概率论与数理统计-概率的运算法则.ppt

1.3 概率的基本运算法则概率的基本运算法则1.1.概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式2.2.条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性1 11.1.概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式定理定理定理定理 若事件若事件A A，B B互不相容，则互不相容，则 称为称为概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式概率的加法公式证明证明证明证明：（仅就古典概型证明）（仅就古典概型证明）设在某一条件下将试验重复进行设在某一条件下将试验重复进行 n n次，即基本事次，即基本事件总数为件总数为n.n.其中事件其中事件A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为 m m1 1，事，事件件B B包含的基本事件数为包含的基本事件数为 m m2 2，2 2由古典概率的定义得由古典概率的定义得:P（A）=，P（B）=由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为 m1+m2同样由古典概率的定义有故概率的加法公式成立3 3 推广推广推广推广：若事件若事件 两两互不相容，则两两互不相容，则4 4推论推论推论推论1 1 1 1 事件事件A A的对立事件的对立事件 的概率为的概率为 证明证明证明证明：5 5例例例例:一批产品共一批产品共5050件，其中有件，其中有5 5件是次品，从这批产品中任取件是次品，从这批产品中任取3 3件，求其中有次品的概率件，求其中有次品的概率 解法解法解法解法1 1 设设A=A=取到的取到的3 3件产品中有次品件产品中有次品；A Ai i=取到的取到的3 3件产品件产品中恰有中恰有i i件次品件次品(i=1,2,3)(i=1,2,3)则则由定理得由定理得 6 6解法解法2 设设A=取到的3件产品中有次品；=取到的3件产品中无次品，则根据定理的推论得7 7证明证明:由A B知A=B(A-B)，且B(A-B)=,推论推论2:2:设A,B是两个事件，若A B，则有 P(A-B)=P(A)-P(B)因此由概率的有限可加性得 P(A)=P(B)+P(A-B)从而有 P(A-B)=P(A)-P(B)BA-BA8 8BA定理定理定理定理 设设A A，B B为任意两事件，则为任意两事件，则 证明：证明：证明：证明：因为因为A+B=A+B=，并且，并且 与与B B互不相容，互不相容，于是于是又由于又由于 AB9 9对于三个随机变量，类似地有对于三个随机变量，类似地有 P(A P(A1 1+A+A2 2+A+A3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(A3 3)-P(A)-P(A1 1A A2 2)-P(A -P(A1 1A A3 3)-)-P(AP(A2 2A A3 3)+P(A)+P(A1 1A A2 2A A3 3)于是有因此则1010(1)有有放放回回抽抽样样：第一次取一件产品观察其是否合格后放回袋中，第二次再取一件产品.(2)不不放放回回抽抽样样：第一次取一件产品后不放回袋中，第二次再取一件产品.试由上面两种抽样方法，求：1.取到两件合格品的概率;2.取到两件相同质量产品的概率;3.取到的两件产品中至少有一件合格品的概率.例例例例:一只口袋中，装有10件同类晶体管，其中有8件合格品，2件次品。从口袋中取产品2次，每次取一件，考虑两种情况：1111解解:设A=取到两件合格品,B=取到两件次品,C=取到两件相同质量的产品,D=取到的两件产品中至少有一件合格品(1)(1)有有放放回回抽抽样样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方法,第二次从10件产品中抽1件也有10种抽取方法,故有1010种可能的取法.每一种取法是一基本事件,且发生的可能性是相同的.所以基本事件总数为n=1010=100.使A发生的基本事件是第一次抽到合格品,且第二次也抽到合格品,共有mA=88=64种取法.于是P(A)=mA/n=64/100同理，B包含的基本事件数mB=22=4.所以 P(B)=mB/n=4/100由于C=A+B，且AB=，所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.64+0.04=0.68 P(D)=1-P(B)=1-0.04=0.961212(2)(2)不不放放回回抽抽样样:第一次从10件产品中抽1件有10种抽取方法，第二次从9件产品中抽1件有9种抽取方法，故有109种可能的取法。所以样本空间的基本事件总数为n=109=90.两次均抽到合格品共有mA=87=56种取法，即A包含的基本事件数为56，于是P(A)=56/90同理，B包含的基本事件数mB=21=2.所以 P(B)=2/90由于C=AB，且AB=，所以 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=0.622+0.022=0.644 P(D)=1-P(B)=1-0.022=0.9781313例例 袋中装有红、白、黑球各一个，每次从袋中任取一个球，记录其颜色以后再放回袋中，这样连取3次（有放回地有放回地抽取）。求3次都没有取到红球或或3次都没有取到白球的概率。解解 设A=3次没有取到红球，B=3次都没有取到白球则 AB=3次既没有取到红球又又没有取到白球所求的概率为P(A+B).则14142.条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性例例例例 袋中装有袋中装有1616个球，其中个球，其中6 6个是玻璃球，另外个是玻璃球，另外1010个个是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，4 4个是蓝色；个是蓝色；塑料球中塑料球中3 3个是红色，个是红色，7 7个是蓝色。现从中任取一个是蓝色。