首次积分与一阶偏.ppt

第6章 首次积分与一阶偏微分方程7.1一一阶阶常微分方程常微分方程组组的首次的首次积积分分从第五章我们知道从第五章我们知道7.1.1首次积分的定义首次积分的定义在变换在变换之下，等价于下面之下，等价于下面的一阶微分方程组的一阶微分方程组（7.1.3）阶常微分方程阶常微分方程在第五章中，已经介绍过方程组（在第五章中，已经介绍过方程组（7.1.3）通解的概念）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的一阶微分方程组（阶微分方程组（7.1.3）的解是很困难的。然而在某些）的解是很困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓情况下，可以使用所谓“可积组合可积组合”法求通积分，下法求通积分，下面先通过例子说明面先通过例子说明“可积组合可积组合”法，然后介绍一阶常法，然后介绍一阶常微分方程组微分方程组“首次积分首次积分”的概念和性质，以及用首次的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（积分方法来求解方程组（7.1.3）的问题。先看几个例）的问题。先看几个例子。子。例例7.1.1 求解微分方程求解微分方程组组 （7.1.4）解解 将第一式的两端同乘将第一式的两端同乘，第二式的两端同乘，第二式的两端同乘 这这个微分方程关于个微分方程关于变变量量t和和其中其中 为积为积分常数。（分常数。（7.1.5）叫做（）叫做（7.1.4）的一个首）的一个首次次积积分。分。，然后，然后相加，得到相加，得到或或是可以分离的，因此是可以分离的，因此不难求得其解为不难求得其解为（7.1.5）注意首次注意首次积积分（分（7.1.5）的左端）的左端作作为为x，y，和，和t是微分方程是微分方程组组（7.1.4）的解）的解时时，才等于常数才等于常数，因此，因此因因为为式（式（7.1.4）是一个二）是一个二阶阶方程方程组组，一个首次，一个首次积积分分（7.1.5）不足以确定它的解。）不足以确定它的解。为为了确定（了确定（7.1.4）的解，）的解，还还需要找到另外一个首次需要找到另外一个首次积积分。分。将第一式两端同乘将第一式两端同乘，第二式两端同乘，第二式两端同乘，的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当应随解而异。应随解而异。第一式减去第二式，得到第一式减去第二式，得到即或或然后用然后用利用首次利用首次积积分（分（7.1.5）和（）和（7.1.6）可以确定（）可以确定（7.1.4）的）的通解。通解。为为此，采用极坐此，采用极坐标标 （7.1.7）亦即亦即积分得积分得其中其中为积分常数。为积分常数。（7.1.6）由（由（7.1.5）和（）和（7.1.6）推得）推得或或因此我因此我们们得到方程得到方程组组（7.1.4）的通解）的通解为为 解解 利用方程利用方程组组的的对对称性，可得称性，可得 从而得到第一个首次从而得到第一个首次积积分分 。例例7.1.2 求解微分方程组求解微分方程组其中其中是给定的常数。是给定的常数。其中积分常数其中积分常数（1）同同样样由方程的由方程的对对称性我称性我们们又有又有 由此又得另一个首次由此又得另一个首次积积分分 利用首次利用首次积积分（分（1）和（）和（2），将），将u和和v用用w表示，之后代入表示，之后代入原方程原方程组组（7.1.8）的第三式，得到）的第三式，得到 其中积分常数其中积分常数（2）其中常数其中常数a，b依赖于常数依赖于常数而常数而常数（3）式（式（3）是）是变变量可分离方程，分离量可分离方程，分离变变量并量并积积分得到第三个分得到第三个首次首次积积分分 是是积积分常数。因分常数。因为为方程方程组组（7.1.8）是三）是三阶阶的，的，但是由于在式（但是由于在式（4）中出）中出现现了了椭圆积椭圆积分，因此不能写出分，因此不能写出上述通解的具体表达式。上述通解的具体表达式。