正态总体均值与方差的区间估计).ppt

求求区区间间估估计计的的核核心心在在于于求求枢枢轴轴量量，一一般般分分布布的的枢枢轴轴量量是是比比较较难难确确定定的的，因因此此我我们们主主要要考考虑虑总总体体为为正正态态分布时参数的区间估计分布时参数的区间估计7.4.1 单个总体的情形单个总体的情形 （一）（一）正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计 设设X1，X2，Xn为为XN(，2)的的样样本本，对对给给定定的的置置信信水水平平1 ，0 1，研研究究参参数数 的的区区间间估估计计7.4 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计 1.2已知时，已知时，的置信区间的置信区间 由于由于 是是 的无偏估计，且有的无偏估计，且有容易想到将容易想到将 作为求作为求 的置信区间的枢轴量的置信区间的枢轴量对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，由右图易知由右图易知 即即 正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计 根据定义根据定义7.4，得到得到 的一个置信水平的一个置信水平为为1 的置信区间的置信区间 正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计2.2未知时，未知时，的置信区间的置信区间 2未未知知时时，不不能能再再用用 作作为为求求 的的置置信信区间的枢轴量，因为其中含有另一个未知参数区间的枢轴量，因为其中含有另一个未知参数 2 考虑到考虑到S2是是 2的无偏估计，可以用的无偏估计，可以用S2代替代替 2，由定理由定理6.3知知 所以，可以选用所以，可以选用 作为枢轴量作为枢轴量正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计由右图，类似上面的过程，由右图，类似上面的过程，可以得到可以得到 的一个置信水平为的一个置信水平为1 的置信区间的置信区间【例例】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，现现从从一一批批灯灯泡泡中中抽抽取取16只只，测测得得其其寿寿命命（单单位位：小小时时）如如下下所所示：示：1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 14601480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470求求该该灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命90%、95%及及99%的的置置信信区区间间，并指出置信区间长度与置信水平的关系并指出置信区间长度与置信水平的关系 解：解：用用X表示灯泡的寿命，设表示灯泡的寿命，设XN(，2)，由于由于 2未知未知,用用 计算计算 的置信区间的置信区间其中其中n=16,正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计分别取分别取 =0.1，=0.05，=0.01，查表得查表得 t0.05(15)=1.7531，t0.025(15)=2.1315，t0.005(15)=2.9467分别代入分别代入 ,计计算算得得到到灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命 的的90%、95%及及99%的的置置信信区区间间分分别别为为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20)和和(1471.76,1508.24),其其长长度度分分别为别为21.7,26.4和和36.48可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计（二）（二）正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计 设设X1，X2，Xn为为来来自自XN(，2)的的样样本本，对对给给定定的的置置信信水水平平1 ，0 1，我我们们来来研研究究参参数数 2的区间估计的区间估计1.已知时，已知时，2的置信区间的置信区间 由于由于XN(，2)，所以，所以 ，取枢轴量取枢轴量由由于于 2概概率率密密度度不不是是对对称称的的,对对给给定定的的置置信信水水平平1 ,不容易找到最短的置信区间不容易找到最短的置信区间,习惯上仍取对称形习惯上仍取对称形式的分位点式的分位点 和和 ,如下图，如下图，使使即即根据定义根据定义7.4，得到，得到 2的一个的一个置信水平为置信水平为1 的置信区间：的置信区间：的一个置信水平为的一个置信水平为1 的的置信区间：置信区间：正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计2.未知时，未知时，2的置信区间的置信区间 由于由于 未知，不能再用未知，不能再用 作为枢轴量作为枢轴量,考虑用考虑用 代换代换，由定理，由定理6.3知知所以，可以取所以，可以取 作为枢轴量作为枢轴量.类类似似 已已知知的的情情形形，容容易易得得到到 2的的一一个个信信水水平平为为1 的置信区间为的置信区间为即即 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计即即 s的一个置信水平为的一个置信水平为1 的置信区间为的置信区间为正态总体均值和方差的置信区间与后面讲到的正态总体均值和方差的置信区间与后面讲到的单侧置信限一并放入表单侧置信限一并放入表7.1中中 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计 被估被估参数参数条件条件枢枢轴轴量及其分布量及其分布参数的置信区参数的置信区间间单侧单侧置信限置信限 2 2已知已知 2 2未知未知表表7.1 正态总体均值和方差的置信区间与单侧置信限正态总体均值和方差的置信区间与单侧置信限 被被估估参参数数条件条件枢枢轴轴量及其分布量及其分布参数的置信区参数的置信区间间单侧单侧置信限置信限 2 2已知已知未知未知（一）两个正态总体均值差的区间估计（一）两个正态总体均值差的区间估计 设设X1,X2,Xn1为为来来自自总总体体XN(1,12)的的样样本本，Y1,Y2,Yn2为为来来自自总总体体YN(2,22)的的样样本本，且且两两样样本本相相互互独独立立，其其样样本本均均值值分分别别记记为为 和和 ，其其样样本本方差分别记为方差分别记为S12和和S22.