练习册P5-8习题6-8其中交P5-6习题.ppt

线性代数 第一章 行列式教学目的掌握行列式按行按列展开的性质和定理，会用行列式的性质和余子式定理求行列式的值，理解克莱姆法则。作业要求重点行列式按行（列）展开、矩阵概念练习册P5-8，习题6-8，其中：交：P5-6，习题6（1）-（4）难点行列式按行（列）展开讲授方法讲练结合讲授方法主线按照行列展开，不同行D或0；克莱姆法则解方程；本章总结求行列式是重点、矩阵及其分类、加法与数乘。内容概括按行展开可降阶递推，第i行换值可算余子式之和，克莱姆法则用于齐次非齐次的分类，矩阵的定义有记法和特殊阵，运算有加减同型数乘全。班级：时间：年 月 日；星期 第三讲 行列式计算续与矩阵的概念1线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念本次课学习：一、行列式计算（续）；二、克莱姆法则解线性方程组三、矩阵的定义与基本运算下次课学习：一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；二、第二章第三节：逆矩阵2线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念复习行列式计算的分类：1.行（列）和相等行列式方法：提公因子；2.爪形行列式方法：段一爪为零；3.行（列）递增行列式方法：逐行（列）相减多减少；4.分块行列式方法：类似二阶有零块；5.按行（列）展开行列式方法：行中很少元素不为零；6.递推行列式方法：递推公式是关键；7.范德蒙行列式方法：归纳证明；8.利用展开式构造行列式方法：元素换值构造新行列式。展开式如下：3线性代数 第一章 行列式第二讲 行列式的运算例1：计算下列行列式分析：按照第一列展开或一、行列式计算（续）1.递推行列式4线性代数 第一章 行列式第二讲 行列式的运算5线性代数 第一章 行列式解按第一行展开，只有a、b不为0，其余均为0例2.计算0000000000006线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念7线性代数 第一章 行列式证用数学归纳法证。当 n=2 时，显然成立。现假设对于n-1 阶范德蒙德行列式成立，注意，是下标大的元素减下标小的元素分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上乘幂相减，以得到相应的02.范德蒙行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念8线性代数 第一章 行列式对于从第n行开始，后一行减去前一行的 倍，目的是使第1列产生0第三讲 行列式计算续与矩阵的概念9线性代数 第一章 行列式证毕第三讲 行列式计算续与矩阵的概念10线性代数 第一章 行列式例3（1992.3）计算分析：首先，本行列式是个1、2行和相等行列式，其次，本例很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。把第2行加到第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念11线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念3.构造行列式元素换值构造新行列式（1）余子式求行列式性质3：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零，即或ij时和为D证：由行列式按照行列展开定理，12线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念13线性代数 第一章 行列式同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两行元素相等，得0值。定理得证第三讲 行列式计算续与矩阵的概念由以上推理，我们可以用任意数取代第i行（列）元素，取代后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素值不变，如，用1，1，1取代第i行值，得：14线性代数 第一章 行列式由定理3及其推论还可以写成如下形式：或第三讲 行列式计算续与矩阵的概念15线性代数 第一章 行列式例2 设求分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一行元素变成1，1，1，1即可。解第三讲 行列式计算续与矩阵的概念16线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念17线性代数 第一章 行列式例3（2001.4）设行列式则第4行各元素余子式之和的值为_分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即第三讲 行列式计算续与矩阵的概念18线性代数 第一章 行列式二、克莱姆法则解线性方程组1.克莱姆法则的系数行列式不等于零，即(8)若线性方程组教材中已注明，本法则证明在第二章给出第三讲 行列式计算续与矩阵的概念19线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念则方程组（8）有唯一解：其中对于线性方程组（8）右端的常数项方程组（8）叫做非齐次线性方程组；不全为零时，2.线性方程组的分类20线性代数 第一章 行列式(9)当 全为零时，即称（9）式为齐次线性方程组。3.克莱姆法则判定方程组的解对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论 定理4：如果线性方程组（8）的系数行列式D 不等于零，则该方程组有解，且解唯一 定理4：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不同的解，则它的系数行列式一定为零第三讲 行列式计算续与矩阵的概念21线性代数 第一章 行列式一定是（9）式的解零解。定理5 如果齐次线性方程组（9）的系数行列式 D0，则（9）式有唯一零解（即没有非零解）。定理5 如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。概括克莱姆法则及其推论1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解；若无解或多解，则系数行列式一定为零2.齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一零解；若有非零解，则系数行列式一定为零。对于齐次线性方程组（9）而言，显然：根据克莱姆法则，可以推出第三讲 行列式计算续与矩阵的概念22线性代数 第一章 行列式分析;系数行列式是范德蒙行列式，例8（2003.2）第三讲 行列式计算续与矩阵的概念23线性代数 第一章 行列式例9:问 取何值时，齐次线性方程组有非零解？解（10）由定理5 知，要使（10）有非零解，必须其系数行列式D 0。得、或。第三讲 行列式计算续与矩阵的概念24线性代数 第一章 行列式三、矩阵的概念与运算1.矩阵定义 由mn个数 排成的称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.记作称为矩阵 A 的元素，简称元，数 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的（i,j)元.以数 为（i,j)元的矩阵可简记作或.mn 矩阵 A 也记作.m行n列数表:第三讲 行列式计算续与矩阵的概念25线性代数 第一章 行列式1）行数与列数都等于 n 的矩阵 A 称为 n 阶矩阵 或 n 阶方阵.矩阵 A 也记作.n 阶2）行矩阵行向量3）列矩阵 列向量4）同型矩阵 行、列数分别都相等的两个矩阵.且 那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等.如果 与 是同型矩阵，2.几个特殊矩阵第三讲 行列式计算续与矩阵的概念26线性代数 第一章 行列式6）单位矩阵简记作 E.单位矩阵 E 的（i,j)元为：7）对角矩阵也记作5）零矩阵元素都是零的矩阵，记作 O.注：不同型的零矩阵是不相等的第三讲 行列式计算续与矩阵的概念27线性代数 第一章 行列式3.矩阵的基本运算（1）矩阵的加法定义2矩阵A 与 B 的 和记作 A+B，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C 都是mn 矩阵):注:(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)设有两个 mn 矩阵 与，第三讲 行列式计算续与矩阵的概念28线性代数 第一章 行列式记显然有 A+(A)=O由此规定矩阵的减法为AB=A+(B)（2）数与矩阵相乘定义3 规定为 设矩阵，数 与矩阵A的乘积记作 或,-A称为矩阵 A 的负矩阵，数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B 是mn 矩阵,、为常数)(i)(ii)(iii)第三讲 行列式计算续与矩阵的概念29线性代数 第一章 行列式（3）矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换:求出从 到 的线性变换.1）乘法的历史第三讲 行列式计算续与矩阵的概念30线性代数 第一章 行列式2223322）乘法的定义与运算规律定义4 其中并把此乘积记作：设 是一个 ms 矩阵,是一个sn 矩阵,那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个mn 矩阵 矩阵形式如下：第三讲 行列式计算续与矩阵的概念31线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念32线性代数 第一章 行列式如:是一个数.注意：只有当左矩阵的列数等于右 矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).第三讲 行列式计算续与矩阵的概念33线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念34线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念35线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念36线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念答案提示：主要用递推法，注意到本题除首末两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到：37线性代数 第一章 行列式第三讲 行列式计算续与矩阵的概念38