（4）其中其中所以三个首次积分（所以三个首次积分（1）、（）、（2）和（）和（4）在理论上足以）在理论上足以确定它的通解确定它的通解现现在考在考虑虑一般的一般的阶阶常微分方程常微分方程组组 其中右端函数其中右端函数在在内内对对连续连续，而且，而且对对定定义义7.1.1设设函数函数在在的某个子域的某个子域内内连续连续，而且，而且对对是是连续连续可微的。又可微的。又设设不不为为常数，常数，（7.1.13）是连续可是连续可微的。我们有微的。我们有但沿着微分方程（但沿着微分方程（7.1.3）函数函数V取常取常值值；在区域在区域G内的任意积分曲线内的任意积分曲线 时时，有，有 ，为为（7.1.13）的首次）的首次积积分。分。亦即亦即或当或当这里的常数随积分曲线这里的常数随积分曲线而定，则称而定，则称（7.1.14）为微分方程（为微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的首次积分。其中内的首次积分。其中C是是一个任意常数，有时也称这里的函数一个任意常数，有时也称这里的函数对对于高于高阶阶微分方程（微分方程（7.1.1），只要做），只要做变换变换（7.1.2），），就可以把它化成一个与其等价的微分方程就可以把它化成一个与其等价的微分方程组组。因此，首次。因此，首次积积分的定分的定义义可以自然地移植到可以自然地移植到n阶阶方程（方程（7.1.1）。而其首）。而其首次次积积分的一般形式可以写分的一般形式可以写为为 乘方程的两端，可得乘方程的两端，可得 然后然后积积分，得到一个首次分，得到一个首次积积分分 （7.1.15）例如，设二阶微分方程组例如，设二阶微分方程组用用一般的，一般的，阶阶常微分方程有常微分方程有个独立的首次个独立的首次积积分，如果分，如果阶阶常微分方程常微分方程组组的的个独立的首次个独立的首次积积分，分，则则可可7.1.2 首次首次积积分的性分的性质质根据首次根据首次积积分的定分的定义义，要判，要判别别函数函数是否是方程是否是方程组组 求得求得求得这个求得这个 阶常微分方程组的通解。阶常微分方程组的通解。在区域在区域G内的首次积分，需要知道方程组（内的首次积分，需要知道方程组（7.1.13）在）在G内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。内得所有积分曲线。这在实际应用上是很困难的。下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决下面的定理为我们提供了一个有效的判别方法，解决了判别首次积分的困难。了判别首次积分的困难。定理定理7.1.1设设函数函数 在区域在区域G内是内是连续连续是微分方程（是微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的首次内的首次积积分的充分必要分的充分必要条件是条件是 是关于是关于变变量量的一个恒等式。的一个恒等式。可微的，而且它不是常数，则可微的，而且它不是常数，则（7.1.16）（7.1.17）证证明明 先先证证必要性必要性 设设（7.1.16）是方程）是方程组组（7.1.13）在区）在区域域G内的一个首次内的一个首次积积分。又分。又设设 是微分方程是微分方程组组（7.1.13）在区域）在区域G内的任一内的任一积积分曲分曲线线。则则我我们们在区在区间间J上有恒等式上有恒等式 （7.1.18）两两边对边对x求求导导，则则有有 或在或在上恒有等式上恒有等式 因因为经过为经过区域区域G内的任意一点都有微分方程（内的任意一点都有微分方程（7.1.13）的）的一条一条积积分曲分曲线线亦即恒等式（亦即恒等式（7.1.17）成立。）成立。微分方程微分方程组组（7.1.13）在区域）在区域G内的一个首次内的一个首次积积分。分。证毕证毕。（7.1.19）（7.1.20），所以（，所以（7.1.20）也就变成了区域）也就变成了区域G内的内的恒等式，恒等式，再证充分性再证充分性，设恒等式（，设恒等式（7.1.17）成立，则由于上述积分）成立，则由于上述积分曲线曲线在在G内，所以得到恒等式（内，所以得到恒等式（7.1.20），然后可由），然后可由（7.1.20）反推到（）反推到（7.1.18）。