概率统计课件第二章.ppt
2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度 一、随机变量的概念 定义21(随机变量)定义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量 在掷骰子的实验中 其出现的点数记为随机变量X 则X作为样本空间 1 2 3 4 5 6上的函数定义为 X()随机变量举例 一、随机变量的概念 定义21(随机变量)定义在概率空间(P)上 取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量 在投掷一枚硬币进行打赌时 出现正面时投掷者赢一元钱 出现反面时输一元钱 记赢钱数为随机变量X 则X作为样本空间 正面 反面上的函数定义为随机变量举例 二、离散型随机变量的概率分布 定义22(离散型随机变量)设X是定义在概率空间(P)上的一个随机变量 如果X的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个 则称X是一个离散型随机变量 设X是离散型随机变量 其全部可能取值为xi i1 2 记 P(xi)PXxi,i1,2,(21)则称p(xi)i1 2 为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表 定义23(概率分布)概率分布的性质 任何一个离散型随机变量的概率分布p(xi)必然满足下列性质 1 p(xi)0 i1 2 (22)例 21 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即 于是X的概率分布为 解 (1)由于(2)由于 例22 设离散型随机变量X的概率分布为 分别求上述各式中的常数a 例23 设X的概率分布为 求PX1 PX1 PX2 PX25 PX3 PX4 解 PX1PX3 PX4PX1PX2PX3 1 PX1PX2PX310 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x)分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性 F(x0)F(x)若函数Fx)满足上述三条性质 则它一定是某个随机变量X的分布函数 说明 三、分布函数 定义24(分布函数)设X是一随机变量 则称函数 F(x)PXx x()(29)为随机变量X的分布函数 记作X F(x)分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质 若x1 x2 则F(x1)F(x2)(1)单调性 (3)右连续性 F(x0)F(x)因此 通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数 F(x)PXx 例2.5 等可能地在数轴上的有界区间a b上投点 记X为落点的位置数轴上的坐标 已知当(c da b时 有求随机变量X的分布函数 解 当xb时 F(x)PXx0 当xa时 当axb时 F(x)PXx 综上 可得X的分布函数为 四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值 其概率分布为 解 于是 当x0 时 F(x)PXx0 例 26 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即求其分布函数 当0 x1时 F(x)PXx 当x1时 F(x)PXx PX0PX11 综上 X的分布函数为 四、离散型随机变量的分布函数 X只有两个可能取值 其概率分布为 解 例 26 投掷一枚均匀硬币 设X为一次投掷中出现正面的次数 即求其分布函数 离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值保持不变 反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率 四、离散型随机变量的分布函数 由于F(x)是一个阶梯形函数 故知X是一个离散型随机变量 F(x)的跳跃点分别为1 2 3 对应的跳跃高度分别为 解 例27 设随机变量X的分布函数为 求X的概率分布 故X的概率分布为 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 密度函数的性质 密度函数具有下列性质(1)f(x)0 x()说明 反过来 可以证明 一个函数满足上述两个性质 一定可以作为某一连续型随机变量的密度函数 五、连续型随机变量及其概率密度 定义25(密度函数)一个随机变量X称为连续型随机变量 如果存在一个非负可积函数f(x)使得并称f(x)为X的概率密度函数 简称为密度函数 事件的概率与密度函数的关系 (2)连续型随机变量X落于点x上的概率为 PXx0 (213)(1)连续型随机变量X落于区间(a b上的概率为 例28 设X是在a b上等可能投点的位置 其分布函数为试由分布函数求其密度函数 X的密度函数为 解 在xa和xb处 F(x)的导数不存在 可补充定义这两点的密度为
