自动控制原理 (3)精品文稿.ppt

自动控制原理第1 页，本讲稿共123 页8.1 非线性控制系统概述在 构 成 系 统 的 环 节 中 有 一 个 或 一 个 以 上 的 非 线 性 特 性 时,即称 此 系 统 为 非 线 性 系 统。用 线 性 方 程 组 来 描 述 系 统,只 不 过 是 在一 定 的 范 围 内 和 一 定 的 近 似 程 度 上 对 系 统 的 性 质 所 作 的 一 种 理想 化 的 抽 象。用 线 性 方 法 研 究 控 制 系 统,所 得 的 结 论 往 往 是 近 似的,当 控 制 系 统 中 非 线 性 因 素 较 强 时(称 为 本 质 非 线 性),用 线 性方 法 得 到 的 结 论,必 然 误 差 很 大,甚 至 完 全 错 误。非 线 性 对 象 的运 动 规 律 要 用 非 线 性 代 数 方 程 和(或)非 线 性 微 分 方 程 描 述,而 不能 用 线 性 方 程 组 描 述。一 般 地,非 线 性 系 统 的 数 学 模 型 可 以 表 示为(8.1)其中,f()和g()为非线性函数。第2 页，本讲稿共123 页8.1.1 非线性特性的分类非 线 性 特 性 种 类 很 多,且 对 非 线 性 系 统 尚 不 存 在 统 一 的 分析 方 法,所 以 将 非 线 性 特 性 分 类,然 后 根 据 各 个 非 线 性 的 类 型 进行分析得到具体的结论,才能用于实际。按 非 线 性 环 节 的 物 理 性 能 及 非 线 性 特 性 的 形 状 划 分,非 线性 特 性 有 死 区 特 性、饱 和 特 性、间 隙 特 性 和 继 电 器 特 性 等,见图8-1。第3 页，本讲稿共123 页图 8-1典型非线性特性 第4 页，本讲稿共123 页1.死区特性死 区 又 称 不 灵 敏 区,通 常 以 阈 值、分 辨 率 等 指 标 衡 量。死区 特 性 如 图8-1(a)所 示。常 见 于 测 量、放 大 元 件 中,一 般 的 机械 系 统、电 机 等,都 不 同 程 度 地 存 在 死 区。其 特 点 是 当 输 入 信号 在 零 值 附 近 的 某 一 小 范 围 之 内 时,没 有 输 出。只 有 当 输 入 信号 大 于 此 范 围 时,才 有 输 出。执 行 机 构 中 的 静 摩 擦 影 响 也 可 以用 死 区 特 性 表 示。控 制 系 统 中 存 在 死 区 特 性,将 导 致 系 统 产 生稳 态 误 差,其 中 测 量 元 件 的 死 区 特 性 尤 为 明 显。摩 擦 死 区 特 性可 能 造 成 系 统 的 低 速 不 均 匀,甚 至 使 随 动 系 统 不 能 准 确 跟 踪 目标。第5 页，本讲稿共123 页2.饱和特性饱 和 也 是 一 种 常 见 的 非 线 性,在 铁 磁 元 件 及 各 种 放 大 器 中都 存 在,其 特 点 是 当 输 入 信 号 超 过 某 一 范 围 后,输 出 信 号 不 再随 输 入 信 号 变 化 而 保 持 某 一 常 值(参 见 图8-1(b)。饱 和 特 性 将使 系 统 在 大 信 号 作 用 之 下 的 等 效 增 益 降 低,深 度 饱 和 情 况 下,甚 至 使 系 统 丧 失 闭 环 控 制 作 用。还 有 些 系 统 中 有 意 地 利 用 饱和 特 性 作 信 号 限 幅,限 制 某 些 物 理 参 量,保 证 系 统 安 全 合 理 地工作。第6 页，本讲稿共123 页3.间隙特性间 隙 又 称 回 环。传 动 机 构 的 间 隙 是 一 种 常 见 的 回 环 非 线性 特 性(参 见 图8-1(c)。在 齿 轮 传 动 中,由 于 间 隙 存 在,当 主 动齿 轮 方 向 改 变 时,从 动 轮 保 持 原 位 不 动,直 到 间 隙 消 除 后 才 改变 转 动 方 向。铁 磁 元 件 中 的 磁 滞 现 象 也 是 一 种 回 环 特 性。间隙 特 性 对 系 统 影 响 较 为 复 杂,一 般 来 说,它 将 使 系 统 稳 态 误 差增 大，频 率 响 应 的 相 位 迟 后 也 增 大,从 而 使 系 统 动 态 性 能 恶化。采 用 双 片 弹 性 齿 轮(无 隙 齿 轮)可 消 除 间 隙 对 系 统 的 不 利影响。第7 页，本讲稿共123 页4.继电器特性由 于 继 电 器 吸 合 电 压 与 释 放 电 压 不 等,使 其 特 性 中 包 含 了死 区、回 环 及 饱 和 特 性(参 见 图8-1(d)。