这就证明了（）。这就证明了（7.1.16）是是定理定理7.1.2 若已知微分方程（若已知微分方程（7.1.13）的一个首次）的一个首次积积分分（7.1.14），），则则可以把微分方程（可以把微分方程（7.1.13）降低一）降低一阶阶。证证明明 由定由定义义容易推出首次容易推出首次积积分分 不能都恒等于不能都恒等于0，因此，不妨，因此，不妨设设于是由于是由隐隐函数定理，由首次函数定理，由首次积积分（分（7.1.16）解出）解出 （7.1.22）的偏导数的偏导数（7.1.21）而且它有偏导数而且它有偏导数将（将（7.1.21）代入到微分方程（）代入到微分方程（7.1.13）的前）的前n-1个式子，个式子，就消去了就消去了，从而得到一个，从而得到一个n-1阶阶的微分方程的微分方程 假假设设它的解它的解为为 就是微分方程（就是微分方程（7.1.13）的解。）的解。（7.1.23）（7.1.24）我们要证函数组我们要证函数组（7.1.25）事事实实上，由于（上，由于（7.1.24）是方程（）是方程（7.1.23）的解，所以）的解，所以（7.1.25）满满足微分方程（足微分方程（7.1.13）的前）的前n-1个等式。因此，个等式。因此，我我们们只需只需证证明它也明它也满满足微分方程（足微分方程（7.1.13）的最后一个等）的最后一个等式。因式。因为为 所以再由（所以再由（7.1.22）可得）可得 然后再根据首次然后再根据首次积积分分满满足的充要条件足的充要条件 得到得到 其中其中设设微分方程微分方程组组（7.1.13）有）有n个首次个首次积积分分 如果在某个区域如果在某个区域G内它内它们们的的Jacobi行列式行列式 由式子（由式子（7.1.25）给出。这就证明了所）给出。这就证明了所需要的结论。需要的结论。（7.1.26）（7.1.27）则称它们在区域则称它们在区域G内是相互独立的内是相互独立的。证证明明 因因为为（7.1.27）成立，所以由）成立，所以由隐隐函数定理可以从函数定理可以从（7.1.26）解出）解出 （7.1.29）（7.1.28）其中其中为为n个任意常数（在允许范围内），个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方程（而且上述通解表示了微分方程（7.1.13）在）在G内的所有解。内的所有解。，令它们的表达式为（，令它们的表达式为（7.1.28）因此只要将（因此只要将（7.1.28）代入到（）代入到（7.1.26）就得到相应的关）就得到相应的关于于 的恒等式。然后再对的恒等式。然后再对 求导，即得求导，即得其中其中变变元元由（由（7.1.28）给给出。出。定理定理7.1.3 设已知微分方程（设已知微分方程（7.1.13）的）的n个相互独立的首个相互独立的首次积分（次积分（7.1.26），则可由它们得到（），则可由它们得到（7.1.13）在区域）在区域G内的通解内的通解另一方面由于首次另一方面由于首次积积分的充要条件，等式分的充要条件，等式 当当变变元元由（由（7.1.28）给给定定时时仍然成立。因此仍然成立。因此联联再利用条件（再利用条件（7.1.27），我），我们们得到得到 其中其中变变元元由（由（7.1.28）给给出。出。这这就就证证明了明了（7.1.30）立（立（7.1.29）和（）和（7.1.30）推出）推出（7.1.28）是微分方程组（）是微分方程组（7.1.13）的解。）的解。由此推出由此推出的的Jacobi行列式行列式 这这就就证证明了在（明了在（7.1.28）中的）中的n个任意常数个任意常数是相互独立的。因此，式（是相互独立的。因此，式（7.1.28）是微分方程）是微分方程组组（7.1.13）的通解。的通解。另外，由（另外，由（7.1.26）对）对 求导易知求导易知其中其中 我我们们仍需仍需证证明通解（明通解（7.1.28）表示了微分方程（）表示了微分方程（7.1.13）在区在区间间G内的所有解。内的所有解。