我们来研究参数我们来研究参数 1 2的区间估计的区间估计1.12和和 22已知时，已知时，1 2的置信区间的置信区间 由定理由定理6.4知知 取枢轴量取枢轴量7.4.2 两个正态总体的情形两个正态总体的情形对对给给定定的的置置信信水水平平1 ，由由标标准准正正态态分分布布上上 分分位位点的定义，易知点的定义，易知即即于于是是，我我们们得得到到 1 2的的一一个个置置信信水水平平为为1 的的置信区间置信区间 两正态总体均值差的区间估计两正态总体均值差的区间估计说明说明:实实际际应应用用中中两两个个总总体体方方差差的的信信息息往往往往是是未未知知的的,在在两两个个样样本本容容量量都都比比较较大大的的情情况况下下(n1,n2 30)，一一般般采采用用两两个个样样本本方方差差S12和和S22近近似似代代替替 12和和 22，于于是是，1 2的的一一个个置置信信水水平平为为1 的的置置信信区区间间可可以由以由 近似得到近似得到两正态总体均值差的区间估计两正态总体均值差的区间估计2.12和和 22未知未知,但知但知 12=22=2时时,1 2的置信区间的置信区间由定理由定理6.4，当，当 12=22=2时，时，其中其中取枢轴量取枢轴量易知，易知，1 2的一个置信水平为的一个置信水平为1 的置信区间为的置信区间为 两正态总体均值差的区间估计两正态总体均值差的区间估计（二）（二）两正态总体方差比的区间估计两正态总体方差比的区间估计 设设X1,X2,Xn1为为来来自自总总体体XN(1,12)的的样样本本，Y1,Y2,Yn2为为来来自自总总体体YN(2,22)的的样样本本，且且两两样样本本相相互互独独立立，其其样样本本均均值值分分别别记记为为 和和 ，其其样本方差分别记为样本方差分别记为S12和和S22.我们来研究参数我们来研究参数 的区间估计的区间估计仅对仅对 1，2未知的情况，求未知的情况，求 的置信区间的置信区间由定理由定理6.5知知 取枢轴量取枢轴量 对对给给定定的的置置信信水水平平1 ，由由F分分布布上上 分分位位点点的的定定义义，易知易知即即于是，我们就得到的一个置信水平为于是，我们就得到的一个置信水平为1 的置信区间的置信区间 两正态总体方差比的区间估计两正态总体方差比的区间估计7.4.3 7.4.3 单侧置信区间估计单侧置信区间估计上述置信区间中置信限都是双侧的上述置信区间中置信限都是双侧的.但但对对于于有有些些实实际际问问题题，人人们们关关心心的的只只是是参参数数在在一一个个方向的界限方向的界限例例如如，购购买买化化学学药药品品时时，我我们们所所关关心心的的是是化化学学药药品品中杂质含量平均值最多是多少，即中杂质含量平均值最多是多少，即“上限上限”；而而购购买买电电子子产产品品时时更更关关心心的的是是它它们们的的平平均均使使用用寿寿命命至少是多少，即至少是多少，即“下限下限”这就引出了单侧置信区间的概念这就引出了单侧置信区间的概念 定定义义7.6 设设X1，X2，Xn为为总总体体X的的一一个个样样本本，对于总体对于总体X的未知参数的未知参数,如果有两个统计量如果有两个统计量 ,对对给给定定的的(0,1)，(1)若若有有 则则称称区区间间 是是的的一一个个置置信信水水平平为为1 的的单单侧侧置置信信区区间间，称称 为为单单侧侧置置信上限信上限 (2)若若有有 ，则则称称区区间间 是是的的一一个个置置信信水水平平为为1 的的单单侧侧置置信信区区间间，称称 为为单单侧侧置置信下限信下限 单侧置信区间单侧置信区间 单单侧侧置置信信区区间间的的求求法法与与双双侧侧置置信信区区间间的的求求法法类类似似，下下面面仅仅给给出出求求正正态态总总体体均均值值和和方方差差的的单单侧侧置置信信区区间间的的部分过程，其他各种情况只将结果列入表部分过程，其他各种情况只将结果列入表7-1 设设X1,X2,Xn为为XN(，2)的的样样本本，我我们们来来分别研究参数分别研究参数，2的单侧置信区间的单侧置信区间 (1)2未知时，未知时，的单侧置信区间的单侧置信区间由于枢轴量由于枢轴量 对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，如图，如图7-9有有即即 单侧置信区间单侧置信区间 单侧置信区间单侧置信区间 根根据据定定义义，我我们们就就得得到到了了 的的一一个个置置信信水水平平为为1 的单侧置信区间的单侧置信区间 的置信水平为的置信水平为1 的单侧置信上限为的单侧置信上限为考虑考虑 如如图图易易知知，的的另另一一个个置置信信水水平平为为1 的的单单侧侧置置信信区间为区间为 的置信水平为的置信水平为1 的单侧置信下限为的单侧置信下限为 (2)未知时，未知时，2的单侧置信区间的单侧置信区间由于枢轴量由于枢轴量对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，如图有，如图有即即于于是是，得得到到了了 2的的一一个个置置信信水水平平为为1 的的单单侧侧置置信区间信区间 ，即，即 单侧置信区间单侧置信区间 2的一个置信水平为的一个置信水平为1 的单的单侧置信上限为侧置信上限为 考虑考虑 ，如如图图所所示示，易易知知，2的的另另一一个个置置信信水水平平为为1 的的单单侧置信区间为侧置信区间为 即即 2的一个置信水平为的一个置信水平为1 的单侧置信下限为的单侧置信下限为 单侧置信区间单侧置信区间作业 P147 习题7.2 5 P159 习题7.4 2、3、6