练习册P14-P18的11题到19题其中交P15-16习题.ppt

教学目的掌握逆矩阵的概念性质，会应用逆矩阵性质解决问题，理解分块矩阵的概念和基本运算规律，记住阶梯、最简和标准形矩阵，掌握初等变换的概念和性质。作业重点逆矩阵的应用与初等变换的可逆性练习册P14P18的11题到19题。其中：交P15-16,习题12-15难点逆矩阵应用题媒体黑板与投影讲授内容主线应用：对角矩阵多项式和逆阵多项式。分块要平直矩阵可当元素看，关键是可算对角分块求逆是重点。初等变换概念、性质、等价内容概括1.逆阵应用重点是用定义求因式和乘E分项。2.分块：以平直分块的块当元素进行运算可求逆阵并表示方程组。3.阶梯最简标准形，变换可逆生等价。班级：时间：年 月 日；星期 第五讲：逆矩阵与分块矩阵1第五讲：逆矩阵与分块矩阵本次课讲第二章第三节与第四节，下次课讲第三章第一节第二节，请提前预习下次上课时交作业P13-P162一、逆矩阵设给定一个线性变换（1）它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A,若记则线性变换（1）可记作（2）是否存在从Y到X的现行变换，若存在这样的变换，即意味着存在矩阵B，使得(3)（3）表示一个从Y到X的线性变换,称为线性变换(2)的逆变换.由（2）、（3）两式得第五讲：逆矩阵与分块矩阵3定义7 对于 n 阶矩阵 A,若有一个 n 阶矩阵 B,使得 则说 矩阵 A 是可逆的，并称矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.A 的逆矩阵记作即若则1.逆矩阵的定义2.逆矩阵的性质1）唯一性：若矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵一定是唯一的.设 B、C 都是 A 的逆矩阵，则有证：第五讲：逆矩阵与分块矩阵42）非奇异性（1）奇异概念当 时，称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。是可逆矩阵的充分必要条件是（2）定理：证：必要性：若A 可逆即有使得所以即又因为所以有按逆矩阵的定义有充分性：若 设 为矩阵 的伴随矩阵.第五讲：逆矩阵与分块矩阵53）可交换性：若（或），则证 所以 因而 存在，于是证毕说明：该性质不仅说明了可逆的非奇异性，还诠释了一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法方阵的逆矩阵满足下述运算规律（i）若 可逆，则 也可逆，且3.逆矩阵的运算规律：（ii）若 可逆，数0，则 可逆，且第五讲：逆矩阵与分块矩阵6（iii）若 为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且证 即结论成立（iv）若 可逆，则 亦可逆，且证所以有注（1）：方阵的幂的拓展当 时，还可定义这样，当，均为整数时，有存在，（2）若第五讲：逆矩阵与分块矩阵7例1 求方阵逆矩阵.解则 存在.所以教材例11根据求逆矩阵的定理，由此可见，求逆矩阵的运算量是很大的。这在后面还有更好的办法可以解决。4.逆矩阵的计算举例（1）求逆矩阵第五讲：逆矩阵与分块矩阵8例1 利用逆阵解线性方程组解令，（2）逆矩阵解线性方程组第五讲：逆矩阵与分块矩阵9例2第五讲：逆矩阵与分块矩阵10第五讲：逆矩阵与分块矩阵11证：分析：根据乘法公式第五讲：逆矩阵与分块矩阵12第五讲：逆矩阵与分块矩阵13第五讲：逆矩阵与分块矩阵14第五讲：逆矩阵与分块矩阵15第五讲：逆矩阵与分块矩阵16第五讲：逆矩阵与分块矩阵17二、分块矩阵1.分块矩阵的概念将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵如分块法有很多，例如（i）则 可记为第五讲：逆矩阵与分块矩阵18（ii）（iii）（iv）第五讲：逆矩阵与分块矩阵192.分块矩阵的运算规则1.在如上的分块矩阵中，分块后仍是矩阵。子块在矩阵中具有元素的作用，因此，在分块矩阵的运算中若把子块当作元素来看待2.子块本身还是矩阵，因此在分块矩阵运算中，子块间的运算还必须符合矩阵运算的法则。综上，分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。3.运算规则：(1)设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有其中 与 为同型矩阵，那么第五讲：逆矩阵与分块矩阵20(2)设 为数，那么(3)设 A 为ml 矩阵，B 为ln矩阵，分块成其中 的列数分别等于 的行数，那么其中第五讲：逆矩阵与分块矩阵21(4)设 则4.分块对角矩阵：设 A 为 n 阶矩阵，如果A的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即其中 都是方阵，那么称 为分块对角矩阵。分块对角矩阵有下列性质：（b）若则 并有（a)第五讲：逆矩阵与分块矩阵22OO若且子块均可逆，则B 可逆，且同理，容易验证如下结论第五讲：逆矩阵与分块矩阵233.分块运算的作用1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念记 如按分块矩阵的记法或利用矩阵乘法，此方程组可记作将B按列分块第五讲：逆矩阵与分块矩阵24若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作这就相当于把每个方程记作若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作即第五讲：逆矩阵与分块矩阵25例1（2004、4）第五讲：逆矩阵与分块矩阵26第五讲：逆矩阵与分块矩阵27第五讲：逆矩阵与分块矩阵28第五讲：逆矩阵与分块矩阵29第五讲：逆矩阵与分块矩阵30第五讲：逆矩阵与分块矩阵31