为为此取微分方程（此取微分方程（7.1.13）在区）在区间间G内的任一解内的任一解 令初始条件令初始条件 其中其中。再令。再令 然后利用然后利用隐隐函数定理，可以从方程函数定理，可以从方程 得到微分方程（得到微分方程（7.1.13）的一个解）的一个解 它它满满足初始条件足初始条件 （7.1.31）（7.1.32）（7.1.33）因此，式（因此，式（7.1.32）和（）和（7.1.33）是微分方程）是微分方程组组（7.1.13）满满足同一初始条件的两个解。足同一初始条件的两个解。这样这样根据解的唯一性定理根据解的唯一性定理推出推出 即解（即解（7.1.31）可以从通解（）可以从通解（7.1.28）得到。）得到。反之作反之作为为定理定理7.1.3的逆命的逆命题题，我，我们们容易容易证证明下述明下述结论结论：设设已知微分方程（已知微分方程（7.1.13）的通解，）的通解，则则由它可以得到由它可以得到n个个 独立的首次独立的首次积积分。分。因此，在局部范因此，在局部范围围内求微分方程（内求微分方程（7.1.13）的解等于求它）的解等于求它 的的n个相互独立的首次个相互独立的首次积积分。分。关于首次关于首次积积分的（局部）存在性，我分的（局部）存在性，我们们有有定理定理7.1.4 设设 其中其中的某个的某个邻邻域域内。内。则则由解由解对对 7.1.3 首次积分的存在性首次积分的存在性则存在则存在的一个的一个邻域邻域使得微分方程（使得微分方程（7.1.13）在区域）在区域内有内有n个相互独立的首次积分。个相互独立的首次积分。证明证明 任取初始条件任取初始条件（7.1.34）初值的可微性定理推出，微分方程（初值的可微性定理推出，微分方程（7.1.13）满足初始）满足初始条件（条件（7.1.34）的解）的解 （7.1.35）对对是是连续连续可微的，而且可微的，而且Jacobi行列式行列式 。因此，由（因此，由（7.1.35）可反解出）可反解出得到得到 其中函数其中函数在在这样这样一来，我一来，我们们就得到了微分方程（就得到了微分方程（7.1.13）在区域）在区域内的内的n个相互独立的首次个相互独立的首次积积分（分（7.1.36）。）。（7.1.36）内是连续内是连续可微的，而且可微的，而且Jacobi行列式行列式定理定理7.1.5 微分方程（微分方程（7.1.13）最多只有）最多只有n个相互独立的首个相互独立的首次次积积分。分。证证明明 设设微分方程（微分方程（7.1.13）有）有n+1个首次个首次积积分分 内我内我们们有有（7.1.37）则由首次积分的充要条件，在某个区域则由首次积分的充要条件，在某个区域 我我们们可以将可以将看成是代数看成是代数联联立方程立方程组组（7.1.38）在区域在区域内恒等于内恒等于0.这这就是就是说说，任何，任何n+1个首次个首次积积分分的一个非零解。从而（的一个非零解。从而（7.1.38）的系数行列式）的系数行列式 （7.1.37）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。（7.1.38）证证明明 因因为为（7.1.26）中的首次）中的首次积积分是相互独立的，所以分是相互独立的，所以 于是可以从函数于是可以从函数组组 内它们的内它们的Jacobi行列式行列式其中其中可以用（可以用（7.1.26）来表达，亦即）来表达，亦即是某个连续可微的函数。是某个连续可微的函数。在区域在区域定理定理7.1.6 设（设（7.1.26）是微分方程（）是微分方程（7.1.13）在区域）在区域G内的内的n个相互独立的首次积分，则在区域个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程内微分方程（7.1.13）的任何首次积分）的任何首次积分（7.1.39）反解出函数反解出函数组组 然后把它然后把它们们代入代入现现在我在我们们只需只需证证明函数上述函数明函数上述函数h与与x无关。事无关。事实实上，上，对对（7.1.41）求）求导导，我，我们们有有 以及以及 因此由（因此由（7.1.42）可以得到）可以得到 得到一个关于变元得到一个关于变元的函数的函数h,，即，即其中函数其中函数V中的变元中的变元由（由（7.1.40）式给出。）