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微分方程模微分方程模微分方程模微分方程模 型型徐海学院数学建模徐海学院数学建模3.1 微分方程的几个简单实例微分方程的几个简单实例 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。用的数学工具之一。例例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图从图3-1中不难看出，小球所受的合力为中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律可得：可得：从而得出两阶微分方程：从而得出两阶微分方程：（3.1）这是理想单摆应这是理想单摆应满足的运动方程满足的运动方程 （3.13.1）是一个两阶非线性方程，不是一个两阶非线性方程，不易求解。当易求解。当很小时，很小时，sin，此时，此时，可考察（可考察（3.13.1）的近似线性方程：）的近似线性方程：（3.2）由此即可得出由此即可得出 （3.23.2）的解为）的解为:(t)=0cost 其中其中 当当 时时,(t)=0故有故有MQPmg图图3-1（3.13.1）的）的近似方程近似方程例例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩，潜水艇最哩，潜水艇最大航速为大航速为3030节而巡逻艇最大航速为节而巡逻艇最大航速为6060节，问巡逻艇应如何追赶潜节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。水艇。这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。设巡逻艇在设巡逻艇在A处发现位于处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为为r=r()，见图，见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出，故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然然后按后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。对数螺线航行，即可追上潜艇。追赶方法如下：追赶方法如下：例例3 一个半径为一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在的小孔在t=0时刻被打时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？多少时间？解解:以容器的底部以容器的底部O点为点为 原点，取坐标系如图原点，取坐标系如图3.3所示。所示。令令h(t)为为t时刻容器中水的高度，现建立时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分满足的微分方程。方程。设水从小孔流出的速度为设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：因体积守衡，又可得：因体积守衡，又可得：易见：易见：故有：故有：即：即：这是可分离变量的一阶微分方程，得这是可分离变量的一阶微分方程，得 RxySO图图3-3hr例例4 一根长度为一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端温度恒为温度恒为T1，另一端温度恒为，另一端温度恒为T2，（，（T1、T2为常数，为常数，T1 T2）。金）。金属杆横截面积为属杆横截面积为A，截面的边界长度为，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，它完全暴露在空气中，空气温度为空气温度为T3，（，（T3钍钍234-24天天-钋钋234-6/5分分-铀铀234-257亿亿年年-钍钍230-8万万年年-镭镭226-1600年年-氡氡222-19/5天天-钋钋218-3分分-铅铅214-27分分-钋钋214-铅铅210-20年年-铋铋210-5天天-钋钋210-138天天-铅铅206（一种非放射性物质）（一种非放射性物质）注：时间均为半衰期注：时间均为半衰期 (2)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀。一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断系中的各种放射性物质均在不断衰减，而另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在地衰减，补充着其后继元素。各种放射性物质（除铀以外）在岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地岩石中处于放射性平衡中。根据世界各地抽样测量的资料，地壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之壳中的铀在铀系中所占平均重量比约为百万分之2.7（一般含量（一般含量极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含极微）。各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于量高于23%的。的。简化假定：简化假定：本问题建模是为了鉴定几幅不超过本问题建模是为了鉴定几幅不超过300年的古画，为了使模型年的古画，为了使模型尽可能简单，可作如下假设：尽可能简单，可作如下假设：(1)由于镭的半衰期为由于镭的半衰期为1600年，经过年，经过300年左右，应用微分年左右，应用微分方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的方程方法不难计算出白铅中的镭至少还有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。假定，每克白铅中的镭在每分钟里的分解数是一个常数。(2)铅铅210210的衰变为：的衰变为：铅铅210T=22年年钋钋210铅铅206T=138天天若画为真品，颜料应有若画为真品，颜料应有300年左右或年左右或300年以上的历史，容易证年以上的历史，容易证明：每克白铅中钋明：每克白铅中钋210的分解数等于铅的分解数等于铅210的分解数（相差极微，的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于已无法区别）。可用前者代替后者，因钋的半衰期较短，易于测量测量。建模：建模：(1)记提炼白铅的时刻为记提炼白铅的时刻为t=0，当时每克白铅中铅，当时每克白铅中铅210的分子的分子数为数为y0，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀，由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅与铅的单位时间分解数相同。可以推算出当时每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个。个。若若则则（个）这些铀约重这些铀约重 （克）即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为4%4%以上确定了每克白铅中铅分解数以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但若是小该值，说明画是赝品；但若是小于不能断定画一定是真品。于不能断定画一定是真品。