高中数学第二章平面解析几何初步圆的方程直线与圆的位置关系ppt课件人教版B版.ppt
2.3.3直线与圆的位置关系1.明确直线与圆的三种位置关系.2.根据给定的直线、圆的方程,会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系.3.能根据直线与圆的位置关系,解决有关切线,弦长等问题.归纳总结 代数法和几何法研究直线与圆的位置关系各有特点.“几何法”更多地侧重于“形”,更多地结合了图形的几何性质;“代数法”则侧重于“数”,它倾向于“坐标”与“方程”.【做一做1】直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=64的位置关系是()A.外离 B.相切C.相交 D.相切或外离答案:B答案:D【做一做3】过点A(4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为.答案:(x-3)2+y2=2 1 21.过点(x0,y0)的切线方程的求法剖析:(1)当点(x0,y0)在圆x2+y2=R2上时,切线方程为x0 x+y0y=R2;(2)当点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-B)2=R2上时,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-B)(y-B)=R2;(3)点(x0,y0)在圆外,假设切线的斜率存在,则可设切线方程为y-y0=k(x-x0),变成一般式kx-y+y0-kx0=0,因为与圆相切,所以可利用圆心到直线的距离等于半径,解出k.注意若此方程只有一个实根,则还有一条斜率不存在的直线也是切线,不能忽略.1 22.直线与圆相交时弦长的求法 1 2另外,还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算.当直线AB 的斜率存在时,这时结合根与系数的关系,进行整体代换即可求得,即将直线AB:y=kx+m 代入(x-x1)2+(y-y1)2=R2,消去y 得关于x 的一元二次方程ax2+Bx+c=0,设直线与圆的交点A(x2,y2),B(x3,y3),则x2,x3是上述方程的两个根,由根与系数的关系,得1 2当直线AB 的斜率不存在时,将直线AB:x=n 代入(x-x1)2+(y-y1)2=R2,解得A,B 的纵坐标yA,yB,则|AB|=|yA-yB|.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【例1】求当 为何值时,直线x-y-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交?相切?相离?分析:可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系,列条件求解 的值或 的取值范围.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五反思 判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手,但用几何法解决更简便.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练1】判断下列圆与直线的位置关系.(1)圆x2+y2-8x+2y-8=0,直线4x-3y+6=0;(2)圆x2+y2-4x+3=0,直线2x-y+5=0.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【例2】已知圆C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=1.试分别求经过下列各点的圆C 的切线方程:分析:(1)可判断点A 在圆上,故可用直接法求切线方程;(2)点P 在圆外,可用待定系数法求切线方程;(3)点B 也在圆外,可用待定系数法求切线方程,但应注意切线斜率不存在的情况.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五反思 由于过圆外一点可以作圆的两条切线,因此在求圆的切线方程时,如果点在圆外,设切线方程为点斜式时却只得到一条切线方程,则另一条切线的斜率不存在,应单独讨论,如本例中的(3).题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练2】(1)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,求过点P(2,3)的圆的切线方程;(2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l 的方程.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【例3】求直线y=x 被圆(x-2)2+(y-4)2=10所截得的弦长.分析:求直线被圆所截得的弦长的方法,一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形,二是用弦长公式.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五(方法二)联立方程y=x 与(x-2)2+(y-4)2=10,得2x2-12x+10=0.设两个交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,于是由根与系数的关系,得x1+x2=6,x1x2=5,反思 求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的垂线段构成的直角三角形来处理.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【例4】已知O 为坐标原点,O1:x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两个交点分别为P,Q,那么当c 取何值时,OP OQ?分析:利用代数方法,即联立直线与圆的方程,利用根与系数的关系对OP OQ 进行转化.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五反思 当圆中的几何特征不明显时,往往采用代数法,即联立方程的思想,体现了解析几何的本质特征.这也是解决解析几何的重要方法.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练4】设点O 为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上的P,Q两点关于直线x+my+4=0对称,且OP OQ.(1)求m 的值;(2)求直线PQ 的方程.解:(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,其表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.点P,Q 在圆上且关于直线x+my+4=0对称,直线x+my+4=0过圆心(-1,3),代入直线方程得m=-1.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【例5】求圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线l:3x+4y-11=0的距离为1的点有几个?分析:此题应从圆心到直线l 的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解.解:(方法一)圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心O1(3,3),半径R=3.设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,如图,在圆心O1同侧,与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两个交点符合题意.又R-d=3-2=1,题型一 题型二 题型三 题型四 题型五与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.(方法二)符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线方程为3x+4y+m=0,则题型一 题型二 题型三 题型四 题型五题型一 题型二 题型三 题型四 题型五反思 解决有关直线与圆的问题要有作图意识,准确作图能帮助我们更快更准地分析题意.另外,要善于挖掘题目的切入点,找出临界位置是关键.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五解:因为圆心到直线的距离为d=2,半径为3,所以圆上各点到直线距离的最大值是5.故圆上各点到直线距离等于3的点有2个,故圆上各点到直线距离等于5的点有1个,故圆上各点到直线距离等于7的点有0个.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五易错点:忽视讨论直线的斜率不存在的直线致错【例6】若直线l 过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程.错解:设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.因为直线l 与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,错因分析:忘记讨论直线的斜率不存在时的情况.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