式给出。（7.1.40）（7.1.41）（7.1.42）但是，由于但是，由于是微分方程（是微分方程（7.1.13）的）的n+1个个的的Jacobi行列式恒等于行列式恒等于0，从而，从而 这这就就证证明了函数明了函数h不依不依赖赖于于x.因此由（因此由（7.1.41）推出）推出 即（即（7.1.39）式成立。）式成立。为为了具体求出首次了具体求出首次积积分，也分，也为为了下一了下一节节的的应应用，人用，人们们常常把方程把方程组组（7.1.13）改写成）改写成对对称的形式称的形式 ，首次积分，所以由定理首次积分，所以由定理7.1.5推出它们关于推出它们关于这时这时自自变变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人人们们常把上述常把上述对对称式写成称式写成 内部不同内部不同时为时为零，例如零，例如 则则（7.1.43）等价于）等价于 相当于自相当于自变变量，量，相当于未知相当于未知并设并设如果设如果设这里的这里的函数，所以在方程组（函数，所以在方程组（7.1.43）中只有）中只有n-1个未知函数，个未知函数，连同自变量一起，共有连同自变量一起，共有n个变元。个变元。不难验证，对于系统（不难验证，对于系统（7.1.43），定理），定理7.1.1相应地改写为：相应地改写为：（7.1.43）连续连续可微，并且不恒等于常数，可微，并且不恒等于常数，在在G内成内成为为恒等式。如果能得到（恒等式。如果能得到（7.1.43）的）的n-1个独立的个独立的首次首次积积分，分，则则将它将它们联们联立，就得到（立，就得到（7.1.43）的通）的通积积分。分。方程写成方程写成对对称的形式后，可以利用比例的性称的形式后，可以利用比例的性质质，给给求首求首次次积积分分带带来方便。来方便。设函数设函数则则是（是（7.1.43）的首次积分的）的首次积分的充分必要条件是关系式充分必要条件是关系式是任意常数，再用比例的性是任意常数，再用比例的性质质，得，得例例7.1.3 求求的通积分。的通积分。解解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分次积分 其中其中 两两边积边积分，又得到一个首次分，又得到一个首次积积分分 其中其中是任意常数。（是任意常数。（7.1.46）和（）和（7.1.47）是相互独立）是相互独立 的，将它们联立，便得到原方程组的通的，将它们联立，便得到原方程组的通积分 例例7.1.4 求求的通积分。的通积分。解解 利用比例的性质，可以得到利用比例的性质，可以得到于是有于是有 分分别积别积分，就得到两个首次分，就得到两个首次积积分分 将它将它们联们联立，就得到原系立，就得到原系统统的通的通积积分，其中分，其中为为任意常数。任意常数。从第从第3章和第章和第5.1节我们知道，寻找积分因子和首次积节我们知道，寻找积分因子和首次积分的问题等价于求解一阶线性偏微分方程。本节将进一分的问题等价于求解一阶线性偏微分方程。本节将进一步证明，一类更广泛的一阶拟线性偏微分方程可以通过步证明，一类更广泛的一阶拟线性偏微分方程可以通过相应的特征方程（常微分方程组）的首次积分得解。下相应的特征方程（常微分方程组）的首次积分得解。下面我们将看到，与上述积分因子和首次积分有关的偏微面我们将看到，与上述积分因子和首次积分有关的偏微分方程问题仍需回到常微分方程范围内得到解决；事实分方程问题仍需回到常微分方程范围内得到解决；事实上，一阶偏微分方程的各种解法都离不开常微分方程的上，一阶偏微分方程的各种解法都离不开常微分方程的首次积分。首次积分。7.2 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程一一阶线阶线性偏微分方程的一般形式性偏微分方程的一般形式为为为为的未知函数的未知函数。假定系数。