2.13）（2.14）以此类推，f(t)在t=nTs处的更高阶导数，可分别用更高阶差分来近似。例例2.1 2.1 设有一个RC串联电路，如图所示，从微分方程导出差分方程。解：描述该RC动态电路的微分方程为 （2.15）取抽样周期 则有 （2.16）将 ，式(2.16)代入式(2.15)中，得即记 ，得一阶后向差分方程 （2.17）解：于是 差分方程的建立并不一定都是从微分方程中演化而来。例例2.2 2.2 某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为 元/月。设第k月存入f(k)元，月底结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为：第k月结余第k-1月结余第k-1月利息第k月存款 2 2、差分方程的递推解差分方程的递推解考察下列N阶后向差分方程 （2.18）初始条件（边界条件）为 （2.19）根据初始条件，得按此方法，可逐步求出 。这种解法一般情形下得不到闭式解（解析解），对后续分析带来不便，但利用计算机很容易得到数值解。3 3、差分方程的经典解差分方程的经典解 考察下列N阶常系数差分方程（LTI系统）（2.20）利用求和符号，上式可缩写为 （2.21）方程(2.20)的完全解完全解r(n)由以下两部分组成：齐次解齐次解rh(n)(自由响应)特解特解rf(n)(强迫响应)aN 0齐次解齐次解rh(n):方程(2.20)右端中激励及其时移都为零 时的解(与输入信号无关);特解特解rf(n):仅与右端项有关(与初始状态无关)。齐次方程 （2.22）令 ，代入齐次方程(2.22)中，得 a0N+a1N-1+aN-1+aN=0 （2.23）式(2.23)称为特征方程，这是一个N次代数方程，可解得N个根(特征根)LTI离散系统时域分析解的结构：u齐次解rh(n)（自由响应）1）特征根互不相同（无重根）时，齐次解为 为待定系数2）特征根有重根时，设1为k重根，其余特征 根为单根，齐次解为u 特解rf(n)（强迫响应）特解的设立依赖于激励饿e(n)的形式，见表2-2。表2-2 几种典型激励函数所对应的特解将特解代入方程(2.20)中，由等式两端同幂次系数相等关系,可求的特解中的待定系数 。u完全解（全响应）将齐次解加上特解后，得到非齐次方程(2.20)的通解，依据初始条件，求得待定系数，由此得到微分方程的全解，即 （2.24）例例2.3 2.3 设某离散系统的差分方程为初始条件 ，试求系统全响应。解:1)齐次解特征方程：2-4+3=0特征根：1=1，2=3所以 rh(n)=C1(1)n+C2(3)n=C1+C2(3)n2)特解依方程右端项和特征根，设rf(n)=A2n 代入原方程中，有 A2n-4A2n-1+3A2n-2=2n求得 A=-4，rf(n)=-2n+2 3)全解 r(n)=rh(n)+rf(n)=C1+C2(3)n-2n+2 由初始条件 r(-1)=C1+C2/3-2=0 C1=5/4 r(-2)=C1+C2/9-1=1/2 C2=9/4于是全响应为 r(n)=(5+3n+2)/4-2n+2u(n)4 4、零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应零输入响应rzi(n)输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。零状态响应rzs(n)系统的初始状态为零，仅由激励所引起的系统响应。系统全响应 r(n)=rzi(n)+rzs(n)考察差分方程 （2.25）初始条件(边界条件)（2.26）l零输入响应所对应的差分方程 （2.27）l零状态响应所对应的差分方程 （2.28）例例2.4 2.4 设有差分方程初始条件 ，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。