当a 0 时 的 特 性 称 为理 想 继 电 器 特 性。继 电 器 的 切 换 特 性 使 用 得 当 可 改 善 系 统 的 性能。如 从 非 线 性 环 节 的 输 出 与 输 入 之 间 存 在 的 函 数 关 系 划 分,非 线 性 特 性 又 可 分 为 单 值 函 数 非 线 性 与 多 值 函 数 非 线 性 两 类。例 如 死 区 特 性、饱 和 特 性 及 理 想 继 电 器 特 性 都 属 于 输 出 与 输 入间 为 单 值 函 数 关 系 的 非 线 性 特 性。间 隙 特 性 和 继 电 器 特 性 则属于输出与输入之间为多值函数关系的非线性特性。第8 页，本讲稿共123 页8.1.2 非线性系统的特征1.稳定性分析复杂按 照 平 衡 状 态 的 定 义,在 无 外 作 用 且 系 统 输 出 的 各 阶 导 数等 于 零 时,系 统 处 于 平 衡 状 态。显 然,对 于 线 性 系 统 只 有 一 个平 衡 状 态c0,线 性 系 统 的 稳 定 性 即 为 该 平 衡 状 态 的 稳 定 性,而 且 取 决 于 系 统 本 身 的 结 构 和 参 数,与 外 作 用 和 初 始 条 件 无 关。而 非 线 性 系 统 可 能 存 在 多 个 平 衡 状 态,各 平 衡 状 态 可 能 是 稳 定的 也 可 能 是 不 稳 定 的。非 线 性 系 统 的 稳 定 性 不 仅 与 系 统 的 结 构和 参 数 有 关,也 与 初 始 条 件 以 及 系 统 的 输 入 信 号 的 类 型 和 幅 值有关。第9 页，本讲稿共123 页2.可能存在自持振荡现象所 谓 自 持 振 荡 是 指 没 有 外 界 周 期 变 化 信 号 的 作 用 时,系 统 内部 产 生 的 具 有 固 定 振 幅 和 频 率 的 稳 定 周 期 运 动。线 性 系 统 的 运动 状 态 只 有 收 敛 和 发 散,只 有 在 临 界 稳 定 的 情 况 下 才 能 产 生 周 期运 动,但 由 于 环 境 或 装 置 老 化 等 不 可 避 免 的 因 素 存 在,使 这 种 临界 振 荡 只 可 能 是 暂 时 的。而 非 线 性 系 统 则 不 同,即 使 无 外 加 信 号,系 统 也 可 能 产 生 一 定 幅 度 和 频 率 的 持 续 性 振 荡,这 是 非 线 性 系 统所特有的。必 须 指 出,长 时 间 大 幅 度 的 振 荡 会 造 成 机 械 磨 损,增 加 控 制误 差,因 此 许 多 情 况 下 不 希 望 自 持 振 荡 发 生。但 在 控 制 中 通 过 引入 高 频 小 幅 度 的 颤 振,可 克 服 间 歇、死 区 等 非 线 性 因 素 的 不 良 影响。而 在 振 动 试 验 中,还 必 须 使 系 统 产 生 稳 定 的 周 期 运 动。因 此研 究 自 持 振 荡 的 产 生 条 件 与 抑 制,确 定 其 频 率 与 幅 度,是 非 线 性系统分析的重要内容。第10 页，本讲稿共123 页3.频率响应发生畸变稳 定 的 线 性 系 统 的 频 率 响 应,即 正 弦 信 号 作 用 下 的 稳 态 输出 量 是 与 输 入 同 频 率 的 正 弦 信 号,其 幅 值A 和 相 位 为 输 入 正弦 信 号 频 率 的 函 数。而 非 线 性 系 统 的 频 率 响 应 除 了 含 有 与输 入 同 频 率 的 正 弦 信 号 分 量(基 波 分 量)外,还 含 有 关 于 的 高次 谐 波 分 量,使 输 出 波 形 发 生 非 线 性 畸 变。若 系 统 含 有 多 值 非线性环节,输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。第11 页，本讲稿共123 页8.1.3 非线性系统的分析与设计方法系 统 分 析 和 设 计 的 目 的 是 通 过 求 取 系 统 的 运 动 形 式,以 解决 稳 定 性 问 题 为 中 心,对 系 统 实 施 有 效 的 控 制。由 于 非 线 性 系统 形 式 多 样,受 数 学 工 具 限 制,一 般 情 况 下 难 以 求 得 非 线 性 方程 的 解 析 解,只 能 采 用 工 程 上 适 用 的 近 似 方 法。