(2)设设t时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210含量为含量为y(t)，而镭的单位时间分，而镭的单位时间分解数为解数为r（常数），则（常数），则y(t)满足微分方程：满足微分方程：由此解得：由此解得：故：故：画中每克白铅所含铅画中每克白铅所含铅210目前的分解数目前的分解数y(t)及目前镭的分解及目前镭的分解数数r均可用仪器测出，从而可求出均可用仪器测出，从而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判断这样的分解数是否合理。断这样的分解数是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作了鉴定，测得数据如下（见表的油画作了鉴定，测得数据如下（见表3-13-1）。）。油画名称油画名称210210分解数（个分解数（个/分）分）镭镭226226分解数（个分解数（个/分）分）1 1、在埃牟斯的门徒、在埃牟斯的门徒 8.5 8.50.80.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看乐谱的女人、看乐谱的女人10.310.30.30.34 4、演演奏奏曼曼陀陀琳琳的的女女人人8.28.20.170.175 5、花边织工、花边织工1.51.51.41.46 6、笑女、笑女5.25.26.06.0计算计算y0（个（个/分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 对对“在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒”，y y0 09805098050（个（个/每克每分钟），它必定是一每克每分钟），它必定是一幅伪造品。类似可以判定（幅伪造品。类似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是赝品。而（）也是赝品。而（5 5）和（）和（6 6）都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的都不会是几十年内伪制品，因为放射性物质已处于接近平衡的状态，这样的平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。平衡不可能发生在十九世纪和二十世纪的任何作品中。判定判定结果：结果：利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳定方法是放射性碳1414测定法，这种方法具有较高的精确度，测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的进行物质交换，使体内的C C1414处于放射性平衡中。一旦有机处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，19501950年年在巴比伦发现一根刻有在巴比伦发现一根刻有HammurabiHammurabi王朝字样的木炭，经测定，王朝字样的木炭，经测定，其其C C1414衰减数为衰减数为4.094.09个个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中C C1414衰减数为衰减数为6.686.68个个/每克每分钟，每克每分钟，C C1414的半衰期为的半衰期为55685568年，年，由此可以推算出该王朝约存在于由此可以推算出该王朝约存在于3900-40003900-4000年前。年前。例例6 6 新产品的推广新产品的推广 经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析度问题。怎样建立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界为K，记，记t时刻已销售出的时刻已销售出的电饭包数量为电饭包数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统，于是由统计筹算律：计筹算律：记比例系数为记比例系数为k k，则则x(t)满足：满足：此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为：还有两个奇解还有两个奇解:x=0和和x=K 对对x(t)求一阶、两阶导数：求一阶、两阶导数：x(t)0，即，即x(t)单调增加。单调增加。令令x(t0)=0，有，有当当tt0时，时，x(t)单调减小。单调减小。在销出量小于最大需求量的一在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。售速度将开始下降。所以初期应采取小批量生产并加所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有以广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期，应该大批量用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。做可以取得较高的经济效果。3.33.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：假设：（i i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。（iiii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不计。星的引力忽略不计。分析：分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:在地面有在地面有:得得:k=gR2 R R为地球半径，为地球半径，约为约为64006400公里公里 故引力故引力:假设(ii)dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有故又有:从而从而:设设g=9.81g=9.81米米/秒秒2 2，得，得:卫星离地面高度卫星离地面高度(公里公里)卫星速度卫星速度(公里公里/秒秒)100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和(t)有：有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），（常数），由动量守恒定理：由动量守恒定理：0 0和和m m0 0一定的情况下，一定的情况下，火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。故：故：由此解得：由此解得：(3.11)（3 3）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）（燃料质量）（iii）mS（结构质量（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为最终质量为mP+mS，初始速度为，初始速度为0，所以末速度：所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。秒。目前根本不目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设：记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占的比例为中占的比例为，假设火，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与与（1-）的比例同时减少。）的比例同时减少。