假定系数是是连续连续可微的，而且可微的，而且7.2.1一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程或简记为或简记为（7.2.1）其中其中函数函数它们不同时为零，即在区域它们不同时为零，即在区域D上有上有 考考虑虑一个与一个与偏微分方程组（偏微分方程组（7.2.1）相对应的）相对应的对对称形式的称形式的常微分方程常微分方程组组（7.2.3）（7.2.2）叫做（）叫做（7.2.1）的特征方程，它是一个（）的特征方程，它是一个（n-1）阶阶常微分方程常微分方程组组，所以它有，所以它有n-1个首次个首次积积分分 下面通下面通过过求（求（7.2.2）的首次）的首次积积分来求（分来求（7.2.1）的解。）的解。定理定理7.2.1 假假设设已已经经得到特征方程得到特征方程组组(7.2.2)的的个首次个首次积积分分(7.2.3)则则一一阶阶偏微分方程偏微分方程(7.2.1)的通解的通解为为其中其中为为一任意一任意元元连续连续可微函数。可微函数。(7.2.5)证证明明 设设 不同不同时为时为零，所以在零，所以在 是方程（是方程（7.2.2）的一个首次）的一个首次积分。因为函数积分。因为函数局部邻域内不妨设局部邻域内不妨设这样这样特征方程（特征方程（7.2.3）等价于下面）等价于下面标标准形式的微分方程准形式的微分方程组组 亦即恒有亦即恒有 这这就就证证明了（非常数）函数明了（非常数）函数为为方程方程因此因此 也是（也是（7.2.7）的一个首次积分）的一个首次积分从而有恒等式从而有恒等式（7.2.7）（7.2.8）（7.2.2）的一个首次积分的充要条件为恒等式（）的一个首次积分的充要条件为恒等式（7.2.8）成立。成立。换换言之，言之，为为方程（方程（7.2.3）的一个首次）的一个首次积积分分为为偏微分方程（偏微分方程（7.2.1）的充要条件是的充要条件是的一个（非常数）解。的一个（非常数）解。因因为为（7.2.4）是微分方程（）是微分方程（7.2.3）的）的n-1个独立的首次个独立的首次积积分，所以根据首次分，所以根据首次积积分的理分的理论论得知，得知，对对于任意于任意连续连续可微可微的（非常数）的（非常数）n-1元函数元函数就是（就是（7.2.3）的一个首次）的一个首次积积分。因此，相分。因此，相应应的函数的函数（7.2.5）是偏微分方程（）是偏微分方程（7.2.1）的一个解。）的一个解。反之，反之，设设是偏微分方程（是偏微分方程（7.2.1）的一个）的一个是特征方程（是特征方程（7.2.3），使恒等式，使恒等式（非常数）解，则（非常数）解，则的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，的一个首次积分，因此，根据首次积分的理论得知，存在连续可微函数存在连续可微函数成立，即偏微分方程（成立，即偏微分方程（7.2.1）的任何非常数解可以表示）的任何非常数解可以表示成（成（7.2.5）的形式。）的形式。例例7.2.1 求解偏微分方程求解偏微分方程 解解 原偏微分方程原偏微分方程(7.2.9)的特征方程的特征方程为为 它是一它是一阶阶常微分方程常微分方程组组，求得其一个首次，求得其一个首次积积分分为为另外，如果允许另外，如果允许是常数，则（是常数，则（7.2.5）显然包括了）显然包括了方程（方程（7.2.1）的常数解。）的常数解。因此，公式因此，公式(7.2.5)表达了偏表达了偏微分方程组（微分方程组（7.2.1）的所有解，也就是它的通解。）的所有解，也就是它的通解。其中其中例例7.2.2 求解求解边值问题边值问题 由定理由定理4.2.1知，原偏微分方程的通解为知，原偏微分方程的通解为为任意可微的函数。为任意可微的函数。