2)零状态响应rzs(n)rzs(n)-4rzs(n-1)+3rzs(n-2)=2nu(n)rzs(-1)=0,rzs(-2)=0由例2.2知 rzs(n)=C1+C2(3)n-2n+2依初始条件rzs(-1)=0,rzs(-2)=0，得C1=1/2，C2=9/2零状态响应为：rzs(n)=(1+3n+2)/2u(n)解：1)零输入响应rzi(n)rzi(n)-4rzi(n-1)+3rzi(n-2)=0 rzi(-1)=0,rzi(-2)=1/2由例2.2知 rzi(n)=C1+C2(3)n依初始条件,得C1=3/4，C2=-9/4零输入响应为：rzi(n)=(3-3n+2)/4u(n)3)全响应:r(n)=rzi(n)+rzs(n)=(5+3n+2)/4-2n+2u(n)2.4 系统的单位冲激响应与单位样值响应 对于线性时不变系统，单位冲激响应和单位样值响应可以表示系统的因果性和稳定性，因而对这种响应的分析是系统分析极为重要的内容。1 1、连续系统的单位冲激响应、连续系统的单位冲激响应h(t)考察下列连续系统的微分方程 （2.29）设 时，响应记作 。于是，式(2.29)变为 （2.30）单位冲激响应为零状态响应 单位冲激响应h(t)的表达式当nm时，h(t)含有u(t);当n=m时，h(t)含有(t)；当n0时，(t)及其各阶导数为0，方程(2.30)右端项为0，问题转为零输入响应，h(t)与方程(2.30)对应的齐次解有相同形式，综上所述：1）当nm时，有 （2.31）2）当n=m时，有 （2.32）3）当n0时，有 h1(n)-h1(n-1)-2h1(n-2)=0 且h1(0)=1，h1(-1)=0 特征方程：2-2=0 特征根 1=-1，2=2齐次解：h1(n)=C1(-1)n+C2(2)n，n0由初始条件，得h1(0)=C1+C2=1，h1(-1)=-C1+0.5C2=0由此，得C1=1/3，C2=2/3 故 h1(n)=(1/3)(-1)n+(2/3)(2)nu(n)根据线性特性和时不变特性，有零输入响应零状态响应仅考察 h1(n)-h1(n-1)-2h1(n-2)=(n)且h1(-1)=0，h1(-2)=0于是 h1(0)=(n)+h1(-1)+2h1(-2)=1线性性时不不变系系统 2.5 卷积积分1 1、卷积积分定义、卷积积分定义 对于任意两个连续信号f1(t)和f2(t),两者做卷积运算定义为 （2.36）记作f1(t)f2(t)。不难证明，卷积积分满足 f1(t)f2(t)=f2(t)f1(t)（2.37）2 2、任意信号分解、任意信号分解 设有连续信号e(t)，依据单位冲激函数的筛选特性，有 （2.38）上式可理解为连续信号e(t)被分解为一系列冲激函数。3 3、利用卷积积分计算系统的零状态响应、利用卷积积分计算系统的零状态响应 例例2.6 2.6 已知一线性时不变系统的单位冲激响应 当系统的激励为单位阶跃信号e(t)=u(t),试求系统的零状态响应。例例2.7 2.7 有一线性时不变系统，初始状态为零，当激励为 时，响应为 ，试求该系统的单位冲激响应 。4 4、卷积积分的图解法、卷积积分的图解法 用图解法说明卷积运算可以将一些抽象的关系形象化，便于理解卷积积分的概念及方便运算。rzs(t)=(1/)(1-e-t)u(t)h(t)=y1(t)=-e-tsin(t)u(t)+e-tcos(t)u(t)图解法步骤：（1）换元 t ,得 f1(t)f1(),f2(t)f2()。（2）反褶 将f2()以纵轴为对称轴，进行反褶，得f2(-)。（3）平移 将f2(-)沿轴自左向右平移t，得f2(t-)。（4）相乘 f1()f2(t-)，若f1()和f2(t-)重叠，乘积为非 零值，否则乘积为零。（5）积分 f1()和f2(t-)乘积曲线下的面积即为t时刻的卷 积值。例例2.8 2.8 试计算下图所示函数的卷积积分f1(t)f2(t)。解：两函数换元及f2(t)反转平移表达式分别为（1）t-1 由下图可知，f1()与f2(t-)的值的非零区间 不重叠，此时f(t)=0。（2）-1t0 由下图可知，f1()与f2(t-)的值同时不 为零的区间为-1 t,于是（3）0 t1 由下图可知，f1()和f2(t-)在t-1 t 区间内同时不为零，于是（4）1 t2 由下图可知，f1()和f2(t-)在t-1 0时为因果系统。2-62-6(2)cos(t+1)-cos(t-1)(4)2-82-82-92-9(1)h(t)=e-(t-2)u(t-2)(2)1-e-(t-1)u(t-1)-1-e-(t-4)u(t-4)2-112-112-172-17(1)(3)