建模建模:由由 得到：得到：解得：解得：理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为：所以最终速度为：只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重即发射一吨重的卫星大约需要的卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第，当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。先作如下假设：先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的）设各级火箭具有相同的,即即i级火箭中级火箭中mi为结构为结构质量，（质量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为并记比值为k k。考虑二级火箭：考虑二级火箭：由由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：该假设有点强加该假设有点强加的味道，先权作的味道，先权作讨论的方便吧讨论的方便吧又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍设仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可，则可得：得：要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使:即即k11.2，而，而:类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭：在同样假设下在同样假设下:要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+m2+m3+mP）/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。级、五级等火箭进行讨论。考虑考虑N N级火箭：级火箭：记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0，在，在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表的值，见表3-2n（级数）（级数）1 2 3 4 5 （理想）（理想）火箭质量（吨）火箭质量（吨）/149 77 65 60 50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案。好的方案。当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计 3 3中已经能说过假设中已经能说过假设(ii)(ii)有点强加的味道；现去掉该有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同假设，在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。结构的最优设计。W1=m1+mn+mP W2=m2+mn+mPWn=mn+mPWn+1=mP记记应用（应用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度：记记则则又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小 解条件极值问题：解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题：可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（我们得到与假设（ii）相）相符的结果，这说明前面的符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！讨论都是有效的！3.43.4 药物在体内的分布药物在体内的分布 何为房室系统？何为房室系统？在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫叫“房室系统房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。联系的部分（多房室系统）。房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为环境有关，这种关系被称为“交换交换”且交换满足着总量且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。法来研究另一问题。交换环境内部单房室系统均匀分布 药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：浓度成正比的，即：药物分布的单房室模型药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：动态平衡中，即成立着关系式：药物的输入规律与给药的方式有药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。见的给药方式下体内药体的变化规律。机体环境药物总量图3-8 假设药物均匀分布情况情况1 1 快速静脉注射快速静脉注射机体环境只输出不输入房室其解为：其解为：药物的浓度：药物的浓度：与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：的时间称为药物的血浆半衰期：负增长率的Malthus模型 在快速静脉注射时，总量为在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：满足微分方程：（3.12）情况情况2 2 恒速静脉点滴恒速静脉点滴 机体环境恒定速率输入房室药物似恒速点滴方式进入体内，即药物似恒速点滴方式进入体内，即:则体内药物总量满足：则体内药物总量满足：（x(0)=0）（3.13）这是一个一阶常系数线性方程，其解为：这是一个一阶常系数线性方程，其解为：或或易见易见：称为稳态血药浓度 对于多次点滴，设点滴时间为对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时，两次点滴之间的间隔时间设为间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后式得出。其后T2时间内为情况时间内为情况1 1。故：。故：（第一次）0tT1 T1tT1+T2 类似可讨论以后各次点滴时类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者不同。第二次点滴起，患者 体内的初始药物浓度不为零。体内的初始药物浓度不为零。情况情况3 3 口服药或肌注口服药或肌注 y(t)x(t)K1yK1x环境机体外部药物 口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为量药物的数量成正比，记比例系数为K1，即若记，即若记t时刻残留药物时刻残留药物量为量为y(t)，则，则y满足：满足：D为口服或肌注药物总量 因而：因而：所以：所以：解得：解得：从而药物浓度：从而药物浓度：图图3-93-9给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同。时间也不尽相同。图3-9 我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C C(t t)，当然也，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小新药品、新疫苗在临床应用前必须经过较长时间的基础研究、小量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫量试制、中间试验、专业机构评审及临床研究。