解解 写出偏微分方程的特征方程写出偏微分方程的特征方程为为 ,再由再由 其中其中为为任意二元可微的函数，可由任意二元可微的函数，可由边值边值条件确定条件确定,令令则则有有由由故方程的通解为故方程的通解为因为因为于是于是因此因此代入到通解的表达式中，得到代入到通解的表达式中，得到满满足足边值问题边值问题的特解的特解 7.2.2一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程的一般形式是一阶拟线性偏微分方程的一般形式是其中函数其中函数所所谓谓“拟线拟线性性”是指方程关于未知函数的偏是指方程关于未知函数的偏导导数都是数都是一次的一次的连续可微连续可微而而“非非齐齐次次”是指存在不含未知函数偏是指存在不含未知函数偏导导数数方程（方程（7.2.12）与一）与一阶阶非非齐齐次次线线性偏微分方程性偏微分方程 是（是（7.2.12）的）的隐隐函数函数，则则根据根据隐隐函数微分法得函数微分法得 各个系数各个系数中可能含有中可能含有未知函数未知函数的自由项的自由项（7.2.13）比较，显然式拟线性方程（比较，显然式拟线性方程（7.2.12）比线性方（）比线性方（7.2.12）更广泛。更广泛。下面我们将求解（下面我们将求解（7.2.12）的问题化成求解线性齐次方程）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设的问题，设形式的解，且形式的解，且，视为视为关于关于的函数，的函数，的一的一应应是方程（是方程（7.2.15）的解。）的解。（7.2.14）将（将（7.2.14）代入（）代入（7.2.12）中，经过整理得）中，经过整理得（7.2.15）由此，可以将由此，可以将（7.2.15）变成了关于未知函数）变成了关于未知函数阶线性齐次偏微分方程。于是函数阶线性齐次偏微分方程。于是函数反反过过来，假来，假设设函数函数是（是（7.2.15）的）的则则由（由（7.2.15）和（）和（7.2.14）可以推出）可以推出所确定的所确定的隐隐函数函数是方程（是方程（7.2.12）的解。）的解。这样这样求解求解式（式（7.2.16）可化）可化为为 n个常微分方程，求得它的个常微分方程，求得它的n个首次个首次解，且解，且由方程由方程 方程（方程（7.2.12）的问题就化成了求解（）的问题就化成了求解（7.2.15）的问题。）的问题。为了求解（为了求解（7.2.15），先写出其特征方程组为），先写出其特征方程组为（7.2.16）积分积分就得到（就得到（7.2.15）的通解）的通解为为其中其中定理定理7.2.2 设设函数函数和和在区域在区域内内连续连续可微，可微，在在G内不同内不同时为时为零，零，设设是（是（7.2.15）的一个解，且）的一个解，且必是方程（必是方程（7.2.12）的一个）的一个隐隐式解。反之式解。反之是（是（7.2.12）的一个）的一个隐隐式解，并且式解，并且 ，必是（，必是（7.2.15）的某个解，即）的某个解，即是所有变元的连续可微函数。将（是所有变元的连续可微函数。将（7.2.16）称为方程（称为方程（7.2.12）的特征方程组。写成定理就是）的特征方程组。写成定理就是则由它确定的则由它确定的 一一阶线阶线性非性非齐齐次偏微分方程（次偏微分方程（7.2.13）为为一一阶拟线阶拟线性非性非齐齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（7.2.12）的解法相同）的解法相同解解 先出目先出目标标方程方程的特征方程的特征方程.首先由首先由例例7.2.4 求解下列一阶拟线性偏微分方程求解下列一阶拟线性偏微分方程积积分后得分后得即求得求得一个即求得求得一个,再利用合比定理，有再利用合比定理，有首次积分首次积分，即求得另一个首次，即求得另一个首次例例7.2.5 求解下列偏微分方程求解下列偏微分方程 .两边积分后得两边积分后得积分为积分为 由定理由定理7.2.2知，所求方程知，所求方程的通解为的通解为解解 目标方程式是线性非齐次偏微分方程，是拟线性非目标方程式是线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例，其特征方程为齐次偏微分方程的特例，其特征方程为将每个等式分将每个等式分别积别积分，得到分，得到其中其中是各个自是各个自变变量的量的连续连续可微函数，解出可微函数，解出得得显显式通解式通解 .个首次积分个首次积分故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为