在 实 际 工 程 问题 中,如 果 不 需 精 确 求 解 输 出 函 数,往 往 把 分 析 的 重 点 放 在 以下 三 个 方 面:某 一 平 衡 点 是 否 稳 定,如 果 不 稳 定 应 如 何 校 正;系统 中 是 否 会 产 生 自 持 振 荡,如 何 确 定 其 周 期 和 振 幅;如 何 利 用或 消 除 自 持 振 荡 以 获 得 需 要 的 性 能 指 标。比 较 基 本 的 非 线 性系统的研究方法有如下几种:第12 页，本讲稿共123 页1.小范围线性近似法这 是 一 种 在 平 衡 点 的 近 似 线 性 化 方 法,通 过 在 平 衡 点 附 近泰 勒 展 开,可 将 一 个 非 线 性 微 分 方 程 化 为 线 性 微 分 方 程,然 后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。2.逐段线性近似法将 非 线 性 系 统 近 似 为 几 个 线 性 区 域,每 个 区 域 用 相 应 的 线性微分方程描述,将各段的解合在一起即可得到系统的全解。第13 页，本讲稿共123 页3.相平面法相 平 面 法 是 非 线 性 系 统 的 图 解 法,由 于 平 面 在 几 何 上 是 二维的,因此只适用于阶数最高为二阶的系统。4.描述函数法描 述 函 数 法 是 非 线 性 系 统 的 频 域 法,适 用 于 具 有 低 通 滤 波特性的各种阶次的非线性系统。第14 页，本讲稿共123 页5.李雅普诺夫法李 雅 普 诺 夫 法 是 根 据 广 义 能 量 概 念 确 定 非 线 性 系 统 稳 定性 的 方 法,原 则 上 适 用 于 所 有 非 线 性 系 统,但 对 于 很 多 系 统,寻找李雅普诺夫函数相当困难。6.计算机仿真利 用 计 算 机 模 拟,可 以 满 意 地 解 决 实 际 工 程 中 相 当 多 的 非线 性 系 统 问 题。这 是 研 究 非 线 性 系 统 的 一 种 非 常 有 效 的 方 法,但 它 只 能 给 出 数 值 解,无 法 得 到 解 析 解,因 此 缺 乏 对 一 般 非 线性系统的指导意义。第15 页，本讲稿共123 页8.2 相平面分析法相 平 面 法 是 求 解 一 阶 或 二 阶 线 性 或 非 线 性 系 统 的 一 种 图 解方 法。它 可 以 给 出 某 一 平 衡 状 态 稳 定 性 的 信 息 和 系 统 运 动 的 直观 图 像。它 可 以 看 作 状 态 空 间 法 在 一 阶 和 二 阶 情 况 下 的 应 用。所以,它属于时间域的分析方法。设 二 阶 线 性 系 统 如 图8-2(a)所 示。设 输 入r 为 常 数,误 差e 为变量,可以列写微分方程:(8.2)第16 页，本讲稿共123 页取状态变量x1=e,x2=e,可列写状态方程:.(8.3)给 定 初 始 条 件x1(0)=e(0),x2(0)=e(0),就 可 以 确 定 解e(t)和e(t)。图8-2(b)和(c)分 别 表 示 当 系 统 平 衡 状 态 在 原 点x1x20,而 输入 为 单 位 阶 跃 函 数,即e(0)=1、e(0)=0 时,上 述 状 态 方 程 的 解e(t)和e(t)。.第17 页，本讲稿共123 页图8-2 二阶线性系统及其状态图和相平面图第18 页，本讲稿共123 页用MATLAB 绘制图8-2(b)、(c)和(d)的参考程序如下：sys=tf(110,111)subplot(2,1,1);x,t=step(sys);plot(t,x)subplot(2,1,2);xx,t=impulse(sys);plot(t,xx)figure t=0 0.150 x1=step(sys,t)x2=impulse(sys,t)第19 页，本讲稿共123 页a=111n=length(a)-1 p=roots(a)v=rot90(vander(p)y0=00 c=v y0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1 ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)end plot(x1+y1,x2+y2)hnd=plot(x1+y1,x2+y2)set(hnd,linewidth,1.3)holdon第20 页，本讲稿共123 页y0=0.51 c=v y0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1 ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)end