当一种新药品、新疫苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何苗研制出来后，研究人员必须用大量实验搞清它是否真的有用，如何使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员使用才能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特要测定模型中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给点找出最佳治疗方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在药次数等），这些研究与试验据估计最少也需要数年时间。在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出（非典）流行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗一种能治疗SARSSARS的良药或预防的良药或预防SARSSARS的有效疫苗来，但这只能是一种空的有效疫苗来，但这只能是一种空想。想。SARSSARS的突如其来，形成了的突如其来，形成了“外行不懂、内行陌生外行不懂、内行陌生”的情况。国内的情况。国内权威机构一度曾认为这是权威机构一度曾认为这是“衣原体衣原体”引起的肺炎，可以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARSSARS的控制与治疗丝毫不起作用。的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权威，坚持认为SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，两个月后（感染引起的肺炎，两个月后（4 4月月1616日），世界卫生组织正式确认日），世界卫生组织正式确认SARSSARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故上述研究是将机体看成一个均匀分布的同质单元，故被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血被称单房室模型，但机体事实上并不是这样。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模换进入各个器官。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关系，这就需要多房室系统模型。这就需要多房室系统模型。IIIk12k21两房室系统图3-10 图图3-103-10表示的是一种常见的两房室模型，表示的是一种常见的两房室模型，其间的其间的k k1212表示由室表示由室I I渗透到室渗透到室IIII的变化率前的的变化率前的系数，而系数，而k k2121则表示由室则表示由室IIII返回室返回室I I的变化率前的变化率前的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其的系数，它们刻划了两室间的内在联系，其值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际值应当用实验测定，使之尽可能地接近实际情况。情况。当差异较大的部分较多当差异较大的部分较多时，可以类似建立多房时，可以类似建立多房室系统，即室系统，即N N房室系统房室系统 3.53.5 传染病模型传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。流行，并建立起相应的多房室模型。医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。问题的提出：问题的提出：设某地区共有设某地区共有n+1人，最初时刻共有人，最初时刻共有i人得病，人得病，t时刻已时刻已感染（感染（infective）的病人数为）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给位时间内将疾病传播给k个人（个人（k称为该疾病的传染强度），称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复且设此疾病既不导致死亡也不会康复模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大体上反映了传染病流行初期模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。推移，将越来越偏离实际情况。已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。则不加任何区分，来建立两房室系统。则可导出：则可导出：故可得：故可得：（3.1）模型模型2 记记t时刻的病人数与易感染人数时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为分别为i(t)与与s(t)，初始时刻的病人数为，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复。根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，的假设及（竞争项）统计筹算律，其中：其中：解得：解得：（3.17）可得：可得：（3.16）统计结果显示，统计结果显示，(3.17)(3.17)预报结果比预报结果比(3.15)(3.15)更接近实际情况。医学上称曲线更接近实际情况。医学上称曲线 为传染病为传染病曲线，并称曲线，并称 最大值时刻最大值时刻t1为此传染病的流行为此传染病的流行高峰。高峰。令：令：得：得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。模型模型2 2仍有不足之处，它仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。病，与实际情况不符。为了使模型更精为了使模型更精确，有必要再将确，有必要再将人群细分，建立人群细分，建立多房室系统多房室系统infectiverecoveredsusceptiblekl（3.18）l 称为传染病恢复系数 求解过程如下：求解过程如下：对（对（3）式求导，由（）式求导，由（1）、（）、（2）得：）得：解得：解得：记：记：则：则：将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染者和已恢复者（者和已恢复者（recovered）。分别记）。分别记t时刻的三类人数时刻的三类人数为为s(t)、i(t)和和r(t)，则可建立下面的三房室模型：，则可建立下面的三房室模型：模型模型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得：从而解得：从而解得：积分得：积分得：（3.19）不难验证，当t+时，r(t)趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。为揭示产生上述现象的原因（为揭示产生上述现象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改写成：）式改写成：其中其中 通常是一个与疾病种类有关的通常是一个与疾病种类有关的较大的常数。较大的常数。下面对下面对 进行讨论，请参见右图进行讨论，请参见右图如果如果 ，则有则有 ，此疾病在该地区根本流行不起，此疾病在该地区根本流行不起来。来。如果如果 ，则开始时，则开始时 ，i(t)单增。但在单增。