相似矩阵与二次型习题.ppt

工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 第五章第五章 相似矩阵和二次型习题课相似矩阵和二次型习题课重点与难点重点与难点内容提要内容提要典型例题典型例题 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 一、重点与难点一、重点与难点 3.正定二次型的判定及有关问题正定二次型的判定及有关问题 2.用正交变换法化二次型为标准型用正交变换法化二次型为标准型 1.二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 二、基础知识二、基础知识1 二次型的矩阵表示、二次型的秩二次型的矩阵表示、二次型的秩2 二次型的标准型与规范标准型二次型的标准型与规范标准型3 化二次型为标准型的方法：化二次型为标准型的方法：4 （1）正交变换法）正交变换法 （2）配方法）配方法4 合同变换与合同矩阵合同变换与合同矩阵5 惯性定律惯性定律 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 6 正定二次型正定二次型（2）正定性的判定方法）正定性的判定方法 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例1用矩阵记号表示下列二次型用矩阵记号表示下列二次型:(1)(1)(2)(2)解解(1)(1)三、典型例题三、典型例题 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 (2)(2)例例2 2化成标准形化成标准形求一个正交变换将二次型求一个正交变换将二次型 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 解解(1)(1)二次型的矩阵为二次型的矩阵为故故 的特征值为的特征值为 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 当当 时时,得基础解系得基础解系 解方程解方程由由取取 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 当当 时时,得基础解系得基础解系 解方程解方程由由取取 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 当当 时时,得基础解系得基础解系 解方程解方程由由取取 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 于是正交变换为于是正交变换为且有且有 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例3 3证明：二次型证明：二次型 在在 时的最大值时的最大值为矩阵为矩阵 的最大特征值的最大特征值.证明证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵为实对称矩阵，则有一正交矩阵 ，使得，使得成立成立 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 其中其中 为为 的特征值，不妨的特征值，不妨 设最大，设最大，为正交矩阵，则为正交矩阵，则 且且 ，故，故则则其中其中 当当 时，时，即即即即 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例4 4判别下列二次型的正定性：判别下列二次型的正定性：解解 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 故故 为正定为正定 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例5 解解:其秩为其秩为 2，工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例 6 正惯性指数为正惯性指数为 ，负惯性指数为，负惯性指数为 。解解:经非退化线性变换经非退化线性变换 故故 f 的秩为的秩为 3 ，正惯性指数为正惯性指数为 2，负惯性指数为，负惯性指数为 1。工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例 7 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 例例 8 工工 程程 大大 学学 线线 性性 代代 数数 电电 子子 教教 案案 即为所求的常数即为所求的常数 。