plot(x1+y1,x2+y2,)第21 页，本讲稿共123 页y0=0.20.8 c=v y0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1 ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)end plot(x1+y1,x2+y2,)第22 页，本讲稿共123 页y0=-0.5-1 c=v y0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1 ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)end plot(x1+y1,x2+y2,)第23 页，本讲稿共123 页y0=-0.8-1 c=v y0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1 ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)end plot(x1+y1,x2+y2,)第24 页，本讲稿共123 页一般的二阶系统均可以表示为上式可改写为取x为 相 平 面 图 的 横 坐 标,x 为 纵 坐 标,则 是 相 轨 迹 的 斜 率,相轨迹上任何一点都满足这个方程。该方程的解 表 示 相 轨 迹 曲 线 方 程。相 平 面 法 的 主 要 工 作 是 作 相 轨 迹,有 了相平面图,系统的性能也就表示出来了。.第25 页，本讲稿共123 页8.2.1 相平面图的绘制方法1.解析法解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统。例8-1 单位质量的自由落体运动。解 以 地 面 为 参 考 零 点,向 上 为 正,则 当 忽 略 大 气 影 响 时,单位质量的自由落体运动为由式(8.5)得第26 页，本讲稿共123 页所以积分得作相平面图,如图8-3 所示。图8-3 单位质量自由落体相平面图第27 页，本讲稿共123 页由 分 析 可 知,其 相 平 面 图 为 一 簇 抛 物 线。在 上 半 平 面,由 于速 度 为 正,所 以 位 移 增 大,箭 头 向 右;在 下 半 平 面,由 于 速 度 为 负,所 以 位 移 减 小,箭 头 向 左。设 质 量 体 从 地 面 往 上 抛,此 时 位 移量x为 零,而 速 度 量 为 正,设 该 初 始 点 为A 点,该 质 量 体 将 沿 由A点 开 始 的 相 轨 迹 运 动,随 着 质 量 体 的 高 度 增 大,速 度 越 来 越 小,到 达B 点 时 质 量 体 达 最 高 点,而 速 度 为 零,然 后 又 沿BC 曲 线 自 由落 体 下 降,直 至 到 达 地 面C 点,此 时 位 移 量 为 零,而 速 度 为 负 的 最大 值。如 果 初 始 点 不 同,质 量 体 将 沿 不 同 的 曲 线 运 动。如 设 图中 的D 点 为 初 始 点,表 示 质 量 体 从 高 度 为D 的 地 方 放 开,质 量 体将沿DE 曲线自由落体下降到地面E 点。第28 页，本讲稿共123 页例8-2 二阶系统的微分方程为试绘制系统的相平面图。解根据式(8.5),上述微分方程可以改写为用分离变量法对x和x 分别积分,得.第29 页，本讲稿共123 页记等式右端由初始条件决定的非负的量为(A)2,得相轨迹方程如下:这 是 以 原 点 为 中 心 的 椭 圆 或 圆 簇 的 方 程,相 轨 迹 如 图8-4 所 示。可 见,该 系 统 为 自 持 振 荡,初 始 条 件 不 同,椭 圆 的 大 小 也 随 之 变 化,中间的一个椭圆是初始条件为(1,0)的相轨迹。由以上两例,可看到相平面图的一些 性质:(1)当 选 择 取x作 为 横 坐 标,x作 为 纵 坐 标 时,则 在 上 半 平 面(x0),系 统 状 态 沿 相 轨 迹 曲 线 运 动 的 方 向 是x增 大 的 方 向,即 向 右移动;类似地,在下半平面,相轨迹向左移动。.第30 页，本讲稿共123 页图8-4 二阶系统相轨迹第31 页，本讲稿共123 页(2)相轨迹的斜率由式(8.5)表示。相平面上的一个点(x,x)只要不同时满足x=0 和f(x,x)=0,则该点相轨迹的斜率就由式(8.5)唯一确定。也就是说,通过该点的相轨迹只有一条,各条相轨迹曲线不会在该点相交。