概率论第一章例题.ppt

例例3指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立,并说明理由并说明理由:(1)(2)(3)(4)解解(1)成立成立.(分配律分配律)(2)不成立不成立.若若发生发生,则必有则必有发生发生,但是但是不发生不发生,从而从而不发生不发生,故二者不等故二者不等.(3)不成立不成立.若若发生发生,即有即有发生发生.必然不发生必然不发生,从而从而不发生不发生,(4)成立成立.例例4化简下列事件化简下列事件:(2)(1)解解(1)(分配律分配律)(因因)(2)(交换律交换律)(结合律结合律)(对偶律对偶律)(2)例例 2 已知已知求求(1)(2)(3)(4)解解(1)因为因为与与互不相容的互不相容的,故有故有于是于是(2)(3)(4)例例 3解解记事件记事件则则只订一种报只订一种报又这两件事是互不相容的又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性由概率加法公式及性质质 3,有有某城市中发行某城市中发行 2 种报纸种报纸经调查经调查,在这在这2 种报种报纸的订户中纸的订户中,订阅订阅报的有报的有45%,订阅订阅报的有报的有35%,同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸的有的有10%,种报纸的概率种报纸的概率求只订一求只订一 医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇摇头头：“你你的的病病很很重重，在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.”当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说：“但但你你是是幸幸运运的的因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请同学们思考请同学们思考.练习练习 已知已知求下列事件的概率求下列事件的概率解解3.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模型摸球模型(1)无放回地摸无放回地摸球球问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球,现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解基本事件总数为基本事件总数为A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为不考虑顺序不考虑顺序(2)有放回地摸有放回地摸球球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放回现从袋中有放回地摸球地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球的概次摸到红球的概率率.解解第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球.4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为(2)每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球,求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率.解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为例例3 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到的问取到的整数既不能被整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是多少整除的概率是多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解于是所求概率为于是所求概率为例例4 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为 假设某班有假设某班有N位同学，有位同学，有a张电影票，采用抓阄张电影票，采用抓阄的办法发放电影票，求第的办法发放电影票，求第k个同学抽到电影票的概率个同学抽到电影票的概率练习练习解解全部抽完全部抽完(考虑顺序考虑顺序)前前k个人抽完个人抽完(考虑顺序考虑顺序)全部抽完全部抽完(不考虑顺序，只考虑有票的位置不考虑顺序，只考虑有票的位置)只考虑第只考虑第k个人个人练习练习 甲、乙两人约定在下午甲、乙两人约定在下午1 时到时到2 时之间到时之间到某某站乘公共汽车站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定如果甲、乙约定(1)见车就乘见车就乘;(2)最多等一辆最多等一辆车车.求甲、乙同乘一车的概率求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在刻是互相不牵连的，且每人在 1 时到时到 2 时的任何时刻到达车时的任何时刻到达车站是等可能的站是等可能的.见车就乘见车就乘的概率为的概率为设设 x,y 分别为分别为甲、乙两人到甲、乙两人到达的时刻达的时刻,则有则有解解最多等一辆车最多等一辆车,甲、乙甲、乙同乘一车的概率为同乘一车的概率为例例1 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有其中有3 只一等品、只一等品、1只只二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回作不放回抽样抽样.设事件设事件A=“第一次取到一等品第一次取到一等品”、事件、事件B=“第第二次取到一等品二次取到一等品”试求条件概率试求条件概率 P(B|A).解解由条件概率的公式得由条件概率的公式得解法二解法二 在缩减的样本空间中考察事件在缩减的样本空间中考察事件B解法三解法三直接由题意直接由题意解得解得例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8,活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4,如果现在有一个如果现在有一个20岁的岁的这种动物这种动物,问它能活到问它能活到25岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少?设设 事件事件A=“能活能活 20 岁以上岁以上”，B=“能能活活 25 岁以上岁以上”,则有则有解解 解解例例3此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.例例4 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落第二次落下打破的概率为下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未试求透镜落下三次而未打破的概率打破的概率.解解以以B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.