热工控制系统第五章第二讲.ppt

第五章第五章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析1 频率特性频率特性2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图3 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性乃奎斯特稳定判据和相对稳定性5 闭环频率特性与系统动态性能的关系闭环频率特性与系统动态性能的关系5.5.4 4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性乃奎斯特稳定判据和相对稳定性一、乃奎斯特稳定判据基本原理一、乃奎斯特稳定判据基本原理 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。设负反馈系统的开环传递函数为：，其中：为前向通道传递函数，为反馈通道传递函数。闭环传递函数为：，如下图所示：令：显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：。式中，为F(s)的零、极点。由上述公式可以看出：F(s)F(s)的极点为开环传递函数的极点；的极点为开环传递函数的极点；F(s)F(s)的零点为闭环传递函数的极点；的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ，称为 在F(s)平面上的映射。同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。例辅助方程为：，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图：同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图：曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。再进一步试探，发现：若 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和一个零点（-2），则 不包围原点顺时针运动；若 顺时针只包围F(s)的一个零点（-2），则 包围原点且顺时针运动。这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。柯西幅角定理柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=p-z。若N为正，表示 逆时针运动，包围原点；若N为0，表示 不包围原点；若N为负，表示 顺时针运动，包围原点。二、乃奎斯特稳定判据：二、乃奎斯特稳定判据：对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？它可分为三部分：部分是正虚轴，部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；从 ；部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由，得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）F(s)与 的关系图 根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N0逆时针，N0顺时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：。若 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。乃奎斯特稳定判据的另一种描述：设开环系统传递函数 在右半 s平面上的极点数为 ，则闭环系统稳定的充要条件为：在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当 从 变化到 时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点 圈。对于开环系统稳定的情况，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：。例例5-1 5-1 设闭环设闭环系系统统的开的开环传递环传递函数函数为为：的的轨轨迹如迹如图图所示。所示。在右半在右半s s平面内没有任何极点，并且平面内没有任何极点，并且的的轨轨迹不包迹不包围围 。所以所以对对于任何的于任何的值值，该该系系统统都是都是稳稳定的。定的。解：解：例5-1中的极坐标图 例5-2 设开环系统传递函数为：，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。解：开环极点为-1，-1 j2，都在s左半平面，所以 。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：，闭环系统是不稳定的。上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。含有位于含有位于虚轴虚轴上极点和上极点和/或零点的特殊情况或零点的特殊情况变量沿着轴从运动到，从到，变量运动到 。沿着半径为）的半圆运动，再沿着正轴从（对于包含因子的开环传递函数变量s沿半径为()的半圆运动时，中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。，当的图形当s平面上的时，的相角例如，考例如，考虑虑开开环传递环传递函数：函数：在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。例5-3(课本123页例题)判别具有如下开环传递函数的闭环系统的稳定性:(1)(2)解：(1)作出开环频率特性曲线如图所示。由于有一个极点位于 s 平面的原点上，即从曲线上 的点开始，按顺时针方向转过 ，到 点，如图中点划线所示。由于增补开环频率特性曲线没有包围（-1,j0）点(N=0)，而且开环系统在右半 s 平面无极点（P=0），因此系统稳定。例5-3(1)开环对数频率特性解：(2)分别取 和 两种情况绘制增补开环频率特性曲线如图所示。（a)在图(a)中，曲线没有包围（-1,j0）点(N=0)，而且开环系统在右半 s 平面无极点（P=0），所以闭环系统是稳定的。在图(b)中，曲线顺时针包围（-1,j0）点两次(N=-2)，开环系统在右半 s 平面无极点（P=0），根据 Z=P-N 得到 Z=2，即闭环系统有两个极点位于右半平面。（b)练习练习1 1、已知系统开环幅相频率特性如下图所示，试根据、已知系统开环幅相频率特性如下图所示，试根据奈氏判据判别系统的奈氏判据判别系统的稳定性稳定性,并说明闭环右半平面的极点个数。其中并说明闭环右半平面的极点个数。其中P P为为开环传递函数在开环传递函数在s s右半右半平面极点数，平面极点数，Q Q为开环系统积分环节的个数。为开环系统积分环节的个数。三、相对稳定性三、相对稳定性 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时：。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。定义：和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。例5-4(课本126页例题)设单位反馈系统的开环传递函数为试求系统的相角裕量 和幅值裕量 ，并确定使系统稳定的最大开环增益。解：首先绘出开环对数幅频特性曲线和相频特性曲线如图所示。由图可知，幅值穿越频率 。从图中也可量出相位裕量 。或由课本 125 页(5-41)求出 ，再由（5-42）式计算确定相位裕量 。从图中也可看出，相位交界频率 ，可以量出对应的幅值裕量为 。或由课本 125 页(5-43)式求出 ，再由(5-44)式求出 。由于相位裕量为正()且幅值裕量()，因此系统稳定。课本126页例题对应的对数频率特性曲线稳定裕度概念使用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。如下图所示系统：5.5.4 4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性乃奎斯特稳定判据和相对稳定性1、二二阶阶系系统阶跃统阶跃瞬瞬态态响响应应与与频频率响率响应应之之间间的关系的关系典型二阶系统方框图如下图所示开环传递函数为：开环频率特性为：设截止频率为则有可求得增益交界频率为根据相位裕度的定义 上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。即：二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系相位裕度与阻尼比直接相关。上相位裕度与阻尼比直接相关。上图图表示表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。了相位裕度与阻尼比的函数关系。对对于于标标准准二二阶阶系系统统，相位裕度与阻尼比之，相位裕度与阻尼比之间间的关系近的关系近似地用直似地用直线线表示如下：表示如下：因此，相位裕度相当于阻尼比。因此，相位裕度相当于阻尼比。对对于具有一于具有一对对主主导导极点的高极点的高阶阶系系统统，当根据，当根据频频率响率响应应估估计计瞬瞬态态响响应应中的相中的相对稳对稳定性（即阻尼比）定性（即阻尼比）时时，根据根据经验经验，可以，可以应应用用这这个公式。个公式。对对于小的阻尼比，于小的阻尼比，谐谐振振频频率与阻尼自然率与阻尼自然频频率的率的值值几乎是相同的。因此，几乎是相同的。因此，对对于小的阻于小的阻尼比，尼比，谐谐振振频频率的率的值值表征了系表征了系统统瞬瞬态态响响应应的的速度。速度。的值越小，和的值越大。和与之间的函数关系如右时，和存在相近的关系。对于很值，将变得很却不会超过1。图所示。可以看出，当之间小的大，而MrMp截止频率与系统带宽参看右图，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。对应的系统2、截止截止频频率率带宽带宽 闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。以使频率低于截止频率的信号分量通过。闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的，上升时间随着阻尼比的增加而增大。另的增加而减小。因此，上升时间与一方面，带宽随着带宽之间成反比关系。一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。二阶系统，闭环传递函数为因为，由带宽的定义得于是 带宽指标取决于下列因素：带宽指标取决于下列因素：1 1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。反比。2 2、对高频噪声必要的滤波特性、对高频噪声必要的滤波特性。为了使系统能够精确为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。增加而增大。结束结束第五章第五章 完完