同时满足x=0 和f(x,x)=0 的点称为奇点。该点相轨迹的斜率是0/0 型,是不定的。通过该点的相轨迹可能不止一条,且彼此斜率也不相同,即相轨迹曲线簇在该点发生相交。(3)自持振荡的相轨迹是封闭曲线。.第32 页，本讲稿共123 页(4)在 相 轨 迹 通 过x 轴 的 点,相 轨 迹 通 常 与x 轴 垂 直 相 交。因为 在x 轴 的 点,x=0,除 去f(x,x)=0 的 奇 点 外,在 这 些 点 相 轨 迹 的 斜率为dx/dx=,即相轨迹与x 轴垂直相交。在 作 相 轨 迹 时,考 虑 对 称 性 往 往 能 使 作 图 简 化。如 果 关 于x轴对称的两个点(x,x)和(x,-x),满足.即f(x,x)是x的奇函数,则相轨迹关于x轴对称。.第33 页，本讲稿共123 页如果关于轴对称的两个点(x,x)和(-x,x),满足.即f(x,x)是x的偶函数,则相轨迹关于x 轴对称。如果关于原点对称的两个点(x,x)和(-x,-x),满足.则相轨迹关于原点对称。能 用 解 析 法 作 相 平 面 图 的 系 统 只 局 限 于 比 较 简 单 的 系 统,对 于 大 多 数 非 线 性 系 统 很 难 用 解 析 法 求 出 解。从 另 一 角 度 考 虑,如 果 能 够 求 出 系 统 的 解 析 解,系 统 的 运 动 特 性 也 已 经 清 楚 了,也就 不 必 要 用 相 平 面 法 分 析 系 统 了。因 此,对 于 分 析 非 线 性 系 统更实用的是图解法,我们介绍的是等倾线法。第34 页，本讲稿共123 页2.等倾线法我 们 知 道,平 面 上 任 一 光 滑 的 曲 线 都 可 以 由 一 系 列 短 的 折 线近 似 代 替。等 倾 线 是 指 相 平 面 上 相 轨 迹 斜 率 相 等 的 诸 点 的 连 线。设斜率为k,则由式(8.5)得即(8.6)第35 页，本讲稿共123 页图8-5 等倾线第36 页，本讲稿共123 页例8-3 绘制下列系统的相轨迹。解系统方程可以改写为令相轨迹斜率为k,代入上式得到相轨迹的等倾线方程第37 页，本讲稿共123 页可 见,等 倾 线 是 通 过 原 点 的 直 线 簇,等 倾 线 的 斜 率 等 于-2/(2+k),而k 则 是 在 相 轨 迹 通 过 等 倾 线 处 的 斜 率。设 系 统 参数 0.5,1。求 得 对 应 于 不 同k值 的 等 倾 线,如 图8-6 所 示。用MATLAB 绘制图8-6 的程序如下：k=-1.2;x1=-5 0.110;x2=-x1/(1+k)plot(x1,x2)第38 页，本讲稿共123 页图8-6 等倾线法绘制的二阶系统相轨迹第39 页，本讲稿共123 页初 始 点 为A 的 相 轨 迹 可 以 按 下 述 方 法 给 出。在k 1和k 1.2 的 两 等 倾 线 之 间 绘 制 相 轨 迹 时,一 条 短 线 段 近 似 替 代 相 轨迹 曲 线,其 斜 率 取 为 起 始 等 倾 线 的 斜 率,即 1(如 果 稍 微 精 确 一点,可 取 两 等 倾 线 斜 率 的 平 均 数,即 1.1)。此 短 线 段 交k 1.2的 等 倾 线 于B 点,近 似 认 为 此 短 线 段AB 是 相 轨 迹 的 一 部 分。同 样,从B 点 出 发,在k 1.2和k 1.4 的 两 等 倾 线 之 间 绘 制斜 率 为 1.2的 短 线 段,它 交k 1.4的 等 倾 线 于C 点,近 似 认 为此 短 线 段BC 是 相 轨 迹 的 一 部 分。重 复 上 述 作 图 方 法,依 次 求 得折 线ABCDE 直 至 原 点。就 用 这 条 折 线 作 为 由 初 始 点A 出 发 的相轨迹曲线。第40 页，本讲稿共123 页上 述 作 图 方 法,由 于 近 似 和 作 图 误 差,以 及 误 差 的 逐 步 累 积,因 此 结 果 可 能 误 差 较 大。一 般 来 说,精 确 度 取 决 于 等 倾 线 的 密度 和 相 轨 迹 本 身 斜 率 变 化 的 快 慢。等 倾 线 愈 密,相 邻 等 倾 线 的k值 之 差 愈 小,取 短 线 段 斜 率 引 入 的 误 差 愈 小,但 作 图 的 步 骤 增多,引 入 的 累 积 作 图 误 差 增 大,且 作 图 的 工 作 量 增 大。因 此,等倾 线 的 密 度 要 适 当,一 般 每 隔5 10 画 一 条 等 倾 线 为 宜。为 提高 作 图 精 度,可 采 用 平 均 斜 率 法,即 取 两 条 相 邻 等 倾 线 所 对 应 的斜率的平均值作为短线段的斜率。