现从中任取一个球，个球，设设 A=A=取到蓝色球取到蓝色球，B=B=取到玻璃球取到玻璃球 AB=AB=取到蓝色的玻璃球取到蓝色的玻璃球 则则 P(A)=11/16 P(B)=6/16 P(A)=11/16 P(B)=6/16 P(AB)=4/16 P(AB)=4/161515 而在实际问题中，除了要知道事件B发生的概率外，有时还需要知道在“事件A发生”的条件下，事件B发生的概率，这个概率称为条件概率条件概率，记为P(B|A).在此，我们在已知取到蓝色球的条件下，求该球是玻璃球的概率。将袋中球的分类情况列表如下：玻璃玻璃塑料塑料合计合计红红2 23 35 5蓝蓝4 47 71111合计合计6 6101016161616 因为已知取到的是蓝色球，故此时的样本空间由11个基本事件组成，而11个蓝色球中有4个是玻璃球，所以P(B|A)=4/11.在事件A已发生的条件下，原来的样本空间（16个基本事件）被缩小。1717定义定义:设A,B是两个事件，且P(A)0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率.条件概率是指在事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记用P(B|A).1818类似地，可定义在事件B发生的条件下事件A发生的概率为1919条件概率满足概率公理化条件概率满足概率公理化定义中的三条公理定义中的三条公理（1)非负性：对于每一事件A，有0P(A|B)1;(2)规范性：P(|B)=1;(3)可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容事件，则有2020例例例例:将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A=至少有一次为正面H，事件B=两次掷出同一面，求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率.解解 样本空间为=HH,HT,TH,TT，A=HH,HT,TH，B=HH,TT，AB=HH.则有 P(B|A)=1/3 P(A)=3/4 P(AB)=1/4 2121例例:设100件产品中有5件次品，从中任取两次，每次取一件，作不放回抽样不放回抽样.设A=第一次抽到合格品，B=第二次抽到次品，求P(B|A).解解 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回)，其样本空间的基本事件总数为n=10099，使AB发生的基本事件数为m=955.于是 P(AB)=(955)/(10099)，又P(A)=95/100故有 P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/992222解解 依题意2323例例:考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）解解：设B表示有男孩，A 表示有两个男孩，B1表示第一个是男孩，我们有=(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)A=（男，男）B=（男，男），（男，女），（女，男）B1=（男，男），（男，女）2424于是得 所求的两个条件概率为 2525乘法公式乘法公式 由条件概率的定义可得：由条件概率的定义可得：P(AB)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(B)P(A|B)（当当P(B)P(B)0 0时时)或或 P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)（当（当P(A)P(A)0 0时）时）此二公式称为概率的此二公式称为概率的乘法公式乘法公式乘法公式乘法公式 注注注注：当当P(AB)P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用不容易直接求得时，可考虑利用P(A)P(A)与与P(B|A)P(B|A)的乘积的乘积或或或或P(B)P(B)与与P(A|B)P(A|B)的乘积间接求得。的乘积间接求得。2626乘法公式的推广乘法公式的推广 设 为任意n个事件，当n 2 且 ，则有 2727例例例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为4 4，正品中一等品率为，正品中一等品率为7575，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。到一等品的概率。解解解解 设设A A 取到一等品取到一等品，B B 取到次品取到次品，取到正品取到正品 ，则则 由于由于 故故 于是于是 2828例例:设设某某光光学学仪仪器器厂厂制制造造的的透透镜镜，第第一一次次落落下下时时打打破破的的概概率率为为1/21/2；若若第第一一次次落落下下未未打打破破，第第二二次次落落下下时时打打破破的的概概率率为为7/107/10；若若前前二二次次落落下下未未打打破破，第第三三次次落落下下时时打打破破的的概概率率为为9/10.9/10.试试求求透透镜镜落落下下三次而未打破的概率三次而未打破的概率.解解1 1:设Ai=透镜第i次落下未打破(i=1,2,3)，B=透镜落下三次而未打破，则B=A1A2A3，故有 P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/20029293030例例例例:一一个个盒盒子子中中有有n(n1)n(n1)只只晶晶体体管管，其其中中有有一一只只次次品品，随随机机地地取取一一只只测测试试，直直到到找找到到次次品品为为止止.求求在第在第k(1kn)k(1kn)次测试出次品的概率次测试出次品的概率.解解:设Ai=第i次测试的是正品 Bk=第k次测试到次品，则 3131例例例例 在在100100件产品中有件产品中有3 3件次品，现从中连取两次，件次品，现从中连取两次，每次取一件，取后不放回，试求下列事件的概率：每次取一件，取后不放回，试求下列事件的概率：(1)(1)两次都是正品两次都是正品 (2)(2)一件正品，一件次品一件正品，一件次品 (3)(3)第一次、第二次正品，第三次次品第一次、第二次正品，第三次次品解解解解 设设A A1 1 第一次取到正品第一次取到正品，A A2 2 第二次取到正第二次取到正品品，(1)A A1 1A A2 2=两次都是正品两次都是正品(2)P(A P(A1 1A A2 2)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)=97/10096/990.94)=97/10096/990.943232(2)“一件正品，一件次品”可用事件 表示，并且 互不相容，故3333(3)第一次、第二次正品，第三次次品3434在此例中，若将取的方式改为有放回，此时 由此可看出，虽然求的设同一事件的概率，由于取法不同，因而事件的概率也不同。