例例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30%，二厂生产的占，二厂生产的占 50%，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例例2 五个阄五个阄,其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字，字，三个阄内不写字三个阄内不写字，五人依次抓取，五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相同字阄的概率是否相同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关?依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.例例2解解(1)由由全概率公式得全概率公式得(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得类似可得类似可得解解例例3 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为概率概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的,叫做叫做先验概率先验概率.得到信息之后再重新加以修正的概率得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.思路思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关由于抽到的表与来自哪个地区有关,故故此此题要用全概率公式来讨论题要用全概率公式来讨论.例例4解解又因为又因为思路思路 为了求系统的可靠性为了求系统的可靠性,分两种情况讨论分两种情况讨论:例例5解解所以所以备备 用用 例例 题题例例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞问击落飞机的概率是多少机的概率是多少?解解事件事件 B=“击落飞机击落飞机”,三、例题讲解三、例题讲解例例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被飞机被一人击中而被击落的概率为击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必被击落若三人都击中飞机必被击落,求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.解解 设设A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机,因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为例例6 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自自该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是件乐器的测试是相互独立的相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认件中至少有一件在测试中被认为音色不纯为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音件是音色不纯的色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解于是有于是有例例7一条自动生产线上的产品一条自动生产线上的产品,次品率为次品率为 4%,求求:(1)从中任取从中任取 10 件件,至少有两件次品的概率至少有两件次品的概率;(2)一次取一次取 1 件件,无放回地抽取无放回地抽取,求当取到第二件次求当取到第二件次品时品时,之前已取到之前已取到 8 件正品的概率件正品的概率.解解(1)由于一条自动生产线上的产品很多，由于一条自动生产线上的产品很多，当抽取的当抽取的件数相对较少时件数相对较少时,可将无放回抽取近似看成有放回抽取可将无放回抽取近似看成有放回抽取设设 A=“A=“任取任取 1 件是次品件是次品”,B=“10”,B=“10件中至少两件次品件中至少两件次品”则则=“第二次抽到次品时，已取到第二次抽到次品时，已取到8件正品件正品”(2)=“前九次抽一件次品，前九次抽一件次品，8件正品件正品”，=“第十次抽一件次品第十次抽一件次品”D=EF例例8一个医生知道某种疾病患者一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为自然痊愈率为0.25,为试验一种新药是否有效为试验一种新药是否有效,把它给把它给 10 个病人服用个病人服用,且规定若且规定若10个病人中至少有四个治好个病人中至少有四个治好,则认为这种则认为这种药有效药有效,反之则认为无效反之则认为无效,求求:(1)虽然新药有效虽然新药有效,且把痊愈率提高到且把痊愈率提高到 0.35,但通过但通过试验却被否定的概率试验却被否定的概率.(2)新药完全无效新药完全无效,但通过试验却被认为有效的概率但通过试验却被认为有效的概率.解解(1)“通过试验新药被否定通过试验新药被否定”,设设 “通过试验判断新药有效通过试验判断新药有效”,(2)例例9 一辆飞机场的交通车载有一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客名乘客途经途经 9个站个站,与与“第第 站停车站停车”两个事件是否独立两个事件是否独立.解解每位乘客都等可能在这每位乘客都等可能在这 9 站中任意一站下车站中任意一站下车(且不受且不受其他乘客下车与否的影响其他乘客下车与否的影响),交通车只在有乘客下车时交通车只在有乘客下车时才停车才停车,求交通车在第求交通车在第 站停车的概率以及在第站停车的概率以及在第 站站不停车的条件下第不停车的条件下第 站停车的概率站停车的概率,记记=“第第 站停车站停车”,=“第第 站停车站停车”,”,则则若若 不发生，不发生，每位乘客均等可能地在另外每位乘客均等可能地在另外8站下车，站下车，因因故故 与与 不独立不独立,从而从而 与与 不独立不独立.判断判断“第第 站停车站停车”解解(1)设需配置设需配置门炮门炮.=“高炮击中飞机高炮击中飞机”,例例10高某型号炮高某型号炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发现若干门炮同时各射一发,(1)需配置几门炮需配置几门炮?(2)现有现有 3 门炮门炮,欲以欲以 99%的把握击中一架来犯的的把握击中一架来犯的问问:欲以欲以 99%的把握击中一架来犯的敌机的把握击中一架来犯的敌机至少至少敌机敌机,问问:每门炮的命中率应提高到多少每门炮的命中率应提高到多少?=“敌敌机被击落机被击落”,由由即即解得解得故至少应配置故至少应配置 6 门炮才能达到要求门炮才能达到要求.(2)设命中率为设命中率为由由得得解此不等式得解此不等式得从而得从而得即每即每门炮的命中率至少应为门炮的命中率至少应为 0.785.第一章第一章 综合综合事件的运算事件的运算:(2)下列等式成立吗？下列等式成立吗？(1)化简下列事件化简下列事件解解(1)练习练习1(2)练习练习2已知已知求下列事件的概率，求下列事件的概率，A与与B独立吗？独立吗？解解A与与B不独立不独立如图是一个串并联如图是一个串并联的元件的元件.它们下方的数字它们下方的数字是它们各自正常工作的概率是它们各自正常工作的概率,求电路系统的可靠性求电路系统的可靠性.电路系统电路系统.都是电路中都是电路中解解其中其中代入得代入得练习练习3