对 线 性 二 阶 系 统,等 倾 线 是 一 些 直 线。但 一 般 来 说,非 线 性系统的等倾线则是曲线或折线。第41 页，本讲稿共123 页例8-4 绘制下列系统的相轨迹。解系统方程可以改写为则k=-0.2(x2-1)-x/x。相轨迹的等倾线方程为.(8.7)当短线段的倾角为0 时,其斜率k 0,式(8.7)成为该式表示的曲线上的每一点斜率均为0。第42 页，本讲稿共123 页当短线段的倾角为45 时,其斜率k 1,式(8.7)成为该式表示的曲线上的每一点斜率均为1。如 此 可 以 作 出 其 它 斜 率 的 等 倾 线,由 等 倾 线 方 程 可 知,该 系统 的 等 倾 线 是 曲 线 而 非 直 线。这 样 就 可 以 作 出 如 图8-7 所 示 的斜 率 的 分 布 场,分 别 以A 点(1.6,2)和B 点(1.5,0.5)为 初 始 点,绘制两条相轨迹如图8-7 实线所示。第43 页，本讲稿共123 页图8-7 等倾线法绘制的非线性系统相轨迹第44 页，本讲稿共123 页用MATLAB 绘制图8-7 的参考程序如下：x1=-5 0.15k=0 x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,k)holdon x1=-2 0.12k=-1 x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,k)x1=-5 0.15k=1 x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)第45 页，本讲稿共123 页plot(x1,x2,k)hnd=line(0,0,-5,10)set(hnd,color,black)hnd=line(-5,5,0,0)set(hnd,color,black)axis(-5,5,-5,5)t,x=ode45(figure-8-7,0,12,1.50.5)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure-8-7,0,12,1.62)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)set(hnd,linewidth,1.5)第46 页，本讲稿共123 页function xdot=figure-8-7(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=0.2*x(2)*(1-x(1)2)-x(1)xdot(1)=x(2)第47 页，本讲稿共123 页8.2.2 奇点和极限环前 已 提 到,同 时 满 足x=0 和f(x,x)=0 的 点 称 为 奇 点。由 定 义可 知,奇 点 一 定 位 于 相 平 面 的 横 轴 上,在 奇 点 处,系 统 的 速 度 和 加速 度(x=-f(x,x)均 为0。对 于 二 阶 系 统 来 说,系 统 不 再 发 生 运 动,处 于 平 衡 状 态,故 奇 点 亦 称 为 平 衡 点。首 先 研 究 线 性 系 统 的 奇 点。二阶线性系统的系统方程为.(8.8)即则第48 页，本讲稿共123 页图8-8 二阶线性系统的不同奇点第49 页，本讲稿共123 页图8-8 二阶线性系统的不同奇点第50 页，本讲稿共123 页图8-8 二阶线性系统的不同奇点第51 页，本讲稿共123 页当 阻 尼 比0 1时,系 统 有 一 对 负 实 部 的 共 轭 复 根,系 统 稳定,其 相 轨 迹 呈 螺 旋 线 型,轨 迹 簇 收 敛 于 奇 点,这 种 奇 点 称 为 稳定焦点。当 阻 尼 比 1 0时,系 统 有 一 对 正 实 部 的 共 轭 复 根,系 统不 稳 定,其 相 轨 迹 也 呈 螺 旋 线 型,但 轨 迹 簇 发 散 至 无 穷,这 种 奇点称为不稳定焦点。当 阻 尼 比 1时,系 统 有 两 个 负 实 根,系 统 稳 定,相 平 面 内 的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点,这种奇点称为稳定节点。当 阻 尼 比 1时,系 统 有 两 个 正 实 根,系 统 不 稳 定,相 平面 内 的 相 轨 迹 簇 直 接 从 奇 点 发 散 出 来,这 种 奇 点 称 为 不 稳 定 节点。