对于不放回的取法，事件A1的发生与否影响到事件A2发生的概率；而对于有放回的取法，事件A2的概率不因事件A1发生与否而受到影响，此时，我们称两个事件相互独立两个事件相互独立。3535事件的独立性事件的独立性定义定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B)则称A与与B相互独立相互独立，简称A与B独立。3636若A,B相互独立，由条件概率的定义及独立性的定义知同理，A,B相互独立以上两个式子也可作为两个事件相互独立的定义3737证明证明:因为A，B独立，则定理定理 若事件 A 与 B相互独立，则事件 与B，A 与 ，与 也相互独立。3838推广（推广（n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性）定义定义1.3.3 设有n个事件A1,A2,An，若对其中任意的k（2kn)个事件满足等式则称这n个事件相互独立个事件相互独立3939设n个事件Ai(i=1,2,n)相互独立，则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)注注注注：当n个事件相互独立时，它们必是两两独立的(即任取两个也是相互独立的)，但反之不真真.4040三事件三事件 A,B,C 相互独立相互独立是指下面的关系式同时成立：注注：1)关系式(1)(2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时，称 A,B,C 两两独立(2)A,B,C 相互独立A,B,C 两两独立(1)4141注意注意事件事件A A与与B B是否相互独立，一般不是根据定义来判是否相互独立，一般不是根据定义来判断，而是断，而是根据实际意义来判定根据实际意义来判定的的.区别区别互斥事件（互不相容事件）互斥事件（互不相容事件）、对立事件对立事件、相、相互独立事件互独立事件。4242例例 三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少?解解:设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电，A表示电路断电则A1,A2,A3相互独立，A=A1+A2+A34343解解 因为所以A,B相互独立例例 0 P(A)1,0 P(B)1,A和B互不相容 A和B互相对立 A和B互不独立 A和B相互独立4444例例 甲、乙两人独立地对同一目标射击一 次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为多少？解解 设A=“甲击中”，B=“乙击中”，C=“目标被击中”则 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A+B)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6/0.8=3/44545例例例例 设炮兵使用某型号的高射炮，每门炮一发击中飞机的概率为0.2，问需要多少门炮同时射击，才能以90%的把握一发击中来犯的敌机？解解 设需要n门炮，用Ai=第i门炮击中敌机（i=1,2,n），A=敌机被击中，则故要求n，使得4646由于Ai相互独立，故从而解得故需要11门高射炮才能以90%以上的把握击中敌机4747例例例例:设袋中有设袋中有4 4个球，其中个球，其中1 1个涂成白色，个涂成白色，1 1个涂成红个涂成红色，色，1 1个涂成黄色，个涂成黄色，1 1个涂有白、红、黄三种颜色个涂有白、红、黄三种颜色.今从袋中任取一球，设今从袋中任取一球，设 A=A=取出的球涂有白色取出的球涂有白色，B=B=取出的球涂有红色取出的球涂有红色，C=C=取出的球涂有黄色取出的球涂有黄色 试验证事件试验证事件A,B,CA,B,C两两独立，但不相互独立两两独立，但不相互独立.验证验证:易知 P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 所以 P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)即事件A,B,C两两独立.但是P(ABC)=1/4P(A)P(B)P(C)=1/8P(ABC)P(A)P(B)P(C)故A,B,C不相互独立.4848解解：设事件Ai为第i道工序出现次品（i=1,2,3），因为加工出来的零件是次品（设为事件A），也就是至少一道工序出现次品所以有方法1：例例:加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，3%，5%，假设各道序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.4949方法2：5050例例：某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中过一次奖的概率是多少？解解 按假设，每次中奖（设为事件A）的概率是10-5 于是每次未中奖的概率是1-10-5 十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的 故十年中未中过奖（每次都未中奖）的概率是 5151例例例例:某某人人有有一一串串mm把把外外形形相相同同的的钥钥匙匙，其其中中只只有有一一把把能能打打开开家家门门。有有一一天天该该人人醉醉后后回回家家，下下意意识识地地每每次次从从mm把把钥钥匙匙中中随随便便拿拿一一把把去去开开门门。问问该该人在第人在第k k次才把门打开的概率是多少次才把门打开的概率是多少?解解:设Ai=第i次取的钥匙能打开门 B=第k次才把门打开由于 P(Ai)=1/m，P(i)=1-1/m B=12.k-1 Ak 所以 P(B)=P(12.k-1 Ak)=P(1)P(2).P(k-1)P(Ak)=(1/m)(1-1/m)k-15252