当 阻 尼 比 0时,系 统 有 一 对 共 轭 虚 根,系 统 等 幅 振 荡,其 相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线,这种奇点称为中心点。第52 页，本讲稿共123 页如果二阶线性系统的项和x项异号,即则 系 统 有 一 个 正 实 根,有 一 个 负 实 根,系 统 是 不 稳 定 的,其 相 轨 迹呈鞍形,中心是奇点,这种奇点称为鞍点。第53 页，本讲稿共123 页综 上 所 述,对 应 不 同 的 阻 尼 比,系 统 的 两 个 特 征 根 在 复 平面 上 的 分 布 也 不 同,系 统 的 运 动 以 及 相 平 面 图 也 不 同,换 言 之,特 征 根 在 复 平 面 的 位 置 决 定 了 奇 点 的 性 质。二 阶 线 性 系 统 的相 轨 迹 和 奇 点 的 性 质,由 系 统 本 身 的 结 构 与 参 量 决 定,而 与 初始 状 态 无 关。不 同 的 初 始 状 态 只 能 在 相 平 面 上 形 成 一 组 几 何形 状 相 似 的 相 轨 迹,而 不 能 改 变 相 轨 迹 的 性 质。由 于 相 轨 迹 的性 质 与 系 统 的 初 始 状 态 无 关,相 平 面 中 局 部 范 围 内 相 轨 迹 的 性质就有决定性意义,从局部范围内相轨迹的性质可以推知全局。第54 页，本讲稿共123 页在 非 线 性 系 统 中,稳 定 性 分 析 是 针 对 奇 点 而 言 的,在 分 析 中特 别 关 心 的 是 奇 点 的 稳 定 性 和 奇 点 附 近 的 运 动,相 平 面 法 的 任 务之 一 就 是 分 析 奇 点 附 近 运 动 的 特 性。对 于 非 线 性 系 统,可 以 用 小范 围 线 性 化 方 法 求 出 其 在 平 衡 点 附 近 的 线 性 化 方 程,然 后 再 去 分析 系 统 的 相 轨 迹 和 奇 点 的 情 况。设 原 点 是 平 衡 点,即f(0,0)0,则 原 点 也 是 奇 点。又 设f(x,x)在 原 点 附 近 是x和x的 解 析 函 数,则可以在原点附近展成泰勒级数:.其 中，g(x,x)是 不 低 于 二 阶 的 各 项。注 意 到 在 原 点 附 近x和x都 很小,因此可以略去g(x,x)。代入式(8.4),得.它对应于二阶线性微分方程式(8.8)。第55 页，本讲稿共123 页另 外,对 于 线 性 系 统 来 说,奇 点 的 类 别 完 全 确 定 了 系 统 运 动的 性 质。而 对 于 非 线 性 系 统 来 说,奇 点 的 类 别 只 能 确 定 系 统 在平 衡 状 态 附 近 的 行 为,而 不 能 确 定 整 个 相 平 面 上 的 运 动 状 态。所 以 还 要 研 究 离 平 衡 状 态 较 远 处 的 相 平 面 图。其 中 极 限 环 具有特别重要的意义。相 平 面 上 如 果 存 在 一 条 孤 立 的 相 轨 迹,而 且 它 附 近 的 其 他相 轨 迹 都 无 限 地 趋 向 或 者 离 开 这 条 封 闭 的 相 轨 迹,则 这 条 封 闭相 轨 迹 为 极 限 环。极 限 环 本 身 作 为 一 条 相 轨 迹 来 说,既 不 存 在平 衡 点,也 不 趋 向 无 穷 远,而 是 一 个 封 闭 的 环 圈,它 把 相 平 面 分隔 成 内 部 平 面 和 外 部 平 面 两 个 部 分。任 何 一 条 相 轨 迹 都 不 能 从内 部 平 面 穿 过 极 限 环 而 进 入 外 部 平 面,也 不 能 从 外 部 平 面 穿 过极限环而进入内部平面。第56 页，本讲稿共123 页根 据 极 限 环 邻 近 相 轨 迹 的 运 动 特 点,可 将 极 限 环 分 为 三 种类型:(1)稳 定 的 极 限 环。如 果 起 始 于 极 限 环 邻 近 范 围 的 内 部或 外 部 的 相 轨 迹 最 终 均 卷 向 极 限 环,则 该 极 限 环 称 为 稳 定 的 极限 环,其 内 部 及 外 部 的 相 轨 迹 均 为 极 限 环 的 稳 定 区 域。稳 定 的极 限 环 对 状 态 微 小 的 扰 动 具 有 稳 定 性。系 统 沿 极 限 环 的 运 动表现为自持振荡。例8-4 系统的相轨迹就是稳定的极限环。第57 页，本讲稿共123 页(2)不 稳 定 的 极 限 环。如 果 起 始 于 极 限 环 邻 近 范 围 的 内 部或 外 部 的 相 轨 迹 最 终 均 卷 离 极 限 环,则 该 极 限 环 称 为 不 稳 定 极限 环。不 稳 定 的 极 限 所 表 示 的 周 期 运 动 是 不 稳 定 的。因 为 即使 系 统 状 态 沿 极 限 环 运 动,但 状 态 的 微 小 扰 动 都 将 使 系 统 的 运动 偏 离 该 闭 合 曲 线,并 将 永 远 回 不 到 闭 合 曲 线。不 稳 定 极 限 环的邻近范围其内部及外部均为该极限环的不稳定区域。第58 页，本讲稿共123 页(3)半 稳 定 的 极 限 环。如 果 起 始 于 极 限 环 邻 近 范 围 的 内 部相 轨 迹 均 卷 向 极 限 环,外 部 相 轨 迹 均 卷 离 极 限 环;或 者 内 部 相轨 迹 均 卷 离 极 限 环,外 部 相 轨 迹 均 卷 向 极 限 环,则 这 种 极 限 环称 为 半 稳 定 极 限 环。对 于 半 稳 定 极 限 环,相 轨 迹 均 卷 向 极 限 环的 内 部 或 外 部 邻 域 称 为 该 极 限 环 的 稳 定 区 域,相 轨 迹 均 卷 离 极限 环 的 内 部 或 外 部 邻 域 称 为 该 极 限 环 的 不 稳 定 区 域。同 样，半 稳 定 极 限 环 仪 表 的 等 幅 振 荡 也 是 一 种 不 稳 定 的 运 动。因 为即 使 系 统 状 态 沿 极 限 环 运 动,但 状 态 的 微 小 扰 动 都 将 使 系 统 的运动偏离该闭合曲线,并将永远回不到闭合曲线。第59 页，本讲稿共123 页例8-5 已知非线性系统的微分方程为试求系统的奇点,并绘制系统的相平面图。解系统方程可以改写为令dx/dx=0,求得系统的两个奇点(0,0),(-2,0)。.在(0,0)点附近,因为|x|和|x|很小,系统的微分方程可以近似为.特征根为0.25j1.39,故奇点(0,0)为稳定焦点。第60 页，本讲稿共123 页在(-2,0)点附近,令x*=x+2,则系统方程为因为|x*|和|x*|很小,所以系统可以近似为.特征根为1.19 和1.69,故奇点(-2,0)为鞍点。第61 页，本讲稿共123 页图8-9 非线性系统的相平面图第62 页，本讲稿共123 页用MATLAB 绘制图8-9 的参考程序如下：t,x=ode45(figure_8_9,0,1.5,46)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)set(hnd,linewidth,1.5)holdon t,x=ode45(figure_8_9,0,1.8,36)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,2.3,26)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,6,-3.66)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,40,-34)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,40,-32)第63 页，本讲稿共123 页hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,3.9,-3.954)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,1.0,-4.53)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,0.7,-66)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)hnd=line(0,0,-10,6);set(hnd,color,black)hnd=line(-8,6,0,0);set(hnd,color,black)functionxdot=figure_8_9(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=-0.5*x(2)-2*x(1)-x(1)2 xdot(1)=x(2)第64 页，本讲稿共123 页8.2.3 从相轨迹求时间信息相 轨 迹 是 消 去 时 间 后 画 出 的,尽 管 它 直 观 地 给 出 了 系 统 状 态的 运 动 轨 迹,但 却 将 时 间 信 息 隐 含 其 中,使 时 间 信 息 变 得 不 直 观了。有 时 我 们 希 望 给 出 时